Ermitteln Sie die Fläche eines Kreises mithilfe von Integralen in der Analysis
\( \) \( \)\( \)\( \)Finden Sie die Fläche eines Kreises mit dem Radius \( a \) mithilfe von Integralen in der Analysis.
Problem: Finden Sie die Fläche eines Kreises mit dem Radius \( a \).
Lösung des Problems:
Die oben gezeigte Gleichung des Kreises ist gegeben durch
Der Kreis ist bezüglich der x- und y-Achse symmetrisch, daher können wir die Fläche eines Viertelkreises ermitteln und mit 4 multiplizieren, um die Gesamtfläche des Kreises zu erhalten.
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( y \)
\( y = \pm \sqrt{ a^2 - x^2 } \)
Die Gleichung des oberen Halbkreises (y positiv) ist gegeben durch
\( y = \sqrt { a^2 - x^2 } \)
Faktorisieren Sie \( a^2 \) innerhalb des Radikanden
\( y = \sqrt { a^2(1 - x^2/a^2) } \)
Nehmen Sie \( a^2 \) unter dem Radikanden hervor und schreiben Sie \( y \) wie folgt um
\( y = a \sqrt { 1 - x^2 / a^2 } \)
Wir verwenden Integrale, um die Fläche des oberen rechten Viertels des Kreises wie folgt zu ermitteln
(1 / 4) Kreisfläche = \( \displaystyle \int_0^a a \sqrt{1-x^2/a^2} dx \)
Ersetzen wir \( \; x / a \) durch \( \; \sin t \), so dass \( \sin t = x / a \) und \( dx = a \cos t \; dt \; \) und die Fläche ist gegeben durch
(1 / 4) Kreisfläche = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1-\sin^2t} \cos t \; dt\)
Wir verwenden jetzt die trigonometrische Identität
\( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \)
was gibt
\( \sqrt{1-\sin^2t} = \cos t \quad \), da t daher von 0 bis \( \pi/2 \) variiert
(1 / 4) Kreisfläche = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2t \; dt\)
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \; \cos^2 t = ( \cos 2t + 1 ) / 2 \;\), um den Integranden zu linearisieren;
(1 / 4) Kreisfläche = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 ( \cos 2t + 1 ) / 2 \; dt\)
Bewerten Sie das Integral
(1 / 4) Kreisfläche = \( \displaystyle (1/2)a^2 \left[(1/2) \sin 2t + t\right]_0^{\pi/2} \)
Vereinfachen
(1 / 4) Kreisfläche = \( (1/4) \pi a^2 \)
Die Gesamtfläche des Kreises ergibt sich durch Multiplikation mit 4
Kreisfläche = \( 4 \times (1/4) \pi a^2 = \pi a^2 \)
Referenzen
Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis.Kreisgleichung
Trigonometrische Identitäten und Formeln
