Ableitungen der inversen trigonometrischen Funktionen
Beweise der Formeln für die Ableitungen
der inversen trigonometrischen Funktionen werden zusammen mit mehreren anderen Beispielen mit Summen, Produkten und Quotienten von Funktionen vorgestellt. Eine weitere Methode zur Bestimmung der Ableitung von Umkehrfunktionen wird ebenfalls gezeigt und kann verwendet werden.
1 - Ableitung von \( y = \arcsin(x) \)
Let
\[ y = \arcsin(x) \]
welche geschrieben werden kann als
\[ x = \sin(y) \]
Beide Seiten der obigen Gleichung nach \( x \) ableiten
\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d (\sin(y))} {dx} \]
Die linke Seite vereinfachen und die Kettenregel auf der rechten Seite anwenden
\[ 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \]
Daraus ergibt sich
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]
Die trigonometrische Identität \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1\) ergibt
\[ \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} \]
Von oben haben wir \( x = \sin(y) \), also
\[ \cos(y) = \sqrt{1 - x^2} \]
Ersetzen Sie \( \cos(y) = \sqrt{1 - x^2} \) in \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \), um zu erhalten
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]
Daher
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}
\]
2 - Ableitung von \( \arccos(x) \)
Lassen
\[
y = \arccos(x)
\]
welche geschrieben werden kann als
\[ x = \cos(y)\]
Die Ableitung beider Seiten der obigen Gleichung nach \( x \) unter Verwendung der Kettenregel auf der rechten Seite ergibt
\[
1 = - \sin(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Daraus ergibt sich
\[
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sin(y) }
\]
Die trigonometrische Identität \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1\) ergibt
\[ \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2 (y)} \]
Verwenden Sie \( x = \cos(y)\) von oben, um zu schreiben
\[
\sin(y) = \sqrt{1 - x^2}
\]
Ersetzen Sie \( \sin y \) in \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sin(y) } \), um zu erhalten
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}
\]
3 - Ableitung von \( \arctan(x) \)
Lassen
\[
y = \arctan(x)
\]
welche geschrieben werden kann als
\[
x = \tan(y)
\]
Wir leiten beide Seiten nach x ab, unter Verwendung der Kettenregel auf der rechten Seite, um zu erhalten
\[
1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Daraus ergibt sich
\[
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y) } = \cos^2(y)
\]
Wir verwenden nun die trigonometrische Identität
\[
\cos^2(y) = \dfrac{1}{1+\tan^2(y)}
\]
und \( x = \tan(y) \) von oben, um \( \sec^2(y) \) in Termen von x auszudrücken
\[
\cos^2(y) = \dfrac{1}{1+x^2}
\]
Einsetzen in \( \dfrac{dy}{dx} = \cos^2(y) \), um zu erhalten
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1+x^2 }}
\]
4 - Ableitung von \( \text{arccot}(x) \)
Lassen
\[
y = \text{arccot}(x)
\]
welche geschrieben werden kann als
\[
x = \cot(y)
\]
Beide Seiten nach x ableiten, unter Verwendung der Kettenregel auf der rechten Seite, ergibt
\[
1 = - \csc^2(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Daraus ergibt sich
\[
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\csc^2(y) } = - \sin^2(y)
\]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität
\[
\sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)}
\]
und \( x = \cot(y) \) von oben, um \( \sin^2(y) \) in Termen von x auszudrücken
\[
\sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2}
\]
Daher
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = - \dfrac{1}{1+x^2 }}
\]
5 - Ableitung von \( \text{arcsec}(x) \)
Lassen
\[
y = \text{arcsec}(x)
\]
welche geschrieben werden kann als
\[
x = \sec(y)
\]
Die Ableitung beider Seiten nach x, unter Verwendung der Kettenregel auf der rechten Seite, ergibt
\[
1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Daraus ergibt sich
\[
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y) }
\]
Verwenden Sie die Identität \( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} \) und \( x = \sec(y) \) von oben, um
\( \sec(y) \tan(y) \) in Termen von x auszudrücken
\[
\sec(y) \tan(y) = x \sqrt{x^2 - 1}
\]
Daher
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1} }}
\]
6 - Ableitung von \( \text{arccsc}(x) \)
Lassen
\[
y = \text{arccsc}(x)
\]
welche geschrieben werden kann als
\[
x = \csc(y)
\]
Die Ableitung der linken und rechten Seite der obigen Gleichung, unter Verwendung der Kettenregel auf der rechten Seite, ergibt
\[
1 = - \csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Daraus ergibt sich
\[
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{ \csc(y) \cot(y) }
\]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cot y = \sqrt {\csc^2 y - 1} \) und \( x = \csc(y) \) von oben,
um \( \csc(y) \cot(y) \) in Termen von x auszudrücken
\[
\csc(y) \cot(y) = \csc(y) \sqrt {\csc^2 y - 1} = x \sqrt{x^2 - 1}
\]
Daher
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = - \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1} }}
\]
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die erste Ableitung von \[ f(x) = x \arcsin x \]
Lösung zu Beispiel 1:
Sei \( h(x) = x \) und \( g(x) = \arcsin x \), die Funktion \( f \) wird als Produkt der Funktionen \( h \) und \( g \) betrachtet: \( f(x) = h(x) g(x) \).
Verwenden Sie die Produktregel der Differentiation: \( f '(x) = h(x) g '(x) + g(x) h '(x) \), um die Funktion \( f \) wie folgt zu differenzieren
\( f '(x) = x \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + \arcsin x \cdot 1 \)
\( = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \)
Beispiel 2
Finden Sie die erste Ableitung von \[ f(x) = \arctan x + x^2 \]
Lösung zu Beispiel 2:
Sei \( g(x) = \arctan x \) und \( h(x) = x^2 \), die Funktion \( f \) kann als Summe der Funktionen \( g \) und \( h \) betrachtet werden: \( f(x) = g(x) + h(x) \). Daher verwenden wir die Summenregel \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), um die Funktion \( f \) wie folgt zu differenzieren
\( f '(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \)
\( = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \)
Beispiel 3
Finden Sie die erste Ableitung von \[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]
Sei \( u(x) = 2x + 2 \), die Funktion \( f \) kann als Verkettung \( f(x) = \arcsin(u(x)) \) betrachtet werden. Daher verwenden wir die Kettenregel \( f '(x) = \left( \dfrac{du}{dx} \right) \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \), um die Funktion \( f \) wie folgt zu differenzieren
\( f '(x) = 2 \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \right) \)
\( = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \)
Weitere Referenzen und Links
Ableitung der Umkehrfunktion
Differentiation und Ableitungen