Um einen Kegel herzustellen, beginnen wir mit einem Sektor mit dem Zentralwinkel θ und Radius s, dann verbinden wir die Punkte A und B und lassen den Punkt O nach oben wandern, bis OA und OB zusammenfallen. Der Radius s des Sektors ist gleich der Schräghöhe s des Kegels.
Nehmen wir an, wir wollen einen Kegel mit dem Radius der kreisförmigen Grundfläche r und der Höhe h herstellen. Für den Entwurf des Kegels müssen wir Formeln für \( \theta \) und \( s \) des Sektors in Bezug auf \( r \) und \( h \) des Kegels finden.
Die Länge des Bogens des Sektors AB ist gegeben durch
\( \theta s \) , wobei \( \theta \) im Bogenmaß angegeben ist.
Der Umfang der kreisförmigen Basis des Kegels ist gegeben durch
\( 2\pi r \)
Da wir die Segmente OA und OB verbinden, um den Kegel zu bilden, ist die Länge des Bogens AB des Sektors gleich dem Umfang der kreisförmigen Basis des Kegels
\( \theta s = 2\pi r \)
Lösen Sie das Obige nach \( \theta \)
\( \theta = \dfrac{2\pi r}{s} \)
Wir verwenden den Satz von Pyhtagoren für den Kegel (rechte Seite des Diagramms).
\( s^2 = r^2 + h^2 \)
Lösen Sie nach s auf
\( s = \sqrt{r^2 + h^2} \)
Ersetzen Sie s in der Formel für \( \theta \)
\( \theta = \dfrac{2\pi r}{\sqrt{r^2 + h^2}} \) , im Bogenmaß
Konvertieren Sie \( \theta \) in Grad
\( \theta = \dfrac{2\pi r}{\sqrt{r^2 + h^2}} \dfrac{180}{\pi} = 180 \dfrac{2 r}{\sqrt{r^2 + h^2}} \) , in Grad
Beispiel
Bestimmen Sie den Winkel \( \theta \) des Sektors und seinen Radius s, um einen Kegel mit der Höhe h = 8 cm und einem Radius r = 6 cm zu erhalten.
Lösung
\( s = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{6^2+8^2} = 10 cm \)
\( \theta = 180 \dfrac{2 r}{\sqrt{r^2 + h^2}} = 180 \dfrac{2 \times 6}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 216 ^{\circ} \)
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