Diese Seite zeigt, wie man die Differentiation nutzt, um die wichtige trigonometrische Identität zu beweisen: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] für alle Werte von \( x \) im Definitionsbereich \([-1, 1]\).
Übersicht über die Methode
Um diese Identität zu beweisen, definieren wir eine Hilfsfunktion: \[ f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \] Wir werden zeigen, dass \( f(x) \) über seinen gesamten Definitionsbereich konstant ist, indem wir seine erste Ableitung berechnen und zeigen, dass sie überall im offenen Intervall \((-1, 1)\) gleich null ist.
Schritt-für-Schritt-Beweis
Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung
Erinnern Sie sich an die standardmäßigen Ableitungsformeln für Arkussinus und Arkuskosinus:
- \( \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
Das termweise Ableiten von \( f(x) \) ergibt: \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] + \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \]
Schritt 2: Stellen Sie fest, dass die Funktion konstant ist
Da \( f'(x) = 0 \) für alle \( x \in (-1, 1) \) gilt, folgt aus dem Mittelwertsatz (oder den Eigenschaften konstanter Funktionen), dass \( f(x) \) über das gesamte Intervall einen konstanten Wert, nennen wir ihn \( C \), annehmen muss. Durch Stetigkeit erstreckt sich diese Konstanz auch auf die abgeschlossenen Randpunkte \([-1, 1]\).
Schritt 3: Auswertung an einem bestimmten Punkt
Um den genauen Wert dieser Konstanten \( C \) zu bestimmen, werten wir \( f(x) \) an einem leicht zu berechnenden Punkt im Definitionsbereich aus. Wählen wir \( x = 0 \): \[ f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) \] Da \( \arcsin(0) = 0 \) und \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \) ist: \[ f(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \]
Endergebnis
Da \( f(x) \) eine konstante Funktion ist, die überall in ihrem Definitionsbereich gleich \( \dfrac{\pi}{2} \) ist, folgern wir, dass: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] für alle \( x \in [-1, 1] \).