3D-Linie-Ebene-Schnittpunkt- und Winkelrechner

Schnittpunkt Ebene-Linie in 3D — Abbildung 1. Der Schnittpunkt einer Ebene und einer Linie

Mathematische Formeln

Linie im 3D (parametrische Form):

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{P_0} + t\mathbf{v} = (x_0, y_0, z_0) + t(l, m, n) \]

wobei \((l, m, n)\) die Richtungszahlen der Linie sind.

Ebenengleichung \( P \):

\[ ax + by + cz = d \]

Schnittpunkt: Setze die Linie in die Ebenengleichung ein und löse nach \(t\):

\[ t = \frac{d - (ax_0 + by_0 + cz_0)}{a\cdot l + b\cdot m + c\cdot n} \] \[ \text{Schnittpunkt: } (x_0 + t\cdot l,\; y_0 + t\cdot m,\; z_0 + t\cdot n) \]

Winkel zwischen Linie und Ebene:

\[ \phi = \arcsin\left(\frac{|a\cdot l + b\cdot m + c\cdot n|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\right) \]

wobei \(\phi\) der Winkel zwischen der Linie und ihrer Projektion auf die Ebene ist.

Winkel zwischen Linie und Normalenvektor der Ebene P: \(\theta = 90° - \phi\)

plane-line-intersection-angle.gif

Linie-Ebene-Schnittpunkt

Finden Sie den Schnittpunkt und den Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene im 3D-Raum

Eingabeformat für die Linie:

Punkt A (x₁, y₁, z₁)

x₁

y₁

z₁

Punkt B (x₂, y₂, z₂)

x₂

y₂

z₂

Punkt P₀ (x₀, y₀, z₀)

x₀

y₀

z₀

Richtungsvektor v = (l, m, n)

Punkt (x₀, y₀, z₀)

x₀

y₀

z₀

Richtungszahlen (l, m, n) aus (x-x₀)/l = (y-y₀)/m = (z-z₀)/n

Hinweis: l, m, n sind die Richtungszahlen (Nenner) in der symmetrischen Form

Ebene: a·x + b·y + c·z = d

Dezimalstellen

Schnittpunkt --

Winkel (Linie & Ebene) φ -- °

Winkel (Linie & Normale) θ -- °

Über die Berechnungen

Linienformen

Zwei Punkte: Linie durch die Punkte A und B: \( \vec{v} = B - A \)
Parametrisch: \(P_0 + t\cdot\vec{v}\) wobei \(\vec{v} = (l, m, n)\) der Richtungsvektor ist
Symmetrisch: \(\dfrac{x - x_0}{l} = \dfrac{y - y_0}{m} = \dfrac{z - z_0}{n}\) wobei \((l, m, n)\) die Richtungszahlen sind

Schnittfälle

Linie schneidet Ebene: Eindeutiger Schnittpunkt wenn \( \vec{n} \cdot \vec{v} \neq 0 \)
Linie parallel zur Ebene: Kein Schnittpunkt wenn \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \) und Punkt nicht in der Ebene
Linie liegt in der Ebene: Unendlich viele Schnittpunkte wenn \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \) und Punkt erfüllt die Ebenengleichung

Winkel

φ (phi): Winkel zwischen der Linie und ihrer Projektion auf die Ebene (\(0° \leq \phi \leq 90°\))
θ (theta): Winkel zwischen der Linie und dem Normalenvektor der Ebene (komplementär zu φ)

Hinweis: \(\phi + \theta = 90°\)