Problèmes sur les fonctions quadratiques avec solutions

Les problèmes de fonctions quadratiques avec des solutions détaillées sont présentés avec des interprétations graphiques des solutions.

Sommet et discriminant des fonctions quadratiques

le graphique d'une fonction quadratique écrite sous la forme

f(x) = a x ² + b x + c

a un sommet au point (h , k) où h et k sont donnés par
h = - b / (2 a) ; et k = f(h) = c - b ² / (4 a)

Si le coefficient a > 0, le sommet est un point minimum et la valeur minimum de la fonction quadratique f est égale à k. Cette valeur minimale se produit à x = h.
Si le coefficient a < 0, le sommet est un point maximum et la valeur maximum de la fonction quadratique f est égale à k. Cette valeur maximale se produit à x = h.
La fonction quadratique f(x) = a x ² + b x + c peut être écrite sous forme de sommet comme suit :

f(x) = a (x - h) ² + k

Le discriminant D de l'équation quadratique : a x ² + b x + c = 0 est donné par D = b² - 4 a c
Si D = 0 , l'équation quadratique a x ² + b x + c = 0 a une solution et le graphique de f(x) = a x ² + b x + c a UNE une abscisse à l'origine.
Si D > 0 , l'équation quadratique a x ² + b x + c = 0 admet deux solutions réelles et le graphe de f(x) = a x ² + b x + c DEUX deux abscisses à l'origine.
Si D > 0 , l'équation quadratique a x ² + b x + c = 0 a deux solutions complexes et le graphe de f(x) = a x ² + b x + c a AUCUNE abscisse à l'origine.

Problèmes avec des solutions

Problème 1
Le bénéfice (en milliers de dollars) d'une entreprise est donné par.

P(x) = 5000 + 1000 x - 5 x ²

où x est le montant (en milliers de dollars) que l'entreprise dépense en publicité.
a) Trouvez le montant, x, que l'entreprise doit dépenser pour maximiser son profit.
b) Trouver le profit maximum Pmax.
Solution au problème 1

La fonction P qui donne le profit est une fonction quadratique avec le coefficient dominant a = - 5. Cette fonction (profit) a une valeur maximale à x = h = - b / (2a )
x = h = -1000 / (2(-5)) = 100
Le profit maximal Pmax, lorsque x = 100 000 sont dépensés en publicité, est donné par la valeur maximale de la fonction P
k = c - b ² / (4 a)
b)
Le profit maximal Pmax, lorsque x = 100 000 sont dépensés en publicité, est également donné par P(h = 100)
P(100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) ² = 55000.
Lorsque l'entreprise dépense 100 000 dollars en publicité, le bénéfice est maximal et équivaut à 55 000 dollars.
Montré ci-dessous est le graphique de P(x), notez le point maximum, qui est le sommet, à (100 , 55000).

Problème 2
Un objet est projeté verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de V_o pieds/sec. Sa hauteur S(t), en pieds, au-dessus du sol est donnée par

S(t) = -16 t ² + v_o t.
Trouvez v_o de sorte que le point le plus élevé que l'objet puisse atteindre soit à 300 pieds au-dessus du sol.

Solution au problème 2

S(t) est une fonction quadratique et la valeur maximale de S(t) est donnée par
k = c - b ² /(4 a) = 0 - (v_o)² / (4(-16))
Cette valeur maximale de S(t) doit être de 300 pieds pour que l'objet atteigne une distance maximale au-dessus du sol de 300 pieds.
- (v_o) ² / (4(-16)) = 300
nous résolvons maintenant - (v_o) ² / (4(-16)) = 300 pour v _o
v_o = 64× 300 = 80 √3 pieds/sec.

Graphique de S(t).

