Kettenregel der Differentialrechnung

Die Kettenregel der Differentialrechnung von Funktionen in der Analysis wird zusammen mit mehreren Beispielen und detaillierten Lösungen und Kommentaren vorgestellt. Übungen mit Antworten sind ebenfalls enthalten.

Kettenregel der Differentialrechnung

Es sei \[ f(x) = (g_{\circ} h)(x) = g(h(x) ) \] die Verkettung zweier Funktionen.
Es sei \( u = h(x) \). Unter Verwendung des Obigen kann die Funktion \( f \) geschrieben werden als: \[ f(x) = g(u) \] die Ableitung \( f' \) von \( f \) nach \( x \) ist gegeben durch die Kettenregel der Differentialrechnung [1] : \[ \boxed { f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} } \]


Beispiele zur Anwendung der Kettenregel

Wir stellen nun mehrere Beispiele für die Anwendung der Kettenregel vor.

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung \( f'(x) \) gegeben \[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]

Lösung zu Beispiel 1

Es sei \( u = 5x - 2 \) und \( f(u) = 4 \cos u \), daher \[ \dfrac{du}{dx} = 5 \] und \[ \dfrac{df}{du} = - 4 \sin u \] Wir wenden nun die Kettenregel an \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \\ = - 4 \sin (u) \cdot 5 \] Wir ersetzen nun \( u = 5x - 2\) in \( \sin (u) \) oben, um zu erhalten \[ \boxed{ f '(x) = - 20 \sin (5x - 2) } \]


Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung \( f '(x) \) gegeben \[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]

Lösung zu Beispiel 2

Es sei \( u = x^3 - 4x + 5\) und \( f(u) = u^4 \), was ergibt \[ \dfrac{du}{dx} = 3 x^2 - 4 \] und \[ \dfrac{df}{du} = 4 u^3 \] Anwendung der Kettenregel \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \\ = (4 u^3) (3 x^2 - 4) \] Wir ersetzen nun \( u = x^3 - 4x + 5 \) oben, um zu erhalten \[ \boxed{ f '(x) = 4 (x^3 - 4x + 5)^3 (3 x^2 - 4) } \]


Beispiel 3

Finden Sie \( f '(x) \) gegeben \[ f(x) = \sqrt {x^2 + 2x -1} \]

Lösung zu Beispiel 3

Es sei \( u = x^2 + 2x -1 \) und \( f(u) = \sqrt u \), was ergibt \[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \] und \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2 \sqrt u} \] Wir wenden die Kettenregel an und erhalten \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{ 2 \sqrt u} (2x+2) \] Ersetzen Sie \( u = x^2 + 2x -1 \) oben, um zu erhalten \[ f '(x) = \dfrac{2x + 2}{2 \sqrt{x^2 + 2x -1}} \] Faktorisieren Sie 2 im Zähler und Nenner und vereinfachen Sie \[ \boxed{ f '(x) = \dfrac{x + 1}{ \sqrt{x^2 + 2x -1}}} \]


Beispiel 4

Finden Sie die erste Ableitung von \( f \) gegeben \[ f(x) = \sin ^2 (2x + 3) \]

Lösung zu Beispiel 4

Es sei \( u = \sin (2x + 3) \) und \( f(u) = u^2 \), was ergibt \[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \] und \[ \dfrac{df}{du} = 2 u \] Die Anwendung der Kettenregel führt zu \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2 u \cdot 2 \cos(2x + 3) \] Ersetzen Sie \( u = \sin (2x + 3) \) oben, um zu erhalten \[ f '(x) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \] Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin (2x) = 2 \sin x \cos x \), um \( f '(x) \) zu vereinfachen \[ \boxed{ f '(x) = 2 \sin (4x + 6) } \]


Beispiel 5

Finden Sie die erste Ableitung von \( f \) gegeben \[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]

Lösung zu Beispiel 5

Es sei \( u = x^2 + x \) und \( f(u) = \ln u \), daher \[ \dfrac{du}{dx} = 2 x + 1 \] und \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \] Wenden Sie die Kettenregel an und setzen Sie ein \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2 x + 1) \] Ersetzen Sie zurück \( u = x^2 + x \) \[ \boxed{ f'(x) = \dfrac{2 x + 1}{x^2 + x} } \]


Übungen zur Kettenregel der Differentialrechnung

Verwenden Sie die Kettenregel, um die erste Ableitung jeder der Funktionen zu finden.

  1. \( f(x) = \cos (3x -3) \)
  2. \( l(x) = (3x^2 - 3 x + 8)^4 \)
  3. \( m(x) = \sin \left( \dfrac{1}{x-2} \right) \)
  4. \( t(x) = \sqrt {3x^2 - 3 x + 6 } \)
  5. \( r(x) = \sin^2 (4 x + 20) \)

Antworten zu den obigen Übungen

  1. \( f'(x) = -3 \sin (3 x - 3) \)
  2. \( l'(x) = 12 (2 x - 1) (3 x^2 - 3 x + 8)^3 \)
  3. \( m'(x) = - \dfrac{1}{(x - 2)^2} \cos \left( \dfrac{1}{x-2} \right) \)
  4. \( t'(x) = \dfrac{6x-3}{ 2 \sqrt{3 x^2 - 3 x + 6}} \)
  5. \( r'(x) = 8\sin \left(4x+20\right)\cos \left(4x+20\right) \\ = 4 \sin (8x+40) \)


Weitere Links und Referenzen

  1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
  2. Differentialrechnung und Ableitungen
  3. Lösen von Änderungsraten-Problemen in der Analysis
  4. Lösen von Tangenten-Problemen in der Analysis
  5. Startseite