Kettenregel der Differentiation in der Analysis

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung \( f'(x) \) gegeben durch:

\[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]

Lösung zu Beispiel 1:

Sei \( u = 5x - 2 \) und \( f(u) = 4 \cos u \), folglich:

\[ \dfrac{du}{dx} = 5 \quad \text{und} \quad \dfrac{df}{du} = -4 \sin u \]

Wir verwenden nun die Kettenregel:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = -4 \sin(u) \cdot 5 \]

Setzen Sie \( u = 5x - 2 \) wieder in den Ausdruck ein:

\[ f'(x) = -20 \sin (5x - 2) \]

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Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung \( f'(x) \) gegeben durch:

\[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]

Lösung zu Beispiel 2:

Sei \( u = x^3 - 4x + 5 \) und \( f(u) = u^4 \), was ergibt:

\[ \dfrac{du}{dx} = 3x^2 - 4 \quad \text{und} \quad \dfrac{df}{du} = 4u^3 \]

Anwendung der Kettenregel:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = (4u^3)(3x^2 - 4) \]

Setzen Sie \( u = x^3 - 4x + 5 \) wieder ein:

\[ f'(x) = 4(x^3 - 4x + 5)^3 (3x^2 - 4) \]

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Beispiel 3

Finden Sie \( f'(x) \) gegeben durch:

\[ f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 1} \]

Lösung zu Beispiel 3:

Sei \( u = x^2 + 2x - 1 \) und \( f(u) = \sqrt{u} \), was ergibt:

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \quad \text{und} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \]

Verwenden Sie die Kettenregel:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} (2x + 2) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

Klammern Sie 2 im Zähler und Nenner aus und vereinfachen Sie:

\[ f'(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

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Beispiel 4

Finden Sie die erste Ableitung von \( f \) gegeben durch:

\[ f(x) = \sin^2 (2x + 3) \]

Lösung zu Beispiel 4:

Sei \( u = \sin (2x + 3) \) und \( f(u) = u^2 \), was ergibt:

\[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \quad \text{und} \quad \dfrac{df}{du} = 2u \]

Die Anwendung der Kettenregel führt zu:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2u \cdot 2 \cos(2x + 3) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) zur Vereinfachung:

\[ f'(x) = 2 \sin (4x + 6) \]

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Beispiel 5

Finden Sie die erste Ableitung von \( f \) gegeben durch:

\[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]

Lösung zu Beispiel 5:

Sei \( u = x^2 + x \) und \( f(u) = \ln u \), folglich:

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \quad \text{und} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \]

Verwenden Sie die Kettenregel und substituieren Sie \( u = x^2 + x \) zurück:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2x + 1) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x} \]

Verwenden Sie die Kettenregel, um die erste Ableitung jeder der folgenden Funktionen zu finden:

1. \( f(x) = \cos (3x - 3) \)
2. \( l(x) = (3x^2 - 3x + 8)^4 \)
3. \( m(x) = \sin \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
4. \( t(x) = \sqrt{3x^2 - 3x + 6} \)
5. \( r(x) = \sin^2 (4x + 20) \)

Antworten zu den obigen Übungen

1. \( f'(x) = -3 \sin (3x - 3) \)
2. \( l'(x) = 12(2x - 1)(3x^2 - 3x + 8)^3 \) (Hinweis: Ausklammern liefert \(12(2x-1)\) aus \(4(3x^2-3x+8)^3(6x-3)\))
3. \( m'(x) = -\dfrac{1}{(x - 2)^2} \cos \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
4. \( t'(x) = \dfrac{6x - 3}{2\sqrt{3x^2 - 3x + 6}} \)
5. \( r'(x) = 8\sin(4x+20)\cos(4x+20) = 4\sin(8x+40) \)