In diesem Tutorial wird erklärt, wie man Differentialgleichungen zweiter Ordnung löst, deren Hilfsgleichung zwei verschiedene komplex konjugierte Wurzeln hat. Schritt-für-Schritt-Beispiele und Übungen zur Vertiefung sind enthalten.
Betrachten Sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]
Ihre Hilfsgleichung lautet:
\[ k^2 + b k + c = 0 \]
Wenn die Diskriminante \( b^2 - 4c < 0 \) ist, hat die quadratische Gleichung zwei komplex konjugierte Wurzeln:
\[ k_1 = r + t i, \quad k_2 = r - t i \]
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist:
\[ y(x) = e^{r x} \left( A \cos(t x) + B \sin(t x) \right) \] wobei \( A \) und \( B \) beliebige Konstanten sind.
Lösen Sie die Differentialgleichung:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
Lösung:
Die Hilfsgleichung lautet:
\[ k^2 + k + 2 = 0 \]
Die Lösung ergibt zwei komplex konjugierte Wurzeln:
\[ k_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} i, \quad k_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} i \]
Somit ist \( r = -\frac{1}{2} \) und \( t = \frac{\sqrt{7}}{2} \). Die allgemeine Lösung ist:
\[ y(x) = e^{-x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) \right) \]
Lösen Sie die Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungen \( y(0)=1, y'(0)=0 \):
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{3} \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \]
Lösung:
Hilfsgleichung:
\[ k^2 + \sqrt{3} k + 3 = 0 \]
Komplexe Wurzeln:
\[ k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i, \quad k_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i \]
Allgemeine Lösung:
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]
Anwenden der Anfangsbedingungen:
\( y(0) = 1 \Rightarrow B = 1 \)
\( y'(0) = 0 \Rightarrow -\frac{\sqrt{3}}{2} B + \frac{3}{2} A = 0 \Rightarrow A = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Endgültige Lösung:
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]
Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:
Antworten: