Was ist der Differenzquotient in der Analysis?
Wir beginnen mit der Definition und berechnen dann beispielhaft den Differenzenquotienten für verschiedene Funktionen mit ausführlichen Erläuterungen.
Beachten Sie, dass ein Differenzquotientenrechner enthalten ist und zur Überprüfung der Ergebnisse und zur weiteren Generierung verwendet werden kann üben.
\( \)\( \)\( \)\( \)
Definition des Differenzquotienten
Sei \( f \) eine Funktion, deren Diagramm unten dargestellt ist.
A und B sind Punkte im Graphen von \( f\). Eine Linie, die durch die beiden Punkte \( A ( x , f(x)) \) und \( B (x+h , f(x+h)) \) heißt Sekantenlinie. Die Steigung \( m \) der Sekantenlinie kann wie folgt berechnet werden:
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{(x + h) - x}
\]
Vereinfachen Sie den Nenner, um ihn zu erhalten
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
\]
Die Steigung \( m \) wird als Differenzenquotient bezeichnet. Es ist ein sehr wichtiges Konzept in der Analysis, wo es zur Definition der Ableitung der Funktion \( f \) verwendet wird, die in der Mathematik tatsächlich die lokale Variation einer Funktion definiert.
Beispiele mit Lösungen
In den folgenden Beispielen berechnen und vereinfachen wir die Differenzenquotienten verschiedener Funktionen.
Beispiel 1
Finden Sie den Differenzquotienten der Funktion \( f \), definiert durch
\[f(x) = 2x + 5\]
Wir ersetzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) in der Definition des Differenzenquotienten durch ihre Ausdrücke
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2 x + 5) }{h}
\)
Wir vereinfachen den obigen Ausdruck.
\(
= \dfrac{2h}{2} = 2
\)
Die Antwort ist 2, was auch die Steigung der durch die Funktion \( f \) definierten Geraden ist, warum?
Beispiel 2
Finden Sie den Differenzenquotienten der folgenden Funktion
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]
Wir ersetzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) im Differenzenquotienten
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - ( 2 x^2 + x - 2 )}{h}
\)
Wir erweitern die Ausdrücke im Zähler und gruppieren ähnliche Terme.
\(
= \dfrac{ 4 x h + 2 h^2 + h}{h} = 4 x + 2 h +1
\)
Beispiel 3
Finden Sie den Differenzquotienten der Funktion \( f \), gegeben durch
\[ f(x) = \sin x \]
und schreibe das Ergebnis als Produkt.
Lösung zu Beispiel 3
Wir berechnen zunächst \( f(x + h) \).
\(
f(x + h) = \sin (x + h)
\)
Wir ersetzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) im Differenzenquotienten
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ \sin (x + h) - \sin x}{h}
\)
Wir verwenden die trigonometrische Formel, die eine Differenz \( \quad \sin (x + h) - \sin x \quad \) in ein Produkt umwandeln.
\(
\sin (x + h) - \sin x = 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)
\)
Wir ersetzen den obigen Ausdruck für \( sin (x + h) - sin x \) im obigen Differenzenquotienten, um zu erhalten.
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\)
