Résolution d'Équations : Questions et Solutions Étape par Étape - 9e Année

Cette page est conçue pour aider les élèves à maîtriser la résolution d'équations linéaires grâce à une approche détaillée, étape par étape. Une équation est une affirmation mathématique stipulant que deux expressions sont égales, séparées par un signe égal (\(=\)).

Qu'est-ce qu'une solution ?
La solution d'une équation est la valeur spécifique de la variable inconnue (comme \(x\)) qui rend l'équation vraie.

Exemple : Est-ce que \(x = 2\) est une solution de \(2x + 2 = x + 4\) ?
Évaluer le membre de gauche : \( 2(2) + 2 = 6 \)
Évaluer le membre de droite : \( 2 + 4 = 6 \)
Puisque les deux membres sont égaux, \(x = 2\) est une solution.

Propriétés Importantes de l'Égalité

Pour résoudre une équation, l'objectif est d'isoler la variable inconnue d'un côté. Nous y parvenons en utilisant les propriétés de l'égalité :

Propriété d'Addition / Soustraction Si vous ajoutez ou soustrayez la même quantité des deux côtés d'une équation, l'équation reste équilibrée et possède la même solution.
Propriété de Multiplication / Division Si vous multipliez ou divisez les deux côtés d'une équation par la même quantité non nulle, l'équation reste équilibrée et possède la même solution.

Exemples Guidés

Examinez ces exemples guidés pour voir comment appliquer les propriétés pour isoler les variables, gérer les parenthèses et éliminer les fractions.

  1. Équation Simple : Résolvez l'équation \( 2x + 1 = -5 \) et vérifiez la solution obtenue.

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    L'idée principale est d'isoler \( x \) d'un côté de l'équation. Soustrayez \( 1 \) des deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 2x + 1 - 1 &= -5 - 1 \\ 2x &= -6 \end{aligned} \]

    Divisez les deux côtés par 2 :

    \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{-6}{2} \\ x &= -3 \end{aligned} \]
    Vérification de la Solution :
    Membre de Gauche (MG) : \( 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \)
    Membre de Droite (MD) : \( -5 \)
    Puisque MG = MD, \( x = -3 \) est correct.

  2. Variables des Deux Côtés : Résolvez l'équation \( x - 2 - 3x = -7 - x \) et vérifiez la solution.

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    Tout d'abord, regroupez les termes semblables du côté gauche (\( x \) et \( -3x \)) :

    \[ -2x - 2 = -7 - x \]

    Ajoutez \( 2 \) aux deux côtés pour déplacer les termes constants vers la droite :

    \[ -2x = -x - 5 \]

    Ajoutez \( x \) aux deux côtés pour déplacer les termes en variable vers la gauche :

    \[ \begin{aligned} -2x + x &= -5 \\ -x &= -5 \end{aligned} \]

    Multipliez ou divisez les deux côtés par \( -1 \) :

    \[ x = 5 \]
    Vérification de la Solution :
    MG : \( 5 - 2 - 3(5) = 5 - 2 - 15 = -12 \)
    MD : \( -7 - (5) = -12 \)
    Puisque MG = MD, \( x = 5 \) est correct.

  3. Équations avec Parenthèses : Résolvez l'équation \( -2(x - 2) + 3 = 3(-x + 4) - 3 \).

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    Utilisez la loi distributive, \( a(b+c) = ab + ac \), pour supprimer les parenthèses des deux côtés :

    \[ -2x + 4 + 3 = -3x + 12 - 3 \]

    Combinez les termes semblables de chaque côté :

    \[ -2x + 7 = -3x + 9 \]

    Ajoutez \( 3x \) aux deux côtés et soustrayez \( 7 \) des deux côtés pour isoler \( x \) :

    \[ \begin{aligned} -2x + 3x &= 9 - 7 \\ x &= 2 \end{aligned} \]
    Vérification de la Solution :
    MG : \( -2(2 - 2) + 3 = -2(0) + 3 = 3 \)
    MD : \( 3(-2 + 4) - 3 = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \)
    Puisque MG = MD, \( x = 2 \) est correct.

