Ein Tutorial, wie man die erste Ableitung von \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) findet und \( f \) und \( f' \) für \( x \in \mathbb{R} \) zeichnet.
Da die Definitionsmenge von \( f \) \( \mathbb{R} \) ist und \( \sin(x) \) periodisch ist, ist \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) ebenfalls eine periodische Funktion.
Wenn \( x \) von \( 0 \) auf \( \frac{\pi}{2} \) ansteigt, steigt \( \sin(x) \) von \( 0 \) auf \( 1 \) und \( \arcsin(\sin(x)) \) steigt von \( 0 \) auf \( \frac{\pi}{2} \). Tatsächlich gilt für \( x \in [0 , \frac{\pi}{2}] \), dass \( \arcsin(\sin(x)) = x \) ist. Wenn \( x \) von \( \frac{\pi}{2} \) auf \( \frac{3\pi}{2} \) ansteigt, fällt \( \sin(x) \) von \( 1 \) auf \( -1 \) und \( \arcsin(\sin(x)) \) fällt von \( \frac{\pi}{2} \) auf \( -\frac{\pi}{2} \). Wenn \( x \) von \( \frac{3\pi}{2} \) auf \( 2\pi \) ansteigt, steigt \( \sin(x) \) von \( -1 \) auf \( 0 \) und \( \arcsin(\sin(x)) \) steigt von \( -\frac{\pi}{2} \) auf \( 0 \).
Da \( \sin(x) \) eine Periode von \( 2\pi \) hat, hat \( \arcsin(\sin(x)) \) ebenfalls eine Periode von \( 2\pi \). Die Grafik unten zeigt die Graphen von \( \arcsin(\sin(x)) \) und \( \sin(x) \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \).
Die Grafik unten zeigt die Graphen von \( \arcsin(\sin(x)) \) und \( \sin(x) \) über 3 Perioden.
Definitionsmenge von \( f \): \( (-\infty , +\infty) \)
Wertemenge von \( f \): \( \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\right] \)
\( f(x) \) ist eine zusammengesetzte Funktion und die Ableitung wird mit der Kettenregel wie folgt berechnet: Sei \( u = \sin(x) \).
Daher ist \( f(x) = \arcsin(u(x)) \).
Wende die Kettenregel der Differentiation an:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arcsin(u))}{du} = \cos(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \]
Einsetzen von \( u = \sin(x) \): \[ f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} = \frac{\cos(x)}{|\cos(x)|} \]
Unten ist \( \arcsin(\sin(x)) \) in Rot und seine Ableitung in Blau dargestellt. Beachte, dass die Ableitung für Werte von \( x \), für die \( \cos(x) = 0 \) gilt, nicht definiert ist, was bei \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) der Fall ist, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Für dieselben Werte von \( x \) hat \( \arcsin(\sin(x)) \) entweder einen Maximalwert gleich \( \frac{\pi}{2} \) oder einen Minimalwert gleich \( -\frac{\pi}{2} \).
Beachte, dass obwohl \( \arcsin(\sin(x)) \) für alle Werte von \( x \) stetig ist, ihre Ableitung an bestimmten Werten von \( x \) nicht definiert ist.
