Absolutes Maximum und Minimum einer Funktion

Wenn \(f'(x_0) = 0\) ist und sich das Vorzeichen von \(f'(x)\) ändert, kann \(x_0\) einem lokalen (und möglicherweise absoluten) Maximum oder Minimum entsprechen.

Extrema können dort auftreten, wo die Ableitung nicht existiert.

Betrachten Sie \(f(x) = x^3 - 2x^2\) auf \([-1, 5/2]\). Lokale Extrema sind vorhanden, aber die absoluten Extrema treten an den Randpunkten auf:

Finden Sie das absolute Maximum und Minimum der durch \[ f(x) = - x^2 + 2 x - 2 \;\; \text{auf} \;\; [-2 , 3] \] definierten Funktion \(f\).

Lösung zu Beispiel 4

Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung
Um das absolute Maximum und Minimum der Funktion zu finden, beginnen wir mit der Berechnung der ersten Ableitung von \(f(x) = -x^2 + 2x - 2\):
\[ f'(x) = -2x + 2 \]

Schritt 2: Bestimmen Sie die kritischen Punkte
Setzen Sie die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden:
\[ -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Da die erste Ableitung für alle \(x\) im Intervall \([-2, 3]\) definiert ist und \(x = 1\) in diesem Intervall liegt, handelt es sich um einen gültigen kritischen Punkt.

Schritt 3: Werten Sie die Funktion an den Randpunkten und kritischen Punkten aus
Werten Sie nun die ursprüngliche Funktion an den Randpunkten und am kritischen Punkt \(x = 1\) aus:
\[ f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 2 = -4 - 4 - 2 = -10 \]
\[ f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1 \]
\[ f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 2 = -9 + 6 - 2 = -5 \]

Fazit:
- Der absolute Maximalwert beträgt \(f(1) = -1\) und tritt bei \(x = 1\) auf.
- Der absolute Minimalwert beträgt \(f(-2) = -10\) und tritt bei \(x = -2\) auf.

Das folgende Diagramm veranschaulicht die Funktion, zeigt den kritischen Punkt und die Randpunkte und hebt die absoluten Minimal- und Maximalwerte hervor:

Bestimmen Sie die absoluten Maximal- und Minimalwerte der Funktion \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \) auf dem geschlossenen Intervall \( [-1, 1] \).

Lösung zu Beispiel 5

Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung

Leiten Sie die Funktion ab, um ihre kritischen Punkte zu finden:

\( f'(x) = x^3 + x^2 - 2x \)

Schritt 2: Finden Sie kritische Punkte durch Lösen von \( f'(x) = 0 \)

Setzen Sie die Ableitung gleich null:

\( x^3 + x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 2) = 0 \)

Die Lösungen sind \( x = 0 \), \( x = 1 \) und \( x = -2 \). Jedoch liegen nur \( x = 0 \) und \( x = 1 \) im Intervall \( [-1, 1] \). Die kritischen Punkte im Definitionsbereich sind also \( x = 0 \) und \( x = 1 \).

Schritt 3: Werten Sie die Funktion an Randpunkten und kritischen Punkten aus

• \( f(-1) = \dfrac{1}{4}(-1)^4 + \dfrac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{13}{12} \)
• \( f(0) = \dfrac{1}{4}(0)^4 + \dfrac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0 \)
• \( f(1) = \dfrac{1}{4}(1)^4 + \dfrac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \)

Schritt 4: Identifizieren Sie das absolute Maximum und Minimum

• Absoluter Maximalwert: \( f(0) = 0 \) bei \( x = 0 \)
• Absoluter Minimalwert: \( f(-1) = -\dfrac{13}{12} \) bei \( x = -1 \)

Der Graph der Funktion \( f(x) \) ist unten dargestellt und veranschaulicht die kritischen Punkte, die Randpunkte sowie die Positionen des absoluten Maximums und Minimums.

Finden Sie die absoluten Maximal- und Minimalwerte der Funktion \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \) auf dem geschlossenen Intervall \( [0.5 , 2] \).

Lösung zu Beispiel 6

Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung

Wir leiten unter Verwendung der Produktregel ab: \[ f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \] \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}(x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x \]

Schritt 2: Finden Sie die kritischen Punkte

Setzen Sie die erste Ableitung gleich null: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x = x(2 \ln(x) + 1) = 0 \]

Lösen Sie:

• \( x = 0 \) (ausgeschlossen, da es nicht im Definitionsbereich liegt)
• \( 2 \ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Nur \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \) liegt im Intervall \( [0.5 , 2] \), daher ist dies der einzige kritische Punkt im Definitionsbereich.

