Die Grundregeln der Differentiation von Funktionen in der Analysis werden zusammen mit mehreren Beispielen vorgestellt.
1. Ableitung einer konstanten Funktion
Die Ableitung von \( f(x) = c \), wobei \( c \) eine Konstante ist, ist gegeben durch:
Beispiel & Lösung
Gegeben \( f(x) = -10 \), folglich:
\[ f'(x) = 0 \]2. Ableitung einer Potenzfunktion (Potenzregel)
Die Ableitung von \( f(x) = x^r \), wobei \( r \) eine reelle Konstante ist, ist gegeben durch:
Beispiel & Lösung
Gegeben \( f(x) = x^{-2} \), folglich:
\[ f'(x) = -2x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \]3. Ableitung einer mit einer Konstanten multiplizierten Funktion
Die Ableitung von \( f(x) = c \cdot g(x) \), wobei \( c \) eine Konstante ist, ist gegeben durch:
Beispiel & Lösung
Gegeben \( f(x) = 3x^3 \), sei \( c = 3 \) und \( g(x) = x^3 \), folglich \( f(x) = c \cdot g(x) \):
\[ f'(x) = c \cdot g'(x) = 3(3x^2) = 9x^2 \]4. Ableitung der Summe von Funktionen (Summenregel)
Die Ableitung von \( f(x) = g(x) + h(x) \) ist gegeben durch:
Beispiel & Lösung
Gegeben \( f(x) = x^2 + 4 \), sei \( g(x) = x^2 \) und \( h(x) = 4 \):
\[ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + 0 = 2x \]5. Ableitung der Differenz von Funktionen (Differenzregel)
Die Ableitung von \( f(x) = g(x) - h(x) \) ist gegeben durch:
Beispiel & Lösung
Gegeben \( f(x) = x^3 - x^{-2} \), sei \( g(x) = x^3 \) und \( h(x) = x^{-2} \):
\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) = 3x^2 - (-2x^{-3}) = 3x^2 + 2x^{-3} \]6. Ableitung des Produkts zweier Funktionen (Produktregel)
Die Ableitung von \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) ist gegeben durch:
Beispiel & Lösung
Gegeben \( f(x) = (x^2 - 2x)(x - 2) \), sei \( g(x) = x^2 - 2x \) und \( h(x) = x - 2 \):
\[ f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) = (x^2 - 2x)(1) + (x - 2)(2x - 2) \]Entwickeln und gleichartige Terme zusammenfassen:
\[ f'(x) = x^2 - 2x + 2x^2 - 6x + 4 = 3x^2 - 8x + 4 \]7. Ableitung des Quotienten zweier Funktionen (Quotientenregel)
Die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) ist gegeben durch:
Beispiel & Lösung
Gegeben \( f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1} \), sei \( g(x) = x - 2 \) und \( h(x) = x + 1 \). Hier ist \( g'(x) = 1 \) und \( h'(x) = 1 \):
\[ f'(x) = \dfrac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \]Zusammenfassen und vereinfachen:
\[ f'(x) = \dfrac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]