Ableitungen mit Betrag

Tutorial zum Finden von Ableitungen von Funktionen in der Analysis (Differenziation), die den Betrag enthalten.
Ein Video über Wie man die Ableitung einer Betragsfunktion findet? ist enthalten.

Ableitung einer Betragsfunktion

\( f(x) = | u(x) | \).
Beachte, dass \( |u(x)| = \sqrt {u^2(x)} \).
Verwenden Sie die Kettenregel der Differenziation, um die Ableitung von \( f = | u(x) | = \sqrt {u^2(x)} \) zu finden.
      \( \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \)

      \( \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2 u }{\sqrt {u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \)
Daher
\[ \large \color{red}{\dfrac{df}{dx} = \dfrac{du}{dx} \dfrac{u}{|u|}} \]

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1
Finden Sie die erste Ableitung \( f'(x) \), wenn \( f(x) \) gegeben ist durch \[ f(x) = |x - 1| \] Lösung zu Beispiel 1
Sei \( u = x - 1\) sodass \( f(x) \) geschrieben werden kann als
\( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \)

Verwenden Sie die Kettenregel
\( f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \)

\( f '(x) = (1/2) \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} \dfrac{du}{dx}\)

\( f '(x) = u \cdot \dfrac{u '}{|u|}\)

\( f '(x) = u \cdot \dfrac{1}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{x-1}{|x-1|}\)

Beachten Sie Folgendes:
1) wenn \( x \gt 1 \), dann ist \( |x - 1| = x - 1 \) und \( f '(x) = 1 \).
2) Wenn \( x \lt 1 \), dann ist \( |x - 1| = -(x - 1) \) und \( f '(x) = -1 \).
3) \( f '(x) \) existiert nicht an der Stelle \( x = 1 \).
Die Graphen von \( f \) und ihrer Ableitung \( f' \) sind unten dargestellt, und wir sehen, dass es nicht möglich ist, eine Tangente an den Graphen von \( f \) bei \( x = 1 \) zu haben, was die Nichtexistenz der Ableitung bei \( x = 1 \) erklärt.

Finden Sie die erste Ableitung von \( f \) gegeben durch \[ f(x) = - x + 2 + |- x + 2| \] Lösung zu Beispiel 2
\( f(x) \) besteht aus der Summe zweier Funktionen. Sei \( u = - x + 2 \) sodass
\( f '(x) = -1 + u ' \dfrac {u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \)
Vereinfachen
\( f '(x) = - 1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \)
Beachten Sie Folgendes:
1) Wenn \( x \lt 2 \), \( |- x + 2 | = - x + 2 \) und \( f '(x) = -2 \).
2) Wenn \( x \gt 2 \), \( |- x + 2 | = -(- x + 2) \) und \( f '(x) = 0 \).
3) \( f '(x) \) existiert nicht an der Stelle \( x = 2 \).

Als Übung zeichnen Sie den Graphen von \( f \) und erklären Sie die oben erhaltenen Ergebnisse bezüglich \( f'(x) \).

Finden Sie die erste Ableitung von \( f \) gegeben durch \[ f(x) = \dfrac{x+1}{ |x^2 - 1| } \] Lösung zu Beispiel 3
\( f '(x) = \dfrac{1.|x^2 - 1|-(x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \)

Teilen Sie den Bruch in zwei Brüche auf und vereinfachen Sie den Bruch auf der linken Seite
\( f '(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \)

Vereinfachen Sie den Bruch auf der rechten Seite
\( f '(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \)

Bringen Sie die beiden Brüche auf den gleichen Nenner
\( f '(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \)

Addieren Sie die beiden Brüche und vereinfachen Sie
\( f '(x) = - \dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \)

Übungen mit Antworten

Finden Sie die ersten Ableitungen dieser Funktionen
Hinweis: Bei einigen der folgenden Fragen müssen Sie möglicherweise die Kettenregel mehr als einmal anwenden.
1. \( f(x) = |2x - 5| \)
2. \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
3. \( h(x) = \left |\dfrac{x+1}{x-3} \right| \)
4. \( i(x) = \left | -2x^2 + 2x -1 \right| \)
5. \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
6. \( k(x) = | \ln(-3x+1)| \)
7. \( l(x) = \sin |2x| \)

Antworten zu den obigen Übungen:

1. \( f '(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)

2. \( g '(x) = 2 (x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)

3. \( h '(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)

4. \( i '(x) = \dfrac{\left(-2x^2+2x-1\right)\left(-4x+2\right)}{\left|-2x^2+2x-1\right|} \)

5. \( j '(x) = \dfrac{2e^{\left|2x-1\right|}\left(2x-1\right)}{\left|2x-1\right|} \)

6. \( k '(x) = -\dfrac{3\ln \left(-3x+1\right)}{\left|\ln \left(-3x+1\right)\right|\left(-3x+1\right)} \)

7. \( l '(x) = \dfrac{2x\cos \left(2\left|x\right|\right)}{\left|x\right|} \)

Weitere Links und Referenzen

1. Kettenregel
2. Differenziation und Ableitungen