Ableitungen von Funktionen in der Analysis finden
Finden Sie die Ableitungen verschiedener Funktionen mit unterschiedlichen Methoden und Regeln der Analysis. Mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen werden vorgestellt. Weitere Übungen mit Antworten finden Sie am Ende dieser Seite.
Beispiel 1:
Finden Sie die Ableitung der Funktion \( f \), gegeben durch
\[
f(x) = (x^2 - 5)(x^3 - 2x + 3)
\]
Lösung zu Beispiel 1:
Die Funktion \( f \) ist das Produkt zweier Funktionen:
\[
U = x^2 - 5 \quad \text{und} \quad V = x^3 - 2x + 3
\]
Daher gilt:
\[
f(x) = U \, V
\]
Wir verwenden die Produktregel, um \( f \) zu differenzieren:
\[
f'(x) = U'V + UV'
\]
wobei \( U' \) und \( V' \) die Ableitungen von \( U \) bzw. \( V \) sind, gegeben durch
\[
U' = 2x \quad \text{und} \quad V' = 3x^2 - 2
\]
Einsetzen ergibt:
\[
f'(x) = 2x(x^3 - 2x + 3) + (x^2 - 5)(3x^2 - 2)
\]
Ausmultiplizieren, zusammenfassen und vereinfachen ergibt:
\[
\begin{align*}
f'(x) &= 2x^4 - 4x^2 + 6x + 3x^4 - 15x^2 + 10 \\
&= 5x^4 - 21x^2 + 6x + 10
\end{align*}
\]
Beispiel 2:
Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion f, gegeben durch
\[
f(x) = (\sqrt x + 2x)(4x^2-1)
\]
Lösung zu Beispiel 2:
Diese Funktion kann als Produkt der Funktionen \( U = \sqrt x + 2x \) und \( V = 4 x^2 - 1 \) betrachtet werden, daher die Anwendung der Produktregel
\[
f'(x) = U' V + U V' \\
= (\dfrac{1}{2\sqrt x} + 2)(4x^2-1) + (\sqrt x + 2 x)(8x)
\]
Um die Terme zu addieren, müssen Sie alle Terme als Brüche mit einem gemeinsamen Nenner schreiben.
\[
f'(x) = \dfrac{(1+2\cdot2\sqrt x)(4x^2-1)+2\sqrt x(8x)(\sqrt x + 2x)}{2\sqrt x}
\]
Ausmultiplizieren
\[
f'(x) = \dfrac{4x^2-1+16x^{5/2}-4\sqrt x+16x^2+32x^{5/2}}{2\sqrt x}
\]
und zusammenfassen, um das endgültige Ergebnis für die Ableitung von f zu erhalten.
\[
f'(x) = \dfrac{48x^{5/2}+20x^2-4x^{1/2}-1}{2\sqrt x}
\]
Beispiel 3:
Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion \( f \), gegeben durch
\[
f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{5x - 3}
\]
Lösung zu Beispiel 3:
Die gegebene Funktion kann als Quotient zweier Funktionen betrachtet werden:
\[
U = x^2 + 1 \quad \text{und} \quad V = 5x - 3
\]
Wir verwenden die Quotientenregel, um \( f \) zu differenzieren:
\[
f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{V^2}
\]
Da \( U' = 2x \) und \( V' = 5 \) ist, erhalten wir:
\[
f'(x) = \dfrac{2x(5x - 3) - (x^2 + 1)5}{(5x - 3)^2}
\]
Ausmultiplizieren und zusammenfassen ergibt \( f'(x) \):
\[
\begin{align*}
f'(x) &= \dfrac{10x^2 - 6x - 5x^2 - 5}{(5x - 3)^2} \\
&= \dfrac{5x^2 - 6x - 5}{(5x - 3)^2}
\end{align*}
\]
Beispiel 4:
Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion f, gegeben durch
\[ f(x) = \dfrac{x - \sqrt{x}}{5x^2 - 3} \]
Lösung zu Beispiel 4:
Die Funktion \( f \) ist der Quotient zweier Funktionen, daher die Anwendung der Quotientenregel:
\[ f'(x) = \dfrac{(1 - \dfrac{1}{2\sqrt{x}})(5x^2 - 3) - (x - \sqrt{x})10x}{(5x^2 - 3)^2} \]
Schreiben Sie alle Terme im Zähler so, dass sie denselben Nenner \( 2\sqrt{x} \) haben:
\[ f'(x) = \dfrac{(2\sqrt{x} - 1)(5x^2 - 3) - 2\sqrt{x}(x - \sqrt{x})10x}{2\sqrt{x}(5x^2 - 3)^2} \]
Ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen, um \( f'(x) \) zu erhalten:
\[ f'(x) = \dfrac{-10x^{5/2} + 15x^2 - 6\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}(5x^2 - 3)^2} \]
Beispiel 5:
Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion \( f \), gegeben durch
\[
f(x) = \left( \dfrac{1}{x} - 3 \right) \dfrac{x^2 + 3}{2x - 1}
\]
Lösung zu Beispiel 5:
Die oben gegebene Funktion \( f \) kann als Produkt der Funktionen \( U = \dfrac{1}{x} - 3 \) und \( V = \dfrac{x^2 + 3}{2x - 1} \) betrachtet werden, und die Funktion \( V \) kann als Quotient der beiden Funktionen \( x^2 + 3 \) und \( 2x - 1 \) betrachtet werden. Wir wenden die Produktregel für \( f \) und die Quotientenregel für \( V \) an, wie folgt.
