Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius \( a \) mithilfe von Integralen in der Analysis.
Lösung der Aufgabe
Die Kreisgleichung des oben gezeigten Kreises ist gegeben durch:
\[ x^2 + y^2 = a^2 \]Der Kreis ist sowohl bezüglich der x- als auch der y-Achse symmetrisch. Daher können wir die Fläche eines Viertels des Kreises berechnen und diese mit 4 multiplizieren, um den gesamten Flächeninhalt des Kreises zu erhalten.
Lösen Sie die Kreisgleichung nach \( y \) auf:
\[ y = \pm \sqrt{a^2 - x^2} \]Die Gleichung des oberen Halbkreises (\( y \ge 0 \)) ist gegeben durch:
\[ y = \sqrt{a^2 - x^2} \]Klammern Sie \( a^2 \) unter der Wurzel aus:
\[ y = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)} \]Ziehen Sie \( a^2 \) aus der Wurzel heraus:
\[ y = a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]Wir verwenden bestimmte Integrale, um den Flächeninhalt des oberen rechten Viertelkreises zu berechnen:
Wir verwenden die trigonometrische Substitution mit \( \sin t = \frac{x}{a} \), was \( x = a \sin t \) und \( dx = a \cos t \, dt \) liefert. Das Integral wird zu:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Kreisfläche} = \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \, dt \]Wir verwenden nun die trigonometrische Identität:
\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]was \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) ergibt (da \( t \) von \( 0 \) bis \( \pi/2 \) variiert). Folglich:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Kreisfläche} = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 t \, dt \]Verwenden Sie die Reduktionsformel (Halbwinkelformel) \( \cos^2 t = \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \), um den Integranden zu linearisieren:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Kreisfläche} = \int_0^{\pi/2} a^2 \left( \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \right) dt \]Berechnen Sie das Integral:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Kreisfläche} = \dfrac{1}{2} a^2 \left[ \dfrac{1}{2} \sin(2t) + t \right]_0^{\pi/2} \]Vereinfachen:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Kreisfläche} = \dfrac{1}{4} \pi a^2 \]Die gesamte Kreisfläche erhält man, indem man die Fläche des Viertelkreises mit 4 multipliziert: