Problèmes sur les fonctions quadratiques avec solutions

Les problèmes de fonctions quadratiques avec des solutions détaillées sont présentés avec des interprétations graphiques des solutions.

Sommet et discriminant des fonctions quadratiques

le graphique d'une fonction quadratique écrite sous la forme

f(x) = a x 2 + b x + c

a un sommet au point (h , k) où h et k sont donnés par
h = - b / (2 a)  ; et   k = f(h) = c - b 2 / (4 a)

Si le coefficient a > 0, le sommet est un point minimum et la valeur minimum de la fonction quadratique f est égale à k. Cette valeur minimale se produit à x = h.
Si le coefficient a < 0, le sommet est un point maximum et la valeur maximum de la fonction quadratique f est égale à k. Cette valeur maximale se produit à x = h.
La fonction quadratique f(x) = a x 2 + b x + c peut être écrite sous forme de sommet comme suit :

f(x) = a (x - h) 2 + k



Le discriminant D de l'équation quadratique : a x 2 + b x + c = 0 est donné par D = b2 - 4 a c
Si D = 0 , l'équation quadratique a x 2 + b x + c = 0 a une solution et le graphique de f(x) = a x 2 + b x + c a UNE une abscisse à l'origine.
Si D > 0 , l'équation quadratique a x 2 + b x + c = 0 admet deux solutions réelles et le graphe de f(x) = a x 2 + b x + c DEUX deux abscisses à l'origine.
Si D > 0 , l'équation quadratique a x 2 + b x + c = 0 a deux solutions complexes et le graphe de f(x) = a x 2 + b x + c a AUCUNE abscisse à l'origine.

Problèmes avec des solutions

Problème 1
Le bénéfice (en milliers de dollars) d'une entreprise est donné par.

P(x) = 5000 + 1000 x - 5 x 2

où x est le montant (en milliers de dollars) que l'entreprise dépense en publicité.
a) Trouvez le montant, x, que l'entreprise doit dépenser pour maximiser son profit.
b) Trouver le profit maximum Pmax.
Solution au problème 1



Problème 2
Un objet est projeté verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de Vo pieds/sec. Sa hauteur S(t), en pieds, au-dessus du sol est donnée par

S(t) = -16 t 2 + vo t.

Trouvez vo de sorte que le point le plus élevé que l'objet puisse atteindre soit à 300 pieds au-dessus du sol.

Solution au problème 2



Problème 3
Trouvez l'équation de la fonction quadratique f dont le graphique passe par le point (2 , - 8) et a x intercepte à (1 , 0) et (- 2 , 0).
Solution au problème 3



Problème 4
Trouver les valeurs du paramètre m de sorte que le graphique de la fonction quadratique f donnée par

f(x) = x 2 + x + 1
et le graphique de la droite dont l'équation est donnée par
y = m x

ont:
a) 2 points d'intersection,
b) 1 point d'intersection,
c) aucun point d'intersection.
Solution au problème 4



Problème 5
La fonction quadratique C(x) = a x 2 + b x + c représente le coût, en milliers de dollars, de la production de x articles. C(x) a une valeur minimale de 120 milliers pour x = 2000 et le coût fixe est égal à 200 milliers. Trouver les coefficients a,b et c.
Solution au problème 5



Problème 6
Trouvez l'équation de la ligne tangente au graphique de f(x) = - x 2 + x - 2 à x = 1.
Solution au problème 6



Questions avec solutions

Question 1
Trouvez l'équation de la fonction quadratique f dont le graphique passe par les points: (-1 , 0) , (3 , 0) et (0 , -4).


Question 2
Trouver les valeurs du paramètre c de sorte que les graphiques de la fonction quadratique f donnée par
f(x) = x 2 + x + c
et le graphique de la droite dont l'équation est donnée par y = 2 x
ont:
a) 2 points d'intersection,
b) 1 point d'intersection,
c) aucun point d'intersection.



Solutions aux questions ci-dessus

Solution à la question 1

Solution à la question 2


Plus de références et de liens vers les fonctions quadratiques