Ableitungen von Funktionen in der Analysis finden

Umfassende Beispiele zur Differentiation: Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Das Meistern der Differentiation erfordert die Anwendung spezifischer Regeln basierend auf der Struktur der Funktion. Unten finden Sie Beispiele zur Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel mit detaillierten Lösungen.

Potenzregel-Beispiele

Die Potenzregel besagt, dass für \( f(x) = x^n \) die Ableitung \( f'(x) = nx^{n-1} \) ist.

Beispiel 7: Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 10 \)

Wenden Sie die Potenzregel auf jeden Term einzeln an:

  • Die Ableitung von \( 4x^5 \) ist \( 4(5x^4) = 20x^4 \)
  • Die Ableitung von \( -3x^2 \) ist \( -3(2x) = -6x \)
  • Die Ableitung von \( 7x \) ist \( 7(1) = 7 \)
  • Die Ableitung der Konstanten \( -10 \) ist \( 0 \)

Endgültige Lösung: \( f'(x) = 20x^4 - 6x + 7 \)

Beispiel 8: Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{3}{x^2} + 5\sqrt[3]{x} \)

Schreiben Sie die Funktion mit Exponenten um: \( f(x) = 3x^{-2} + 5x^{1/3} \)

Wenden Sie die Potenzregel an:

\[ f'(x) = 3(-2x^{-3}) + 5(\frac{1}{3}x^{-2/3}) \] \[ f'(x) = -\dfrac{6}{x^3} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

Beispiele zur Produkt- und Quotientenregel

Beispiel 1: \( f(x) = (x^2 - 5)(x^3 - 2x + 3) \) (Produktregel)

Unter Verwendung von \( f'(x) = U'V + UV' \):

\[ f'(x) = 2x(x^3 - 2x + 3) + (x^2 - 5)(3x^2 - 2) \]

Ergebnis: \( 5x^4 - 21x^2 + 6x + 10 \)

Beispiel 3: \( f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{5x - 3} \) (Quotientenregel)

Unter Verwendung von \( f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{V^2} \):

\[ f'(x) = \dfrac{2x(5x - 3) - (x^2 + 1)5}{(5x - 3)^2} \]

Ergebnis: \( \dfrac{5x^2 - 6x - 5}{(5x - 3)^2} \)

Kettenregel-Beispiele

Die Kettenregel wird für zusammengesetzte Funktionen verwendet: \( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Beispiel 9: Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = (4x^3 - 2x)^6 \)

Sei die „innere“ Funktion \( u = 4x^3 - 2x \). Dann ist \( f(x) = u^6 \).

1. Differenzieren Sie die äußere Funktion: \( 6u^5 \)

2. Differenzieren Sie die innere Funktion: \( u' = 12x^2 - 2 \)

3. Multiplizieren Sie diese: \( 6(4x^3 - 2x)^5 \cdot (12x^2 - 2) \)

Ergebnis: \( 12(6x^2 - 1)(4x^3 - 2x)^5 \)

Beispiel 10: Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)

Schreiben Sie als \( f(x) = (x^2 + 1)^{1/2} \) um.

\[ f'(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (2x) \]

Die 2en kürzen sich weg, sodass übrig bleibt:

\[ f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Übungsaufgaben

Übung 7: \( f(x) = 10x^4 - \pi x + e \) (Potenzregel)

Antwort: \( f'(x) = 40x^3 - \pi \) (Hinweis: \( e \) ist eine Konstante, ihre Ableitung ist 0).

Übung 8: \( g(x) = (2x+1)^3(x-5)^2 \) (Produkt- + Kettenregel)

Antwort: \( g'(x) = 3(2x+1)^2(2)(x-5)^2 + (2x+1)^3(2)(x-5) \)

Vereinfacht: \( 2(2x+1)^2(x-5)[3(x-5) + (2x+1)] = 2(2x+1)^2(x-5)(5x-14) \)

Übung 9: \( h(x) = \sin(x^2) \) (Trig- + Kettenregel)

Antwort: \( h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2) \)

Weiterführende Literatur