Problème 3
Trouvez l'équation de la fonction quadratique f dont le graphique passe par le point (2 , - 8) et a x intercepte à (1 , 0) et (- 2 , 0).
Solution au problème 3

Puisque le graphique a x intercepte à (1 , 0) et (-2 , 0), la fonction a des zéros à x = 1 et x = - 2 et peut être écrite comme suit.
f(x) = a (x - 1)(x + 2)
Le graphe de f passe par le point (2 , - 8), il s'ensuit que
f(2) = - 8
qui donne
- 8 = a (2 - 1)(2 + 2)
développez le côté droit de l'équation ci-dessus et regroupez les termes similaires
-8 = 4 a
Résolvez l'équation ci-dessus pour obtenir a
a = - 2
L'équation de f est donnée par
f(x) = - 2 (x - 1)(x + 2)
Vérifier la réponse
f(1) = 0
f(-2) = 0
f(2) = - 2 (2 - 1)(2 + 2) = - 8

Problème 4
Trouver les valeurs du paramètre m de sorte que le graphique de la fonction quadratique f donnée par

f(x) = x ² + x + 1 et le graphique de la droite dont l'équation est donnée par y = m x
ont:
a) 2 points d'intersection,
b) 1 point d'intersection,
c) aucun point d'intersection.
Solution au problème 4

Pour trouver les points d'intersection, vous devez résoudre simultanément le système d'équations
y = x ² + x + 1
y = m x
Remplacez y par m x dans la première équation pour obtenir
mx = x ² + x + 1
Écrivez l'équation quadratique ci-dessus sous forme standard.
x ² + x (1 - m) + 1 = 0
Trouvez le discriminant D de l'équation ci-dessus.
D = (1 - m) ² - 4(1)(1)
D = (1 - m) ² - 4
a)
Pour que le graphe de f et celui de la droite aient 2 points d'intersection, il faut que D soit positif, ce qui conduit à
(1 - m) ² - 4 > 0
Résolvez l'inégalité ci-dessus pour obtenir l'ensemble de solutions pour m dans les intervalles
(- ∞ , -1) U (3 , + ∞)
b)
Pour que le graphe de f et celui de la droite aient 1 point d'intersection, D doit être nul, ce qui conduit à
(1 - m) ² - 4 = 0
Résolvez l'équation ci-dessus pour obtenir 2 solutions pour m.
m = -1
m = 3
c)
Pour que le graphe de f et celui de la droite n'aient pas de points d'intersection, D doit être négatif, ce qui conduit à
(1 - m) ² - 4 < 0
Résolvez l'inégalité ci-dessus pour obtenir l'ensemble de solutions pour m dans l'intervalle
(-1 , 3)
Les graphiques de y = 3 x, y = - x et celui de la fonction quadratique f(x) = x ² + x + 1 sont présentés dans la figure ci-dessous.

Problème 5
La fonction quadratique C(x) = a x ² + b x + c représente le coût, en milliers de dollars, de la production de x articles. C(x) a une valeur minimale de 120 milliers pour x = 2000 et le coût fixe est égal à 200 milliers. Trouver les coefficients a,b et c.
Solution au problème 5

La fonction C est une fonction quadratique. Son point minimum, qui est donné par (2000,120) est le sommet du graphe de C. Nous pouvons donc écrire C(x) sous forme de sommet comme suit
C(x) = a (x - 2000) ² + 120
Le coût fixe est la valeur de C(x) lorsque x = 0. Par conséquent
C(0) = a (0 - 2000) ² + 120 = 200
Résoudre pour un
a = 80 / 2000 ² = 0,00002
Nous développons C(x) et identifions les coefficients a, b et c.
C(x) = 0,00002 (x - 2000) ² + 120 = 0,00002 x ² - 0,08 x + 200
a = 0,00002 , b = -0,08 et c = 200.
Le graphique de C(x) est montré ci-dessous et nous pouvons vérifier que le point minimum est à (2000,120) et le coût fixe C(0) = 200.