Seien \( U = \dfrac{1}{x} - 3 \) und \( V = \dfrac{x^2 + 3}{2x - 1} \).
Dann ist \( f(x) = U \cdot V \), also nach der Produktregel:
\[
f'(x) = U' \cdot V + U \cdot V'
\]
Berechnen Sie zunächst \( U' \):
\[
U = x^{-1} - 3 \quad \Rightarrow \quad U' = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}
\]
Als nächstes berechnen Sie \( V' \) mit der Quotientenregel:
\[
V = \dfrac{x^2 + 3}{2x - 1} \quad \Rightarrow \quad V' = \dfrac{(2x)(2x - 1) - (x^2 + 3)(2)}{(2x - 1)^2}
\]
\[
V' = \dfrac{4x^2 - 2x - 2x^2 - 6}{(2x - 1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - 6}{(2x - 1)^2}
\]
Setzen Sie nun in die Produktregel ein:
\[
f'(x) = \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) \cdot \dfrac{x^2 + 3}{2x - 1} + \left(\dfrac{1}{x} - 3\right) \cdot \dfrac{2x^2 - 2x - 6}{(2x - 1)^2}
\]
Schreiben Sie mit einem gemeinsamen Nenner \( x^2(2x - 1)^2 \):
\[
f'(x) = \dfrac{-(x^2 + 3)(2x - 1) + \left(\dfrac{1}{x} - 3\right)(2x^2 - 2x - 6) \cdot x^2}{x^2(2x - 1)^2}
\]
Vereinfachen Sie den zweiten Term: \( \left(\dfrac{1}{x} - 3\right) \cdot x^2 = x - 3x^2 \), also:
\[
f'(x) = \dfrac{-(x^2 + 3)(2x - 1) + (x - 3x^2)(2x^2 - 2x - 6)}{x^2(2x - 1)^2}
\]
Multiplizieren Sie beide Terme im Zähler aus:
Erster Term:
\[
-(x^2 + 3)(2x - 1) = -(2x^3 - x^2 + 6x - 3) = -2x^3 + x^2 - 6x + 3
\]
Zweiter Term:
\[
(x - 3x^2)(2x^2 - 2x - 6) = 2x^3 - 2x^2 - 6x - 6x^4 + 6x^3 + 18x^2
\]
\[
= -6x^4 + (2x^3 + 6x^3) + (-2x^2 + 18x^2) - 6x
\]
\[
= -6x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 6x
\]
Addieren Sie beide Teile:
\[
(-2x^3 + x^2 - 6x + 3) + (-6x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 6x)
\]
\[
= -6x^4 + (-2x^3 + 8x^3) + (x^2 + 16x^2) + (-6x - 6x) + 3
\]
\[
= -6x^4 + 6x^3 + 17x^2 - 12x + 3
\]
Somit gilt:
\[
f'(x) = \dfrac{-6x^4 + 6x^3 + 17x^2 - 12x + 3}{x^2(2x - 1)^2}
\]
Beispiel 6:
Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion \( f \), gegeben durch
\[
f(x) = \sqrt{x} (2x - 1)(x^3 - x)
\]
Lösung zu Beispiel 6:
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Ableitung der oben gegebenen Funktion \( f \) zu finden. Eine davon ist, die Funktion \( f \) als das Produkt der Funktion \( U = \sqrt{x} \) und \( V = (2x - 1)(x^3 - x) \) zu betrachten, und auch \( V \) als das Produkt von \( (2x - 1) \) und \( (x^3 - x) \) zu betrachten, und die Produktregel auf \( f \) und \( V \) anzuwenden, wie folgt.
Seien \( U = \sqrt{x} \) und \( V = (2x - 1)(x^3 - x) \).
Dann ist \( f(x) = U \cdot V \), also nach der Produktregel:
\[
f'(x) = U' \cdot V + U \cdot V'
\]
Berechnen Sie zunächst \( U' \):
\[
U = x^{1/2} \quad \Rightarrow \quad U' = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\]
Berechnen Sie nun \( V' \), wobei \( V = (2x - 1)(x^3 - x) \).
Seien \( P = 2x - 1 \) und \( Q = x^3 - x \), dann gilt \( V' = P' \cdot Q + P \cdot Q' \):
\[
P' = 2, \quad Q' = 3x^2 - 1
\]
\[
V' = 2(x^3 - x) + (2x - 1)(3x^2 - 1)
\]
Setzen Sie nun in die Produktregel ein:
\[
f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (2x - 1)(x^3 - x) + \sqrt{x} \cdot \left[2(x^3 - x) + (2x - 1)(3x^2 - 1)\right]
\]
Schreiben Sie mit einem gemeinsamen Nenner \( 2\sqrt{x} \):
\[
f'(x) = \dfrac{(2x - 1)(x^3 - x) + 2x\left[2(x^3 - x) + (2x - 1)(3x^2 - 1)\right]}{2\sqrt{x}}
\]
Multiplizieren Sie jeden Term aus:
**Erster Term:** \( (2x - 1)(x^3 - x) = 2x^4 - 2x^2 - x^3 + x \)
**Zweiter Term innerhalb der Klammern:**
\[
2(x^3 - x) = 2x^3 - 2x
\]
\[
(2x - 1)(3x^2 - 1) = 6x^3 - 2x - 3x^2 + 1
\]
Addieren Sie sie: \( (2x^3 - 2x) + (6x^3 - 2x - 3x^2 + 1) = 8x^3 - 3x^2 - 4x + 1 \)
Multiplizieren Sie mit \( 2x \):
\[
2x(8x^3 - 3x^2 - 4x + 1) = 16x^4 - 6x^3 - 8x^2 + 2x
\]
Kombinieren Sie dies nun mit dem ersten Term:
\[
(2x^4 - 2x^2 - x^3 + x) + (16x^4 - 6x^3 - 8x^2 + 2x)
\]
\[
= (2x^4 + 16x^4) + (-x^3 - 6x^3) + (-2x^2 - 8x^2) + (x + 2x)
\]
\[
= 18x^4 - 7x^3 - 10x^2 + 3x
\]
Somit gilt:
\[
f'(x) = \dfrac{18x^4 - 7x^3 - 10x^2 + 3x}{2\sqrt{x}}
\]
Übungen:
Finden Sie die Ableitung jeder der folgenden Funktionen.
- 1. \( f(x) = (x^3 + 2x)\sqrt{x} \)
- 2. \( g(x) = \dfrac{-(x+1)}{4x+7} \)
- 3. \( h(x) = (x+1)(\sqrt{x}-1)\left(\dfrac{1}{x}+4\right) \)
- 4. \( p(x) = \dfrac{\sqrt{x}+2x}{x^2-1} \)
- 5. \( q(x) = \sqrt{2x^4+2x-1} \)
- 6. \( r(x) = \dfrac{\sqrt{3x-1}}{-x^2+3} \)
Antworten zu den obigen Übungen:
- 1. \( f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}(7x^2+6)}{2} \)
- 2. \( g'(x) = \dfrac{-3}{(4x+7)^2} \)
- 3. \( h'(x) = \dfrac{12x^{5/2} - 8x^2 + 5x^{3/2} - \sqrt{x} + 2}{2x^2} \)
- 4. \( p'(x) = -\dfrac{4x^{5/2} + 3x^2 + 4\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}(x^2-1)^2} \)
- 5. \( q'(x) = \dfrac{4x^3 + 1}{\sqrt{2x^4 + 2x - 1}} \)
- 6. \( r'(x) = \dfrac{9x^2 - 4x + 9}{2(x^2 - 3)^2\sqrt{3x - 1}} \)
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