Tutorial zum Finden von Ableitungen von Funktionen in der Analysis (Differentiation) mit Beträgen.
Ein Video zum Thema Wie findet man die Ableitung einer Betragsfunktion? ist ebenfalls enthalten.
Ableitung einer Betragsfunktion
Sei \( f(x) = |u(x)| \). Beachten Sie, dass \( |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \) ist.
Verwenden Sie die Kettenregel der Differentiation, um die Ableitung von \( f = |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \) zu finden:
\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \]Daher:
Beispiele mit Lösungen
Durchgerechnete Beispiele: Schritt-für-Schritt-Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die erste Ableitung \( f'(x) \), wenn \( f(x) \) gegeben ist durch:
\[ f(x) = |x - 1| \]Lösung zu Beispiel 1:
Sei \( u = x - 1 \), sodass \( f(x) \) als \( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \) geschrieben werden kann.
Verwenden Sie die Kettenregel:
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \left(\dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}}\right) \dfrac{du}{dx} = u \cdot \dfrac{u'}{|u|} = \dfrac{x-1}{|x-1|} \]Beachten Sie Folgendes:
- Wenn \( x > 1 \) ist, dann ist \( |x - 1| = x - 1 \) und \( f'(x) = 1 \).
- Wenn \( x < 1 \) ist, dann ist \( |x - 1| = -(x - 1) \) und \( f'(x) = -1 \).
- \( f'(x) \) existiert bei \( x = 1 \) nicht.
Die Graphen von \( f \) und seiner Ableitung \( f' \) zeigen, dass es nicht möglich ist, an der Stelle \( x = 1 \) eine eindeutige Tangente an den Graphen von \( f \) zu legen, was das Nichtexistieren der Ableitung bei \( x = 1 \) erklärt.
Beispiel 2
Finden Sie die erste Ableitung von \( f \), gegeben durch:
\[ f(x) = -x + 2 + |-x + 2| \]Lösung zu Beispiel 2:
\( f(x) \) setzt sich aus der Summe zweier Funktionen zusammen. Sei \( u = -x + 2 \), sodass:
\[ f'(x) = -1 + u' \dfrac{u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \]Vereinfachen:
\[ f'(x) = -1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \]Beachten Sie Folgendes:
- Wenn \( x < 2 \) ist, ist \( |-x + 2| = -x + 2 \) und \( f'(x) = -2 \).
- Wenn \( x > 2 \) ist, ist \( |-x + 2| = -(-x + 2) \) und \( f'(x) = 0 \).
- \( f'(x) \) existiert bei \( x = 2 \) nicht.
Zeichnen Sie als Übung den Graphen von \( f \) und erklären Sie die oben erhaltenen Ergebnisse bezüglich \( f'(x) \).
Beispiel 3
Finden Sie die erste Ableitung von \( f \), gegeben durch:
\[ f(x) = \dfrac{x+1}{|x^2 - 1|} \]Lösung zu Beispiel 3:
Unter Verwendung der Quotientenregel und der Ableitungsformel für Beträge:
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot |x^2 - 1| - (x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \]Zerlegen Sie den Bruch in zwei Terme und vereinfachen Sie den Bruch auf der linken Seite:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \]Vereinfachen Sie den Bruch auf der rechten Seite:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]Bringen Sie die beiden Brüche auf denselben Nenner:
\[ f'(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]Addieren Sie die beiden Brüche und vereinfachen Sie:
\[ f'(x) = -\dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \]Übungen mit Antworten
Übungsaufgaben & Lösungen
Finden Sie die ersten Ableitungen dieser Funktionen:
Hinweis: Bei einigen der folgenden Fragen müssen Sie möglicherweise die Kettenregel mehrmals anwenden.
- \( f(x) = |2x - 5| \)
- \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
- \( h(x) = \left|\dfrac{x+1}{x-3}\right| \)
- \( i(x) = |-2x^2 + 2x - 1| \)
- \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
- \( k(x) = |\ln(-3x+1)| \)
- \( l(x) = \sin |2x| \)
Antworten zu den obigen Übungen:
- \( f'(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)
- \( g'(x) = 2(x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)
- \( h'(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)
- \( i'(x) = \dfrac{(-2x^2+2x-1)(-4x+2)}{|-2x^2+2x-1|} \)
- \( j'(x) = \dfrac{2e^{|2x-1|}(2x-1)}{|2x-1|} \)
- \( k'(x) = -\dfrac{3\ln(-3x+1)}{|\ln(-3x+1)|(-3x+1)} \)
- \( l'(x) = \dfrac{2x\cos(2|x|)}{|x|} \)