Die Umrechnung von kartesischen zu Polarkoordinaten ist gegeben durch
Setzen Sie das Obige in Gleichung (I) ein
Teilen Sie alle Terme in der obigen Gleichung durch
und vereinfachen Sie
Lösen Sie nach r2 auf
Die Gleichung einer Ellipse mit dem Ursprung als Mittelpunkt ist gegeben durch
Die Umrechnung von kartesischen zu Polarkoordinaten ist gegeben durch
Setzen Sie das Obige in Gleichung (I) ein
Teilen Sie alle Terme in der obigen Gleichung durch
und vereinfachen Sie
Lösen Sie nach r2 auf
Die Fläche \( A \) in Polarkoordinaten , die von einer Kurve eingeschlossen wird, ist durch die Formel gegeben
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} r(\theta)^2 d \theta \]
wobei \( r(\theta) \) die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten ist.
Setzen Sie das oben gefundene \( r^2 \) der Ellipse ein
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2+a^2\tan^2 \theta} d\theta \qquad (II) \]
Verwenden Sie die Methode der trigonometrischen Substitution , die \( \quad a \tan \theta \) in \( b \tan \alpha \quad \) transformiert, so dass der Nenner faktorisiert werden kann und somit weitere Vereinfachungen auftreten.
Sei \[ b \tan \alpha = a \tan \theta \qquad (III) \]
Differenzieren Sie beide Seiten des Obigen nach \( \theta \), unter Verwendung der Kettenregel der Differentiation auf der linken Seite,
\[ b \sec^2 \alpha \dfrac{d \alpha}{d \theta } = a \sec^2 \theta \]
was ergibt
\[ \sec^2 \theta d \theta = \dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha \; d \alpha \]
oder
\[ d \theta = \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta } \; d \alpha \qquad (IV)\]
Integrationsgrenzen
Aus (III) oben können wir schreiben \( \alpha = \arctan (\dfrac{a}{b} \tan \theta ) \)
Für \( \theta = 0 \) , \( \alpha =0 \)
Für \( \theta = 2\pi \) , \( \alpha = 2\pi \)
Setzen Sie \( d\theta \) aus (IV) und die Integrationsgrenzen in das Integral ein
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2+b^2\tan^2 \alpha} \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta } \; d \alpha \]
Faktorisieren Sie \( b^2 \) im Nenner und nehmen Sie alle Konstanten vor das Integral und vereinfachen Sie
\[ A = \dfrac{ a b}{2} \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{1+\tan^2 \alpha} \sec^2 \alpha \; d \alpha \]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( 1+\tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \) im Nenner und vereinfachen Sie
\[ A = \dfrac{ a b}{2} \int_0^{2\pi} d \alpha \]
Werten Sie das Integral aus
\[ A = \dfrac{ a b}{2} \left[\alpha\right]_0^{2\pi} \]
Vereinfachen Sie
\[ A = a b \pi \]