Die Fläche eines Kreises mithilfe von Integralen in der Analysis finden
Finden Sie die Fläche eines Kreises mit Radius \( a \) mithilfe von Integralen in der Analysis.
Problem : Finden Sie die Fläche eines Kreises mit Radius \( a \).
Lösung des Problems:
Die Gleichung des Kreises oben ist gegeben durch
Der Kreis ist symmetrisch in Bezug auf die x- und y-Achse, daher können wir die Fläche eines Viertels des Kreises berechnen und mit 4 multiplizieren, um die Gesamtfläche des Kreises zu erhalten.
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( y \) auf
\[ y = \pm \sqrt{ a^2 - x^2 } \]
Die Gleichung des oberen Halbkreises (y positiv) lautet
\[ y = \sqrt { a^2 - x^2 } \]
Klammere \( a^2 \) innerhalb des Radikanden aus
\[ y = \sqrt { a^2(1 - x^2/a^2) } \]
Ziehe \( a^2 \) aus der Wurzel und schreibe \( y \) wie folgt um
\[ y = a \sqrt { 1 - x^2 / a^2 } \]
Wir verwenden Integrale, um die Fläche des oberen rechten Viertels des Kreises wie folgt zu berechnen
\[ \dfrac{1}{4} \text{Fläche des Kreises} = \int_0^a a \sqrt{1-x^2/a^2} dx \]
Wir substituieren \( \; x / a \) durch \( \; \sin t \), so dass \( \sin t = x / a \) und \( dx = a \cos t \; dt \; \) und die Fläche ist gegeben durch
\[ \dfrac{1}{4} \text{Fläche des Kreises} = \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1-\sin^2t} \cos t \; dt\]
Wir verwenden nun die trigonometrische Identität
\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]
was ergibt
\[ \sqrt{1-\sin^2t} = \cos t \quad \] da t von \( 0 \) bis \( \pi/2 \) variiert
daher
\[ \dfrac{1}{4} \text{Fläche des Kreises} = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2t \; dt\]
Verwende die trigonometrische Identität \( \; \cos^2 t = ( \cos 2t + 1 ) / 2 \;\) um den Integranden zu linearisieren;
\[ \dfrac{1}{4} \text{Fläche des Kreises} = \int_0^{\pi/2} a^2 ( \cos 2t + 1 ) / 2 \; dt\]
Berechne das Integral
\[ \dfrac{1}{4} \text{Fläche des Kreises} = (1/2)a^2 \left[(1/2) \sin 2t + t\right]_0^{\pi/2} \]
Vereinfache
\[ \dfrac{1}{4} \text{Fläche des Kreises} = (1/4) \pi a^2 \]
Die Gesamtfläche des Kreises erhält man durch Multiplikation der obigen Fläche mit 4.
\[ \text{Gesamtfläche des Kreises} = 4 \times (1/4) \pi a^2 = \pi a^2 \]
Referenzen