Wir präsentieren Beispiele, bei denen Differentialgleichungen weit verbreitet sind, um Naturphänomene, Ingenieursysteme und viele andere Situationen zu modellieren.
Anwendung 1: Exponentielles Wachstum – Bevölkerung
Sei \( P(t) \) eine Größe, die mit der Zeit \( t \) zunimmt, und die Zunahmerate sei proportional zu derselben Größe \( P \) wie folgt:
\[ \frac{dP}{dt} = kP \]wobei \( \frac{dP}{dt} \) die erste Ableitung von \( P \) ist, \( k > 0 \) und \( t \) die Zeit ist.
Die Lösung der obigen Differentialgleichung erster Ordnung ist gegeben durch:
\[ P(t) = A e^{kt} \]wobei \( A \) eine Konstante ungleich 0 ist.
Wenn \( P = P_0 \) bei \( t = 0 \) gilt, dann:
\[ P_0 = A e^0 \]was \( A = P_0 \) ergibt. Die Endform der Lösung lautet:
Unter der Annahme, dass \( P_0 \) positiv ist und da \( k \) positiv ist, ist \( P(t) \) eine wachsende Exponentialfunktion. \( \frac{dP}{dt} = kP \) wird auch als exponentielles Wachstumsmodell bezeichnet.
Anwendung 2: Exponentieller Zerfall – Radioaktives Material
Sei \( M(t) \) die Menge eines Stoffes, die mit der Zeit \( t \) abnimmt, und die Abnahmerate sei proportional zur Menge \( M \) wie folgt:
\[ \frac{dM}{dt} = -kM \]wobei \( \frac{dM}{dt} \) die erste Ableitung von \( M \) ist, \( k > 0 \) und \( t \) die Zeit ist.
Lösen Sie die obige Differentialgleichung erster Ordnung, um folgendes zu erhalten:
\[ M(t) = A e^{-kt} \]wobei \( A \) eine Konstante ungleich Null ist.
Wenn wir annehmen, dass \( M = M_0 \) bei \( t = 0 \) ist, dann:
\[ M_0 = A e^0 \]was \( A = M_0 \) ergibt. Die Lösung kann wie folgt geschrieben werden:
Unter der Annahme, dass \( M_0 \) positiv ist und da \( k \) positiv ist, ist \( M(t) \) eine abnehmende Exponentialfunktion. \( \frac{dM}{dt} = -kM \) wird auch als exponentielles Zerfallsmodell bezeichnet.
Anwendung 3: Fallendes Objekt
Ein Objekt wird zum Zeitpunkt \( t = 0 \) aus einer Höhe fallen gelassen. Wenn \( h(t) \) die Höhe des Objekts zum Zeitpunkt \( t \), \( a(t) \) die Beschleunigung und \( v(t) \) die Geschwindigkeit ist, lauten die Beziehungen zwischen \( a \), \( v \) und \( h \) wie folgt:
\[ a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \frac{dh}{dt} \]Für ein fallendes Objekt ist \( a(t) \) konstant und gleich \( g = -9,8 \, \text{m/s}^2 \).
Durch Kombination der obigen Differentialgleichungen können wir leicht die folgende Gleichung herleiten:
\[ \frac{d^2h}{dt^2} = g \]Integrieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung, um folgendes zu erhalten:
\[ \frac{dh}{dt} = gt + v_0 \]Integrieren Sie ein weiteres Mal, um folgendes zu erhalten:
Die obige Gleichung beschreibt die Höhe eines fallenden Objekts von einer anfänglichen Höhe \( h_0 \) bei einer Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \) als Funktion der Zeit.
Anwendung 4: Newtonsches Abkühlungsgesetz
Dies ist ein Modell, das mathematisch die Temperaturänderung eines Objekts in einergegebenen Umgebung beschreibt. Das Gesetz besagt, dass die Änderungsrate (in der Zeit) der Temperatur proportional zur Differenz zwischen der Temperatur \( T \) des Objekts und der Temperatur \( T_e \) der Umgebung des Objekts ist:
\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_e) \]Sei \( x = T - T_e \), sodass \( \frac{dx}{dt} = \frac{dT}{dt} \) gilt.
Unter Verwendung dieser Variablensubstitution wird die Differentialgleichung zu:
\[ \frac{dx}{dt} = -kx \]Die Lösung der obigen Differentialgleichung ist gegeben durch:
\[ x = A e^{-kt} \]Ersetzen Sie \( x \) durch \( T - T_e \):
\[ T - T_e = A e^{-kt} \]Nehmen Sie an, dass bei \( t = 0 \) die Temperatur \( T = T_0 \) ist:
\[ T_0 - T_e = A e^0 \]was \( A = T_0 - T_e \) ergibt.
Der endgültige Ausdruck für \( T(t) \) ist gegeben durch:
Dieser letzte Ausdruck zeigt, wie sich die Temperatur \( T \) des Objekts mit der Zeit verändern wird.
Anwendung 5: RL-Schaltung
Betrachten wir die oben abgebildete RL-Schaltung (Widerstand R und Induktivität L). Zum Zeitpunkt \( t = 0 \) wird der Schalter geschlossen, und Strom fließt durch den Schaltkreis. Elektrizitätsgesetze besagen, dass der Spannungsabfall an einem Widerstand mit dem Widerstand \( R \) gleich \( R i \) ist und der Spannungsabfall an einer Induktivität \( L \) durch \( L \frac{di}{dt} \) gegeben ist (wobei \( i \) der Strom ist). Ein weiteres Gesetz liefert eine Gleichung, die alle Spannungen im Schaltkreis wie folgt verknüpft:
\[ L \frac{di}{dt} + Ri = E, \quad \text{wobei } E \text{ eine konstante Spannung ist} \]Lösen wir die obige Differentialgleichung, die wie folgt geschrieben werden kann:
\[ L \frac{\frac{di}{dt}}{E - Ri} = 1 \]Dies kann geschrieben werden als:
\[ -\frac{L}{R} \frac{-Rdi}{E - Ri} = dt \]Integrieren Sie beide Seiten:
\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t + c, \quad c \text{ Integrationskonstante} \]Finden Sie die Konstante \( c \), indem Sie \( i = 0 \) bei \( t = 0 \) setzen (wenn der Schalter geschlossen wird), was folgendes ergibt:
\[ c = -\frac{L}{R} \ln(E) \]Setzen Sie \( c \) in die Lösung ein:
\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t - \frac{L}{R} \ln(E) \]Dies kann wie folgt geschrieben werden:
\[ \frac{L}{R} \ln\left(\frac{E}{E - Ri}\right) = t \]Formen Sie in die Exponentialform um:
\[ \frac{E}{E - Ri} = e^{t(R/L)} \]Lösen Sie nach \( i \) auf, um folgendes zu erhalten:
Das Ausgangsmodell für die Schaltung ist eine Differentialgleichung, die nach dem Lösen einen Ausdruck für den Strom im Schaltkreis als Funktion der Zeit liefert.