Diese Seite bietet eine klare Einführung in Polarkoordinaten und Polargleichungen mit detaillierten Erklärungen, durchgearbeiteten Beispielen und grafischen Darstellungen.
Wir beginnen mit einer Wiederholung des kartesischen (rechtwinkligen) Koordinatensystems. Punkt \( A \) liege in der \( xy \)-Ebene. In kartesischen Koordinaten wird Punkt \( A \) durch ein geordnetes Paar \( (x, y) \) dargestellt, wobei:
In der Abbildung unten sind die Punkte \( (x,y) = (4,2) \) und \( (x,y) = (-3,4) \) dargestellt.
Im Polarkoordinatensystem wird ein Punkt durch das geordnete Paar \( (r, \theta) \) dargestellt, wobei:
Die Größe \( r \) wird als Radialkoordinate und \( \theta \) als Winkelkoordinate bezeichnet.
Zum Beispiel sind die Punkte \[ (5, \tfrac{\pi}{3}) \quad \text{und} \quad (4, \pi) \] in der folgenden Abbildung dargestellt.
Üblicherweise ist der Winkel \( \theta \) positiv, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, und negativ, wenn er im Uhrzeigersinn gemessen wird.
Zeichnen Sie die Punkte, die durch ihre Polarkoordinaten gegeben sind:
a) \( (2,0) \) b) \( (2,\tfrac{3\pi}{4}) \) c) \( (4,\tfrac{7\pi}{3}) \) d) \( (3,-\tfrac{5\pi}{4}) \)
Die Punkte sind unten eingezeichnet.
Hinweis: Wenn die Radialkoordinate \( r \) gleich bleibt und wir ganzzahlige Vielfache von \( 2\pi \) zur Winkelkoordinate addieren oder subtrahieren, erhalten wir denselben Punkt.
Das heißt, \[ (r,\theta), \quad (r,\theta + 2\pi), \quad (r,\theta - 4\pi), \dots \] stellen alle denselben Punkt dar.
Das Polarkoordinatensystem erlaubt es, dass die Radialkoordinate \( r \) negativ ist. Die Punkte \[ (-r, \theta) \quad \text{und} \quad (r, \theta) \] liegen auf derselben Geraden durch den Pol und haben den gleichen Abstand \( |r| \) vom Pol, jedoch in entgegengesetzte Richtungen.
Daher stellen die Koordinaten \[ (-r, \theta) \quad \text{und} \quad (r, \theta + \pi) \] denselben Punkt dar.
Zeichnen Sie die folgenden Punktpaare:
a) \( (-2,0) \) und \( (2,0) \)
b) \( (-2,\tfrac{3\pi}{4}) \) und \( (2,\tfrac{3\pi}{4}) \)
c) \( (-4,-\tfrac{\pi}{3}) \) und \( (4,-\tfrac{\pi}{3}) \)
Im Gegensatz zu kartesischen Koordinaten sind Polarkoordinaten nicht eindeutig. Ein einzelner Punkt kann auf unendlich viele Arten dargestellt werden.
Für ganze Zahlen \( n \) und \( k \) stellen die Koordinaten \[ (r,\theta), \quad (r,\theta + 2n\pi), \quad (-r,\theta + (2k+1)\pi) \] alle denselben Punkt dar.
Mit Hilfe der Trigonometrie ergeben sich folgende Beziehungen zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten:
\[ x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta \] \[ r^2 = x^2 + y^2, \qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) \]
Eine Polargleichung hat die Form \( f(r,\theta) = 0 \). Ihr Graph besteht aus allen Punkten \( (r,\theta) \), die die Gleichung erfüllen.
Skizzieren Sie den Graphen der Polargleichung
\[ r - 3\sin\theta = 0 \]Auflösen nach \( r \) ergibt:
\[ r = 3\sin\theta \]Eine Wertetabelle ist unten dargestellt.
| \( \theta \) | \( r = 3\sin\theta \) |
|---|---|
| \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( \tfrac{\pi}{6} \) | \( \tfrac{3}{2} \) |
| \( \tfrac{\pi}{4} \) | \( \tfrac{3}{\sqrt{2}} \) |
| \( \tfrac{\pi}{3} \) | \( \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \) |
| \( \tfrac{\pi}{2} \) | \( 3 \) |
| \( \tfrac{2\pi}{3} \) | \( \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \) |
| \( \tfrac{3\pi}{4} \) | \( \tfrac{3}{\sqrt{2}} \) |
| \( \tfrac{5\pi}{6} \) | \( \tfrac{3}{2} \) |
| \( \pi \) | \( 0 \) |
Umwandlung in kartesische Koordinaten:
\[ r - 3\sin\theta = 0 \] \[ r - 3\frac{y}{r} = 0 \] \[ r^2 - 3y = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 3y = 0 \]Quadratische Ergänzung korrekt durchgeführt:
\[ x^2 + (y - 1.5)^2 = (1.5)^2 \]Dies ist ein Kreis mit Mittelpunkt bei \( (0, 1.5) \) und Radius \( 1.5 \).