  4. Équations avec Fractions : Résolvez l'équation \( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \).

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    Pour éliminer les fractions, multipliez les deux côtés par le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des dénominateurs 3 et 2, qui est 6.

    \[ 6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = 6 \left( \dfrac{1}{3} \right) \]

    Distribuez le 6 à chaque terme :

    \[ \begin{aligned} \dfrac{6x}{3} - \dfrac{6}{2} &= \dfrac{6}{3} \\ 2x - 3 &= 2 \end{aligned} \]

    Ajoutez 3 aux deux côtés, puis divisez par 2 :

    \[ \begin{aligned} 2x &= 5 \\ x &= \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]
    Vérification de la Solution :
    MG : \( \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
    Puisque MG = MD, \( x = \dfrac{5}{2} \) est correct.

Questions d'Entraînement

Résolvez les équations suivantes et vérifiez votre réponse en vérifiant la solution.

  1. \( 2x + 2 = 6 \)

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    Soustrayez 2 des deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 2x + 2 - 2 &= 6 - 2 \\ 2x &= 4 \end{aligned} \]

    Divisez les deux côtés par 2 :

    \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \). Les deux membres sont égaux.

  2. \( 5y - 2 = 7y - 8 \)

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    Soustrayez \( 5y \) des deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 5y - 2 - 5y &= 7y - 8 - 5y \\ -2 &= 2y - 8 \end{aligned} \]

    Ajoutez 8 aux deux côtés :

    \[ \begin{aligned} -2 + 8 &= 2y \\ 6 &= 2y \end{aligned} \]

    Divisez par 2 :

    \[ y = 3 \]
    Vérification : MG : \( 5(3) - 2 = 13 \). MD : \( 7(3) - 8 = 13 \). Les deux membres sont égaux.

  3. \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x - 3 \)

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    Combinez les termes semblables de chaque côté :

    \[ 3x + 4 = 4x + 4 \]

    Soustrayez \( 3x \) et 4 des deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 4 - 4 &= 4x - 3x \\ 0 &= x \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( -2(0) + 4 + 5(0) = 4 \). MD : \( 7 + 4(0) - 3 = 4 \). Les deux membres sont égaux.

  4. \( 0.2d + 4 = -0.1d - 2 \)

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    Ajoutez \( 0.1d \) aux deux côtés et soustrayez 4 des deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 0.2d + 0.1d &= -2 - 4 \\ 0.3d &= -6 \end{aligned} \]

    Divisez les deux côtés par 0,3 :

    \[ \begin{aligned} d &= \dfrac{-6}{0.3} \\ d &= -20 \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( 0.2(-20) + 4 = -4 + 4 = 0 \). MD : \( -0.1(-20) - 2 = 2 - 2 = 0 \). Les deux membres sont égaux.

  5. \( -2(2x - 6) = -(x - 4) \)

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    Développez les deux côtés en utilisant la loi distributive :

    \[ -4x + 12 = -x + 4 \]

    Ajoutez \( 4x \) aux deux côtés et soustrayez 4 :

    \[ \begin{aligned} 12 - 4 &= -x + 4x \\ 8 &= 3x \end{aligned} \]

    Divisez par 3 :

    \[ x = \dfrac{8}{3} \]
    Vérification : MG : \( -2\left(2\left(\frac{8}{3}\right) - 6\right) = -2\left(\frac{16}{3} - \frac{18}{3}\right) = -2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} \).
    MD : \( -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = -\left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \). Les deux membres sont égaux.

