Lernen Sie, wie man den Flächeninhalt einer Ellipse mithilfe von Polarkoordinaten mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Herleitungen und trigonometrischer Substitution berechnet.
Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten
Die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung ist gegeben durch:
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (I) \]Die Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten ist gegeben durch:
\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \]Setzen Sie die Umrechnungsformeln in Gleichung (I) ein:
\[ \dfrac{r^2 \cos^2 \theta}{a^2} + \dfrac{r^2 \sin^2 \theta}{b^2} = 1 \]Teilen Sie alle Terme in der obigen Gleichung durch \( \cos^2 \theta \) und vereinfachen Sie:
\[ \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{r^2 \tan^2 \theta}{b^2} = \sec^2 \theta \] \[ r^2 \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{\tan^2 \theta}{b^2} \right) = \sec^2 \theta \] \[ r^2 \left( \dfrac{b^2 + a^2 \tan^2 \theta}{a^2 b^2} \right) = \sec^2 \theta \]Lösen Sie nach \( r^2 \) auf:
Fläche einer Ellipse in Polarkoordinaten
Die durch eine Kurve in Polarkoordinaten eingeschlossene Fläche \( A \) ist durch folgende Formel gegeben:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} r(\theta)^2 \, d\theta \]Setzen Sie das oben gefundene \( r^2 \) der Ellipse in das Flächenintegral ein:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + a^2 \tan^2 \theta} \, d\theta \qquad (II) \]Verwenden Sie die Methode der trigonometrischen Substitution, die \( a \tan \theta \) in \( b \tan \alpha \) umformt, sodass der Nenner faktorisiert werden kann und weitere Vereinfachungen erfolgen:
\[ b \tan \alpha = a \tan \theta \qquad (III) \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( \theta \) unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite:
\[ b \sec^2 \alpha \dfrac{d\alpha}{d\theta} = a \sec^2 \theta \]Was Folgendes ergibt:
\[ \sec^2 \theta \, d\theta = \dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]Oder:
\[ d\theta = \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \, d\alpha \qquad (IV) \]Integrationsgrenzen:
Aus (III) oben können wir schreiben: \( \alpha = \arctan \left( \dfrac{a}{b} \tan \theta \right) \).
- Für \( \theta = 0 \) ist \( \alpha = 0 \)
- Für \( \theta = 2\pi \) ist \( \alpha = 2\pi \)
Setzen Sie \( d\theta \) und die Integrationsgrenzen in das Integral ein:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + b^2 \tan^2 \alpha} \left( \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \right) \, d\alpha \]Klammern Sie \( b^2 \) im Nenner aus, ziehen Sie alle Konstanten vor das Integral und vereinfachen Sie:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{1 + \tan^2 \alpha} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \) im Nenner und vereinfachen Sie:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} d\alpha \]Berechnen Sie das Integral:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \left[ \alpha \right]_0^{2\pi} \]Vereinfachen Sie, um die Endformel für die Fläche einer Ellipse zu erhalten: