In diesem Tutorial wird erklärt, wie man Differentialgleichungen zweiter Ordnung löst, wenn die Hilfsgleichung zwei gleiche reelle Lösungen hat. Schritt-für-Schritt-Beispiele mit detaillierten Lösungen sind enthalten.
Betrachten Sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \] Ihre Hilfsgleichung lautet \[ k^2 + b k + c = 0 \] Wenn die Diskriminante \[ b^2 - 4c = 0 \] erfüllt, dann hat die Gleichung **zwei gleiche reelle Lösungen**, gegeben durch \[ k = -\frac{b}{2} \] In diesem Fall lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: \[ y(x) = A e^{k x} + B x e^{k x} \] wobei \(A\) und \(B\) Konstanten sind, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden.
Sei \(y = x e^{kx}\). Dann sind die Ableitungen: \[ y' = e^{kx} + k x e^{kx}, \quad y'' = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} \] Eingesetzt in die Differentialgleichung: \[ y'' + b y' + c y = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} + b(e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) \] Ausklammern und vereinfachen: \[ e^{kx} \left[ 2k + b + x (k^2 + b k + c) \right] = 0 \] Da \(k^2 + b k + c = 0\) und \(2k + b = 0\) wenn \(k = -\frac{b}{2}\), erfüllt die Lösung die Differentialgleichung.
Lösen Sie:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \] Lösung:Die Hilfsgleichung:
\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \] \[ (k + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -1 \]Die allgemeine Lösung:
\[ y(x) = A e^{-x} + B x e^{-x} \] wobei \(A\) und \(B\) Konstanten sind. Sie können durch Einsetzen überprüfen, dass dies die Differentialgleichung erfüllt.Lösen Sie mit den Anfangsbedingungen \(y(0) = 4\) und \(y'(0) = 0\):
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \] Lösung:Die Hilfsgleichung:
\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \] \[ (k - 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 2 \]Die allgemeine Lösung:
\[ y(x) = A e^{2x} + B x e^{2x} \]Anwenden der Anfangsbedingungen:
\[ y(0) = A = 4 \] \[ y'(x) = 2 A e^{2x} + B (e^{2x} + 2 x e^{2x}) \quad \Rightarrow \quad y'(0) = 2A + B = 0 \] \[ B = -2A = -8 \]Endgültige Lösung:
\[ y(x) = 4 e^{2x} - 8 x e^{2x} \]