Beweise der Formeln für die Ableitungen von inversen trigonometrischen Funktionen werden zusammen mit mehreren anderen Beispielen zu Summen, Produkten und Quotienten von Funktionen vorgestellt. Eine andere Methode zum Finden der Ableitung von Umkehrfunktionen ist ebenfalls enthalten und kann verwendet werden.
Beweise und Formeln für Ableitungen inverser trigonometrischer Funktionen
1. Ableitung von \( y = \arcsin(x) \)
Sei \( y = \arcsin(x) \), was als \( x = \sin(y) \) geschrieben werden kann.
Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d(\sin(y))}{dx} \implies 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]Unter Verwendung der trigonometrischen Identität \( \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \) erhalten wir:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]2. Ableitung von \( \arccos(x) \)
Sei \( y = \arccos(x) \), was als \( x = \cos(y) \) geschrieben werden kann.
Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ 1 = -\sin(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\sin(y)} \]Da \( \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \) ist, erhalten wir:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]3. Ableitung von \( \arctan(x) \)
Sei \( y = \arctan(x) \), was als \( x = \tan(y) \) geschrieben werden kann.
Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ 1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y)} = \cos^2(y) \]Unter Verwendung der Identität \( \cos^2(y) = \dfrac{1}{1 + \tan^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \) erhalten wir:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^2}} \]4. Ableitung von \( \text{arccot}(x) \)
Sei \( y = \text{arccot}(x) \), was als \( x = \cot(y) \) geschrieben werden kann.
Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ 1 = -\csc^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc^2(y)} = -\sin^2(y) \]Da \( \sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \) ist, erhalten wir:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{1 + x^2}} \]5. Ableitung von \( \text{arcsec}(x) \)
Sei \( y = \text{arcsec}(x) \), was als \( x = \sec(y) \) geschrieben werden kann.
Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ 1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y)} \]Unter Verwendung von \( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \) erhalten wir:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]6. Ableitung von \( \text{arccsc}(x) \)
Sei \( y = \text{arccsc}(x) \), was als \( x = \csc(y) \) geschrieben werden kann.
Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ 1 = -\csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc(y) \cot(y)} \]Unter Verwendung von \( \cot y = \sqrt{\csc^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \) erhalten wir:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die erste Ableitung von:
\[ f(x) = x \arcsin x \]Lösung zu Beispiel 1
Sei \( h(x) = x \) und \( g(x) = \arcsin x \). Die Funktion \( f \) wird als Produkt der Funktionen \( h \) und \( g \) angesehen: \( f(x) = h(x)g(x) \).
Verwenden Sie die Produktregel der Differentiation \( f'(x) = h(x)g'(x) + g(x)h'(x) \):
\[ f'(x) = x \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) + \arcsin x \cdot 1 \] \[ = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \]Beispiel 2
Finden Sie die erste Ableitung von:
\[ f(x) = \arctan x + x^2 \]Lösung zu Beispiel 2
Sei \( g(x) = \arctan x \) und \( h(x) = x^2 \). Die Funktion \( f \) kann als Summe der Funktionen \( g \) und \( h \) angesehen werden: \( f(x) = g(x) + h(x) \). Daher verwenden wir die Summenregel \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \):
\[ f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \] \[ = \dfrac{1 + 2x(1 + x^2)}{1 + x^2} = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \]Beispiel 3
Finden Sie die erste Ableitung von:
\[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]Lösung zu Beispiel 3
Sei \( u(x) = 2x + 2 \), sodass die Funktion \( f \) die Verknüpfung \( f(x) = \arcsin(u(x)) \) ist. Verwenden Sie die Kettenregel \( f'(x) = \dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \):
\[ f'(x) = 2 \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]Setzen Sie \( u = 2x + 2 \) ein:
\[ = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \]