Lernen Sie, wie Sie kritische Zahlen verschiedener Funktionstypen – einschließlich Polynomen, Beträgen, rationalen Ausdrücken und Wurzeln – mithilfe von Ableitungen identifizieren.
Definition von kritischen Zahlen
Eine Zahl \( a \) im Definitionsbereich einer Funktion \( f \) wird als kritische Zahl von \( f \) bezeichnet, wenn entweder:
Schritt-für-Schritt-Beispiele
Beispiel 1: Polynomfunktion \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \)
Der Definitionsbereich von \( f \) sind alle reellen Zahlen. Ihre Ableitung ist:
\[ f'(x) = 3x^{2} - 3. \]Da \( f' \) überall definiert ist, lösen Sie \( f'(x) = 0 \):
\[ 3x^{2} - 3 = 0 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1. \]Sowohl \( x = 1 \) als auch \( x = -1 \) liegen im Definitionsbereich, es handelt sich also um kritische Zahlen.
Beispiel 2: Betragsfunktion \( f(x) = |x - 2| \)
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen. Da \( |u| = \sqrt{u^{2}} \) mit \( u = x - 2 \) gilt, schreiben Sie \( f \) um als:
\[ f(x) = \sqrt{(x - 2)^{2}}. \]Unter Verwendung der Kettenregel lautet die Ableitung:
\[ f'(x) = \dfrac{(x - 2)}{|x - 2|}. \]Beachten Sie, dass \( f' \) bei \( x = 2 \) nicht definiert ist. Da \( 2 \) im Definitionsbereich liegt, handelt es sich um eine kritische Zahl.
Beispiel 3: Grafische Ableitungsanalyse
Finden Sie die kritischen Zahlen einer Funktion \( f \), deren Ableitung \( f' \) unten grafisch dargestellt ist.
Die kritischen Zahlen sind \( x = 1, -2, -3 \), wo \( f'(x) = 0 \) ist, und \( x = 0 \), wo \( f' \) nicht definiert ist.
Beispiel 4: Rationale Funktion \( f(x) = \dfrac{x^{2} + 7}{x + 3} \)
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen außer \( x = -3 \). Unter Verwendung der Quotientenregel lautet die Ableitung:
\[ f'(x) = \dfrac{2x(x + 3) - (x^{2} + 7)(1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x^{2} + 6x - 7}{(x + 3)^2}. \]Setzen Sie den Zähler gleich null:
\[ x^{2} + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0 \implies x = -7 \text{ oder } x = 1. \]Obwohl \( f' \) bei \( x = -3 \) nicht definiert ist, liegt \( -3 \) nicht im Definitionsbereich, ist also keine kritische Zahl. Daher sind die kritischen Zahlen \( x = -7 \) und \( x = 1 \).
Beispiel 5: Wurzelfunktion \( f(x) = (x - 2)^{\dfrac{2}{3}} + 3 \)
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen. Ihre Ableitung lautet:
\[ f'(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3(x - 2)^{\dfrac{1}{3}}}. \]Die Ableitung ist bei \( x = 2 \) nicht definiert, was im Definitionsbereich liegt. Somit ist \( x = 2 \) eine kritische Zahl.
Übungen zu kritischen Zahlen
Bestimmen Sie die kritischen Zahlen der folgenden Funktionen:
- \( f(x) = 2x^{3} - 6x - 13 \)
- \( f(x) = |x + 4| + 3 \)
- \( f(x) = (x - 3)^{3} - 5 \)
- \( f(x) = x^{\dfrac{1}{3}} + 2 \)
- \( f(x) = \dfrac{x}{x + 4} \)
Antworten zu den Übungen
- \( 1, -1 \)
- \( -4 \)
- \( 3 \)
- \( 0 \)
- Keine kritischen Zahlen