Was ist der Differenzenquotient in der Analysis?
Wir beginnen mit der Definition und berechnen dann den Differenzenquotienten für verschiedene Funktionen als Beispiele mit detaillierten Erklärungen.
Beachten Sie, dass ein Differenzenquotient-Rechner enthalten ist und verwendet werden kann, um Ergebnisse zu überprüfen und weiteres Übungsmaterial zu generieren.
Definition des Differenzenquotienten
Sei \( f \) eine Funktion, deren Graph unten dargestellt ist.
\( A \) und \( B \) sind Punkte auf dem Graphen von \( f \). Eine Gerade, die durch die beiden Punkte \( A(x, f(x)) \) und \( B(x+h, f(x+h)) \) verläuft, wird als Sekante bezeichnet. Die Steigung \( m \) der Sekante kann wie folgt berechnet werden:
\[ m = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} \]Vereinfachen Sie den Nenner, um Folgendes zu erhalten:
Die Steigung \( m \) wird als Differenzenquotient bezeichnet. Er ist ein sehr wichtiges Konzept in der Analysis, wo er zur Definition der Ableitung der Funktion \( f \) verwendet wird, die wiederum die lokale Änderungsrate einer Funktion in der Mathematik definiert.
Beispiele mit Lösungen
In den folgenden Beispielen berechnen und vereinfachen wir die Differenzenquotienten verschiedener Funktionen.
Beispiel 1
Finden Sie den Differenzenquotienten der durch Folgendes definierten Funktion \( f \):
\[ f(x) = 2x + 5 \]Lösung zu Beispiel 1
Wir müssen zuerst \( f(x + h) \) berechnen:
\[ f(x + h) = 2(x + h) + 5 \]Wir setzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) in die Definition des Differenzenquotienten ein:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2x + 5)}{h} \]Wir vereinfachen den obigen Ausdruck:
\[ = \dfrac{2h}{h} = 2 \]Die Antwort ist 2, was auch der Steigung der durch die Funktion \( f \) definierten Geraden entspricht. Warum? Weil lineare Funktionen eine konstante Änderungsrate besitzen, die gleich ihrer Steigung ist!
Beispiel 2
Finden Sie den Differenzenquotienten der folgenden Funktion:
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]Lösung zu Beispiel 2
Wir berechnen zuerst \( f(x + h) \):
\[ f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 \]Wir setzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) in den Differenzenquotienten ein:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - (2x^2 + x - 2)}{h} \]Wir expandieren die Ausdrücke im Zähler und fassen gleichartige Terme zusammen:
\[ = \dfrac{2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{4xh + 2h^2 + h}{h} = 4x + 2h + 1 \]Beispiel 3
Finden Sie den Differenzenquotienten der durch \( f(x) = \sin x \) gegebenen Funktion \( f \)
und schreiben Sie das Ergebnis als Produkt.
Lösung zu Beispiel 3
Wir berechnen zuerst \( f(x + h) \):
\[ f(x + h) = \sin(x + h) \]Wir setzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) in den Differenzenquotienten ein:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]Wir verwenden die trigonometrische Formel, die eine Differenz \( \sin(x + h) - \sin x \) in ein Produkt umwandelt:
\[ \sin(x + h) - \sin x = 2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \]Wir setzen den obigen Ausdruck in den Differenzenquotienten ein, um Folgendes zu erhalten:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]