Problème 6
Trouvez l'équation de la ligne tangente au graphique de f(x) = - x ² + x - 2 à x = 1.
Solution au problème 6

Il existe au moins deux méthodes pour résoudre la question ci-dessus.
Méthode 1
Soit l'équation de la tangente de la forme
y = m x + b
et nous devons donc trouver m et b. La tangente passe par le point
(1 , f(1)) = (1 , -2)
D'où l'équation en m et b
- 2 = m (1) + b ou m + b = -2
Pour trouver le point de tangence de la droite et du graphe de la fonction quadratique, il faut résoudre simultanément le système
y = m x + b et y = - x ² + x - 2
Remplacer y par m x + b dans la seconde équation du système à obtenir
m x + b = - x ² + x - 2
Écrivez l'équation ci-dessus sous une forme standard
- x ² + x (1 - m) - 2 - b = 0
Pour que la droite soit tangente au graphe de la fonction quadratique, le discriminant D de l'équation ci-dessus doit être égal à zéro. Donc
D = b ² - 4 a c = (1 - m)² - 4 (-1) (- 2 - b) = 0
ce qui donne
(1 - (- 2 - b) )² + 4 (- 2 - b) = 0
Développez, simplifiez et écrivez l'équation ci-dessus sous une forme standard
b² 2 b + 1 = 0
(b + 1)² = 0
Résoudre pour b
b = - 1
Trouver m
m = - 2 - b = -1
L'équation de la tangente est donnée par
y = - x - 1
L'interprétation graphique (ou la vérification) est présentée ci-dessous avec le graphique de y = - x - 1 tangent au graphique de f(x) = - x ² + x - 2 à x = 1.

Méthode 2
La deuxième méthode est basée sur le concept de la dérivée étudié en calcul différentiel ; voir la question 4 dans Questions de calcul avec réponses (5)

Questions avec solutions

Question 1
Trouvez l'équation de la fonction quadratique f dont le graphique passe par les points: (-1 , 0) , (3 , 0) et (0 , -4).

Question 2
Trouver les valeurs du paramètre c de sorte que les graphiques de la fonction quadratique f donnée par
f(x) = x ² + x + c
et le graphique de la droite dont l'équation est donnée par y = 2 x
ont:
a) 2 points d'intersection,
b) 1 point d'intersection,
c) aucun point d'intersection.

Solutions aux questions ci-dessus

Solution à la question 1

Les coordonnées x des points (-1 , 0) , (3 , 0) du graphe de f sont les zéros de f(x). Donc f(x) est de la forme
f(x) = a (x + 1)(x - 3)
Il faut maintenant trouver le coefficient a en utilisant le point (0 , -4)
f(0) = a(0 + 1)(0 - 3) = - 4
résoudre pour a
a = 4 / 3
Ainsi
f(x) = (4 / 3) (x + 1)(x - 3)

Solution à la question 2

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection des graphiques de f(x) = x ² + x + c et y = 2 x, nous devons résoudre, simultanément, le système
y = x ² + x + c et y = 2x
qui par substitution donne l'équation
x² + x + c = 2x
Réécrivez l'équation ci-dessus sous une forme standard
x² - x + c = 0
Trouvez le discriminant D
D = 1 - 4c
Conclusion
Si D est positif ou c < 1 / 4 , les deux graphiques se coupent en deux points.
Si D est égal à 0 ou c = 1 / 4 , les deux graphiques se coupent (se touchent) en 1 point.
Si D est négatif ou c > 1 / 4 , les deux graphiques n'ont pas de point d'intersection.

Plus de références et de liens vers les fonctions quadratiques

Questions mathématiques avec réponses (13) : fonctions quadratiques.
Problèmes de vertex et de parabole d'interception.
Trouver le sommet et les interceptions des fonctions quadratiques - Calculatrice : Une applet pour résoudre le calcul du sommet et x et y intercepte du graphique d'une fonction quadratique.
Fonctions quadratiques (forme générale).
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Solveur pour analyser et représenter graphiquement une fonction quadratique