Schritt 3: Werten Sie die Funktion an den Randpunkten und dem kritischen Punkt aus

• \( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = 0.25 \cdot (-0.6931) - 1 \approx -0.1733 - 1 = -1.1733 \)
• \( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 4 \cdot 0.6931 - 1 = 2.772 - 1 = 1.772 \)
• \( f(e^{-1/2}) = (e^{-1}) \cdot (-\dfrac{1}{2}) - 1 = -\dfrac{1}{2e} - 1 \approx -0.1839 - 1 = -1.1839 \)

Endergebnis

• Absoluter Maximalwert: \( \boxed{1.772} \) bei \( x = 2 \)
• Absoluter Minimalwert: \( \boxed{-1.1839} \) bei \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Finden Sie die absoluten Maximal- und Minimalwerte der Funktion \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) auf dem geschlossenen Intervall \([-1.1 , 4]\).

Lösung zu Beispiel 7

Schritt 1: Schreiben Sie die Funktion um und leiten Sie sie ab

Verwenden Sie die Identität \( |u| = \sqrt{u^2} \), um die Funktion umzuschreiben:

\( f(x) = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x \)

Leiten Sie nun ab:

\( f'(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}} - 1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)

Schritt 2: Finden Sie kritische Punkte

Die Ableitung ist nicht definiert, wenn der Nenner null ist:

Setzen Sie \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( (x+1)(x-3) = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \) und \( x = 3 \)

Um zu finden, wo \( f'(x) = 0 \) ist, lösen Sie:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \)     (Gleichung 1)

Fall 1: \( x^2 - 2x - 3 < 0 \)

Dann ist \( |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) \), und Gleichung 1 wird zu:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)

Lösungen: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{1}{2} \)

Fall 2: \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

Dann ist \( |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 \), und Gleichung 1 wird zu:

\( (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)

Lösungen: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{3}{2} \)

Überprüfen Sie die kritischen Punkte

• \( x = -1 \), \( x = 3 \): Ableitung nicht definiert — kritische Punkte.
• \( x = \dfrac{1}{2} \): In den Zähler einsetzen \(\Rightarrow\) Ergebnis ist 0 \(\Rightarrow\) gültiger kritischer Punkt.
• \( x = \dfrac{3}{2} \): In den Zähler einsetzen \(\Rightarrow\) nicht 0 \(\Rightarrow\) kein kritischer Punkt.

Fazit: Die kritischen Punkte von \( f(x) \) sind: \( x = -1 \), \( x = \dfrac{1}{2} \) und \( x = 3 \).

Schritt 3: Werten Sie \( f(x) \) an Randpunkten und kritischen Punkten aus

• \( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
• \( f(4) = |4^2 - 2 \cdot 4 - 3| - 4 = 1 \)
• \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left| \dfrac{1}{4} - 1 - 3 \right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{4} = 3.25 \)
• \( f(-1) = |1 + 2 - 3| + 1 = 1 \)
• \( f(3) = |9 - 6 - 3| - 3 = -3 \)

Endergebnis:

• Absolutes Maximum: \( f(x) = 3.25 \) bei \( x = \dfrac{1}{2} \)
• Absolutes Minimum: \( f(x) = -3 \) bei \( x = 3 \)

Graph der Funktion

Der folgende Graph von \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) zeigt die kritischen Punkte und die Randpunkte des Intervalls \([-1.1 , 4]\) sowie die absoluten Maximal- und Minimalwerte.

Finden Sie das absolute Maximum und Minimum der durch \[ f(x) = (x-2)^{2/5} \;\; \text{auf} \;\; [-3 , 4] \] definierten Funktion \( f \).

Lösung zu Beispiel 8

Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion
Gegeben ist die Funktion:
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)

Die erste Ableitung lautet:
\[ f'(x) = \dfrac{2}{5}(x - 2)^{-3/5} = \dfrac{2}{5(x - 2)^{3/5} } \]

Schritt 2: Identifizieren Sie kritische Punkte
Die Ableitung \( f'(x) \) hat keine Nullstellen, da der Zähler konstant ist.
Allerdings ist die Ableitung nicht definiert, wenn der Nenner null ist, d. h. wenn \( x = 2 \).
Daher ist \( x = 2 \) ein kritischer Punkt, da die Ableitung an diesem Punkt nicht definiert ist.

Schritt 3: Werten Sie f(x) an den Randpunkten und dem kritischen Punkt aus
Berechnen Sie die Funktionswerte an Schlüsselpunkten innerhalb des Intervalls \([-3, 4]\):

\[ f(-3) = ((-3) - 2)^{2/5} = (-5)^{2/5} \approx 1.90 \]
\[ f(4) = (4 - 2)^{2/5} = 2^{2/5} \approx 1.32 \]
\[ f(2) = (2 - 2)^{2/5} = 0^{2/5} = 0 \]

Schritt 4: Bestimmen Sie das absolute Maximum und Minimum
Aus den obigen Auswertungen ergibt sich:

• Absolutes Minimum: 0 bei \( x = 2 \)
• Absolutes Maximum: ca. 1,90 bei \( x = -3 \)

Grafische Darstellung:
Der Graph von \( f(x) = (x - 2)^{2/5} \) über dem Intervall \([-3, 4]\) bestätigt den kritischen Punkt bei \( x = 2 \) sowie die absoluten Minimal- und Maximalwerte.