Dieses Tutorial erklärt, wie man Differentialgleichungen zweiter Ordnung löst, wenn die Hilfsgleichung zwei gleiche reelle Lösungen hat. Schritt-für-Schritt-Beispiele mit detaillierten Lösungen sind enthalten.
Allgemeine Methode
Betrachten Sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]Ihre Hilfsgleichung lautet:
\[ k^2 + b k + c = 0 \]Wenn die Diskriminante Folgendes erfüllt:
\[ b^2 - 4c = 0 \]dann hat die Gleichung zwei gleiche reelle Lösungen, gegeben durch:
\[ k = -\frac{b}{2} \]In diesem Fall lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:
wobei \( A \) und \( B \) Konstanten sind, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden.
Verifizierung
Sei \( y = x e^{kx} \). Dann sind die Ableitungen:
\[ y' = e^{kx} + k x e^{kx}, \quad y'' = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} \]Einsetzen in die Differentialgleichung:
\[ y'' + b y' + c y = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} + b(e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) \]Ausklammern und vereinfachen:
\[ e^{kx} \left[ 2k + b + x (k^2 + b k + c) \right] = 0 \]Da \( k^2 + b k + c = 0 \) und \( 2k + b = 0 \), wenn \( k = -\frac{b}{2} \) ist, erfüllt die Lösung die Differentialgleichung.
Beispiele mit Lösungen
Durchgerechnete Beispiele: Mehrfache Wurzeln & Anfangswertprobleme
Beispiel 1
Lösen Sie:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \]Lösung:
Die Hilfsgleichung:
\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \implies (k + 1)^2 = 0 \implies k = -1 \]Die allgemeine Lösung:
\[ y(x) = A e^{-x} + B x e^{-x} \]wobei \( A \) und \( B \) Konstanten sind. Sie können durch Einsetzen überprüfen, dass dies die Differentialgleichung erfüllt.
Beispiel 2
Lösen Sie mit den Anfangsbedingungen \( y(0) = 4 \) und \( y'(0) = 0 \):
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \]Lösung:
Die Hilfsgleichung:
\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \implies (k - 2)^2 = 0 \implies k = 2 \]Die allgemeine Lösung:
\[ y(x) = A e^{2x} + B x e^{2x} \]Wenden Sie die Anfangsbedingungen an:
\[ y(0) = A = 4 \]Differenzieren Sie, um \( y'(x) \) zu finden:
\[ y'(x) = 2 A e^{2x} + B (e^{2x} + 2 x e^{2x}) \]Unter Verwendung von \( y'(0) = 0 \):
\[ y'(0) = 2A + B = 0 \implies 2(4) + B = 0 \implies B = -8 \]Endgültige Lösung:
\[ y(x) = 4 e^{2x} - 8 x e^{2x} \]