  6. \( -(x + 2) + 4 = 2(x + 3) + x \)

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    Développez et combinez les termes semblables :

    \[ \begin{aligned} -x - 2 + 4 &= 2x + 6 + x \\ -x + 2 &= 3x + 6 \end{aligned} \]

    Ajoutez \( x \) et soustrayez 6 des deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 2 - 6 &= 3x + x \\ -4 &= 4x \\ -1 &= x \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( -(-1 + 2) + 4 = -1 + 4 = 3 \). MD : \( 2(-1 + 3) + (-1) = 2(2) - 1 = 3 \). Les deux membres sont égaux.

  7. \( \dfrac{x}{5} = -6 \)

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    Multipliez les deux côtés par 5 pour isoler \( x \) :

    \[ \begin{aligned} 5 \left(\dfrac{x}{5}\right) &= 5(-6) \\ x &= -30 \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( \dfrac{-30}{5} = -6 \). Les deux membres sont égaux.

  8. \( -\dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)

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    Multipliez les deux côtés par -3 pour éliminer la fraction et le signe négatif :

    \[ \begin{aligned} (-3) \left(-\dfrac{x}{3}\right) &= (-3) \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ x &= -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( -\dfrac{(-3/2)}{3} = \dfrac{3/2}{3} = \dfrac{1}{2} \). Les deux membres sont égaux.

  9. \( -\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} - x \)

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    Multipliez toute l'équation par 4 pour éliminer les fractions :

    \[ \begin{aligned} 4 \left(-\dfrac{x}{4}\right) &= 4 \left(\dfrac{1}{2} - x\right) \\ -x &= 2 - 4x \end{aligned} \]

    Ajoutez \( 4x \) aux deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( -\dfrac{2/3}{4} = -\dfrac{2}{12} = -\dfrac{1}{6} \).
    MD : \( \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{6} \). Les deux membres sont égaux.

  10. \( -\dfrac{x - 3}{7} = \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \)

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    Multipliez les deux côtés par le PPCM de 7 et 2 (qui est 14) pour éliminer les fractions :

    \[ \begin{aligned} 14 \left( -\dfrac{x - 3}{7} \right) &= 14 \left( \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \right) \\ -2(x - 3) &= 7(-2x + 6) \end{aligned} \]

    Développez en utilisant la loi distributive :

    \[ -2x + 6 = -14x + 42 \]

    Ajoutez \( 14x \) et soustrayez 6 des deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 12x &= 36 \\ x &= 3 \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( -\dfrac{3 - 3}{7} = 0 \). MD : \( \dfrac{1}{2}(-2(3) + 6) = 0 \). Les deux membres sont égaux.

  11. \( -\dfrac{1}{2} - x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x - 2) \)

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    Tout d'abord, éliminez les fractions en multipliant chaque terme par le PPCM de 2 et 5 (qui est 10) :

    \[ 10 \left(-\dfrac{1}{2} - x + 5\right) = 10 \left(\dfrac{1}{5} + 2(x - 2)\right) \]

    Distribuez le 10 avec soin :

    \[ -5 - 10x + 50 = 2 + 20(x - 2) \]

    Combinez les termes constants à gauche et développez les parenthèses à droite :

    \[ \begin{aligned} -10x + 45 &= 2 + 20x - 40 \\ -10x + 45 &= 20x - 38 \end{aligned} \]

    Ajoutez \( 10x \) et ajoutez 38 aux deux côtés :

    \[ \begin{aligned} 45 + 38 &= 20x + 10x \\ 83 &= 30x \\ x &= \dfrac{83}{30} \end{aligned} \]
    Vérification : MG : \( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{83}{30} + 5 = -\dfrac{15}{30} - \dfrac{83}{30} + \dfrac{150}{30} = \dfrac{52}{30} = \dfrac{26}{15} \).
    MD : \( \dfrac{1}{5} + 2\left(\dfrac{83}{30} - \dfrac{60}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + 2\left(\dfrac{23}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + \dfrac{46}{30} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{23}{15} = \dfrac{26}{15} \). Les deux membres sont égaux.

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