Anwendungen von Differentialgleichungen
Wir stellen Beispiele vor, in denen Differentialgleichungen häufig zur Modellierung natürlicher Phänomene, technischer Systeme und vieler anderer Situationen verwendet werden.
Anwendung 1: Exponentielles Wachstum - Bevölkerung
Sei \( P(t) \) eine Größe, die mit der Zeit \( t \) zunimmt, und die Zunahmerate ist proportional zu derselben Größe \( P \), wie folgt:
\[
\frac{dP}{dt} = kP
\]
wobei \( \frac{dP}{dt} \) die erste Ableitung von \( P \), \( k > 0 \), und \( t \) die Zeit ist.
Die Lösung der obigen Differentialgleichung erster Ordnung ist gegeben durch:
\[
P(t) = A e^{kt}
\]
wobei \( A \) eine Konstante ungleich 0 ist.
Wenn \( P = P_0 \) zum Zeitpunkt \( t = 0 \), dann gilt:
\[
P_0 = A e^0
\]
woraus sich \( A = P_0 \) ergibt.
Die endgültige Form der Lösung lautet:
\[
P(t) = P_0 e^{kt}
\]
Unter der Annahme, dass \( P_0 \) positiv ist und da \( k \) positiv ist, ist \( P(t) \) eine steigende Exponentialfunktion. \( \frac{dP}{dt} = kP \) wird auch als exponentielles Wachstumsmodell bezeichnet.
Anwendung 2: Exponentieller Zerfall - Radioaktives Material
Sei \( M(t) \) die Menge eines Produkts, die mit der Zeit \( t \) abnimmt, und die Abnahmerate ist proportional zur Menge \( M \), wie folgt:
\[
\frac{dM}{dt} = -kM
\]
wobei \( \frac{dM}{dt} \) die erste Ableitung von \( M \), \( k > 0 \), und \( t \) die Zeit ist.
Lösen Sie die obige Differentialgleichung erster Ordnung, um zu erhalten:
\[
M(t) = A e^{-kt}
\]
wobei \( A \) eine Konstante ungleich Null ist.
Wenn wir annehmen, dass \( M = M_0 \) zum Zeitpunkt \( t = 0 \), dann gilt:
\[
M_0 = A e^0
\]
woraus sich \( A = M_0 \) ergibt.
Die Lösung kann wie folgt geschrieben werden:
\[
M(t) = M_0 e^{-kt}
\]
Unter der Annahme, dass \( M_0 \) positiv ist und da \( k \) positiv ist, ist \( M(t) \) eine fallende Exponentialfunktion. \( \frac{dM}{dt} = -kM \) wird auch als exponentielles Zerfallsmodell bezeichnet.
Anwendung 3: Fallender Gegenstand
Ein Gegenstand wird zum Zeitpunkt \( t = 0 \) aus einer Höhe fallen gelassen. Wenn \( h(t) \) die Höhe des Gegenstands zum Zeitpunkt \( t \), \( a(t) \) die Beschleunigung und \( v(t) \) die Geschwindigkeit ist, sind die Beziehungen zwischen \( a \), \( v \) und \( h \) wie folgt:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \frac{dh}{dt}.
\]
Für einen fallenden Gegenstand ist \( a(t) \) konstant und gleich \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \).
Durch Kombinieren der obigen Differentialgleichungen können wir leicht die folgende Gleichung ableiten:
\[
\frac{d^2h}{dt^2} = g
\]
Integrieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung, um zu erhalten:
\[
\frac{dh}{dt} = gt + v_0
\]
Integrieren Sie ein weiteres Mal, um zu erhalten:
\[
h(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0
\]
Die obige Gleichung beschreibt die Höhe eines fallenden Gegenstands, ausgehend von einer Anfangshöhe \( h_0 \) mit einer Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \), als Funktion der Zeit.
Anwendung 4: Newtonsches Abkühlungsgesetz
Es ist ein Modell, das mathematisch die Temperaturänderung eines Objekts in einer gegebenen Umgebung beschreibt. Das Gesetz besagt, dass die Änderungsrate (in der Zeit) der Temperatur proportional zur Differenz zwischen der Temperatur \( T \) des Objekts und der Temperatur \( T_e \) der Umgebung ist.
\[
\frac{dT}{dt} = -k(T - T_e)
\]
Sei \( x = T - T_e \), so dass \( \frac{dx}{dt} = \frac{dT}{dt} \).
Unter Verwendung der obigen Variablenänderung wird die obige Differentialgleichung zu:
\[
\frac{dx}{dt} = -kx
\]
Die Lösung der obigen Differentialgleichung ist gegeben durch:
\[
x = A e^{-kt}
\]
Ersetzen Sie \( x \) durch \( T - T_e \):
\[
T - T_e = A e^{-kt}
\]
Nehmen Sie an, dass zum Zeitpunkt \( t = 0 \) die Temperatur \( T = T_0 \) ist:
\[
T_0 - T_e = A e^0
\]
woraus sich \( A = T_0 - T_e \) ergibt.
Der endgültige Ausdruck für \( T(t) \) lautet:
\[
T(t) = T_e + (T_0 - T_e)e^{-kt}
\]
Dieser letzte Ausdruck zeigt, wie sich die Temperatur \( T \) des Objekts mit der Zeit ändert.
Anwendung 5: RL-Schaltung
Betrachten wir die obige RL-Schaltung (Widerstand R und Spule L). Zum Zeitpunkt \( t = 0 \) wird der Schalter geschlossen, und Strom fließt durch den Stromkreis. Elektrizitätsgesetze besagen, dass die Spannung an einem Widerstand mit dem Widerstandswert \( R \) gleich \( R i \) ist, und die Spannung an einer Spule \( L \) ist gegeben durch \( L \frac{di}{dt} \) (wobei \( i \) der Strom ist). Ein weiteres Gesetz liefert eine Gleichung, die alle Spannungen im obigen Stromkreis wie folgt in Beziehung setzt:
\[
L \frac{di}{dt} + Ri = E, \quad \text{wobei } E \text{ eine konstante Spannung ist}.
\]
Lösen wir die obige Differentialgleichung, die wie folgt geschrieben werden kann:
\[
L \frac{\frac{di}{dt}}{E - Ri} = 1
\]
Dies kann geschrieben werden als:
\[
-\frac{L}{R} \frac{-Rdi}{E - Ri} = dt
\]
Integrieren Sie beide Seiten:
\[
-\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t + c, \quad c \text{ Integrationskonstante}.
\]
Bestimmen Sie die Konstante \( c \), indem Sie \( i = 0 \) bei \( t = 0 \) setzen (wenn der Schalter geschlossen wird), was ergibt:
\[
c = -\frac{L}{R} \ln(E)
\]
Setzen Sie \( c \) in die Lösung ein:
\[
-\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t - \frac{L}{R} \ln(E)
\]
Dies kann geschrieben werden als:
\[
\frac{L}{R} \ln\left(\frac{E}{E - Ri}\right) = t
\]
In Exponentialform umwandeln:
\[
\frac{E}{E - Ri} = e^{t(R/L)}
\]
Lösen Sie nach \( i \) auf, um zu erhalten:
\[
i = \frac{E}{R} \left(1 - e^{-\frac{Rt}{L}}\right)
\]
Das Ausgangsmodell für die Schaltung ist eine Differentialgleichung, die, wenn sie gelöst wird, einen Ausdruck für den Strom im Stromkreis als Funktion der Zeit liefert.
Weitere Referenzen und Links
Differentialgleichungen
Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation lösen