Differenzenquotient
Was ist der Differenzenquotient in der Analysis?
Wir beginnen mit der Definition und berechnen dann den Differenzenquotienten für verschiedene Funktionen als Beispiele mit ausführlichen Erklärungen.
Hinweis: Ein Differenzenquotient-Rechner ist verfügbar und kann verwendet werden, um Ergebnisse zu überprüfen und weitere Übungen zu generieren.
Definition des Differenzenquotienten
Sei \( f \) eine Funktion, deren Graph unten dargestellt ist.
A und B sind Punkte auf dem Graphen von \( f\). Eine Gerade, die durch die beiden Punkte \( A ( x , f(x)) \) und \( B(x+h , f(x+h)) \) verläuft, nennt man eine Sekante. Die Steigung \( m \) der Sekante kann wie folgt berechnet werden:
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{(x + h) - x}
\]
Vereinfacht man den Nenner, erhält man
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
\]
Die Steigung \( m \) wird als Differenzenquotient bezeichnet. Er ist ein sehr wichtiges Konzept in der Analysis, wo er verwendet wird, um die Ableitung der Funktion \( f \) zu definieren, die ihrerseits die lokale Änderung einer Funktion in der Mathematik beschreibt.
Beispiele mit Lösungen
In den folgenden Beispielen berechnen und vereinfachen wir die Differenzenquotienten verschiedener Funktionen.
Beispiel 1
Finden Sie den Differenzenquotienten der Funktion \( f \), definiert durch
\[f(x) = 2x + 5\]
Lösung zu Beispiel 1
Wir müssen zuerst \( f(x + h) \) berechnen.
\[
f(x + h) = 2(x + h) + 5
\]
Wir setzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) in die Definition des Differenzenquotienten ein:
\[
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2 x + 5) }{h}
\]
Wir vereinfachen den obigen Ausdruck.
\[
= \dfrac{2h}{h} = 2
\]
Die Antwort ist 2, was auch der Steigung der durch die Funktion \( f \) definierten Geraden entspricht. Warum?
Beispiel 2
Finden Sie den Differenzenquotienten der folgenden Funktion
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]
Lösung zu Beispiel 2
Wir berechnen zunächst \( f(x + h) \).
\[
f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2
\]
Wir setzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) in den Differenzenquotienten ein:
\[
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - ( 2 x^2 + x - 2 )}{h}
\]
Wir entwickeln die Ausdrücke im Zähler und fassen gleichartige Terme zusammen.
\[
= \dfrac{ 4 x h + 2 h^2 + h}{h} = 4 x + 2 h + 1
\]
Beispiel 3
Finden Sie den Differenzenquotienten der Funktion \( f \), gegeben durch
\[ f(x) = \sin x \]
und schreiben Sie das Ergebnis als Produkt.
Lösung zu Beispiel 3
Wir berechnen zunächst \( f(x + h) \).
\[
f(x + h) = \sin (x + h)
\]
Wir setzen nun \( f(x + h) \) und \( f(x) \) in den Differenzenquotienten ein:
\[
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ \sin (x + h) - \sin x}{h}
\]
Wir verwenden die trigonometrische Formel, die eine Differenz \( \quad \sin (x + h) - \sin x \quad \) in ein Produkt umwandelt.
\[
\sin (x + h) - \sin x = 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)
\]
Wir setzen den obigen Ausdruck für \( \sin (x + h) - \sin x \) in den obigen Differenzenquotienten ein und erhalten:
\[
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\]
Weitere Referenzen und Links
Differenzenquotient-Rechner
Differentialrechnung und Ableitungen
Differenzenquotient (Wikipedia)