Ein Tutorial darüber, wie man die erste Ableitung von \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) findet und \( f \) sowie \( f' \) für \( x \in \mathbb{R} \) grafisch darstellt.
Graphen von \( \sin(x) \) und \( \arcsin(\sin(x)) \)
Da der Definitionsbereich von \( f \) gleich \( \mathbb{R} \) ist und \( \sin(x) \) periodisch ist, ist auch \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) eine periodische Funktion.
Wenn \( x \) von \( 0 \) auf \( \frac{\pi}{2} \) ansteigt, steigt \( \sin(x) \) von \( 0 \) auf \( 1 \) und \( \arcsin(\sin(x)) \) steigt von \( 0 \) auf \( \frac{\pi}{2} \). Tatsächlich gilt für \( x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \): \( \arcsin(\sin(x)) = x \). Wenn \( x \) von \( \frac{\pi}{2} \) auf \( \frac{3\pi}{2} \) ansteigt, sinkt \( \sin(x) \) von \( 1 \) auf \( -1 \) und \( \arcsin(\sin(x)) \) sinkt von \( \frac{\pi}{2} \) auf \( -\frac{\pi}{2} \). Wenn \( x \) von \( \frac{3\pi}{2} \) auf \( 2\pi \) ansteigt, steigt \( \sin(x) \) von \( -1 \) auf \( 0 \) und \( \arcsin(\sin(x)) \) steigt von \( -\frac{\pi}{2} \) auf \( 0 \).
Da \( \sin(x) \) eine Periode von \( 2\pi \) hat, hat auch \( \arcsin(\sin(x)) \) eine Periode von \( 2\pi \). Die folgende Abbildung zeigt die Graphen von \( \arcsin(\sin(x)) \) und \( \sin(x) \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \).
Die folgende Abbildung zeigt die Graphen von \( \arcsin(\sin(x)) \) und \( \sin(x) \) über 3 Perioden.
Definitionsbereich von \( f \): \( (-\infty, +\infty) \)
Wertebereich von \( f \): \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)
Ableitung von \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) und ihr Graph
\( f(x) \) ist eine zusammengesetzte Funktion und die Ableitung wird mithilfe der Kettenregel wie folgt berechnet: Sei \( u = \sin(x) \).
Folglich \( f(x) = \arcsin(u(x)) \).
Wenden Sie die Kettenregel der Differentiation an:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arcsin(u))}{du} = \cos(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \]Einsetzen von \( u = \sin(x) \):
\[ f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \]Vereinfachen:
Unten sind \( \arcsin(\sin(x)) \) in Rot und seine Ableitung in Blau dargestellt. Beachten Sie, dass die Ableitung für Werte von \( x \), für die \( \cos(x) = 0 \) ist (also bei \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist), undefiniert ist. Für genau diese Werte von \( x \) hat \( \arcsin(\sin(x)) \) entweder einen Maximalwert gleich \( \frac{\pi}{2} \) oder einen Minimalwert gleich \( -\frac{\pi}{2} \).
Beachten Sie, dass \( \arcsin(\sin(x)) \) zwar für alle Werte von \( x \) stetig ist, seine Ableitung jedoch für bestimmte Werte von \( x \) undefiniert ist.
