Integrale durch quadratische Ergänzung auswerten

Beispiele und detaillierte Lösungen sowie Übungen mit Antworten zur Anwendung der Techniken der quadratischen Ergänzung und Substitution zur Bewertung von Integralen mit quadratischen Ausdrücken.
Übungen mit ihren Antworten sind ebenfalls enthalten.

Überprüfung von Ableitungs- und Integralformeln

HINWEIS Im Folgenden ist \(c \) die Integrationskonstante.

Wir wiederholen zunächst einige der Ableitungsformeln für bekannte Umkehrfunktionen mit quadratischen Ausdrücken.

\[ \begin{aligned} & \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1+x^2} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \text{arcsinh} \; x = \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \text{arccosh} \; x = \dfrac{1}{\sqrt {x^2-1}} \\[15pt] \end{aligned} \]
Wir verwenden nun die obigen Differentiationsformeln, um Integrale wie folgt zu schreiben. \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = \arcsin x + c \\[15pt] & \int \dfrac{1}{1+x^2} \; dx = \arctan x + c \\[15pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \; dx = \text{arcsinh} \; x + c\\[15pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt {x^2-1}} \; dx = \text{arccosh} \; x + c\\[15pt] \end{aligned} \]


Beispiele mit detaillierten Lösungen

Beispiel 1

Bewerten Sie das Integral \[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 1

Wir führen zuerst eine quadratische Ergänzung für den Ausdruck \( - x^2 - x \) wie folgt durch
\[ \begin{aligned} & {\text{Gegeben}} \\[8pt] & - x^2 - x \\[15pt] & {\text{-1 ausklammern}} \\[8pt] & = - ( x^2 + x ) \\[15pt] & {\text{Quadratische Ergänzung}}\\[8pt] & = - (x + 1/2)^2 + 1/4 \end{aligned} \]
Setzen Sie das Obige in das gegebene Integral ein und schreiben Sie es wie folgt um \[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \; dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{1/4 - (x+1/2)^2}} \; dx \] Verwenden Sie die Methode der Substitution, um das Integral zu berechnen: \[ \begin{aligned} & {\text{1/4 aus der Wurzel auf der rechten Seite ausklammern}} \\[8pt] & = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2(x+1/2))^2}} dx \\[15pt] & {\text{ Sei \( z = 2(x + 1/2) = 2x + 1 \) und daher \( \dfrac{dz}{dx} = 2 \) oder \( dx = \dfrac{dz}{2} \) und das Integral wird}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \; dz \\[15pt] & {\text{Berechnen Sie das obige Integral mit den Integralen aus der obigen Übersicht}}\\[8pt] & = \arcsin(z) + c \\[15pt] & {\text{Ersetzen Sie \( z = 2(x + 1/2) \) zurück, um die endgültige Antwort zu erhalten}}\\[8pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} dx = \arcsin(2x + 1) + c \end{aligned} \]

Beispiel 2

Bewerten Sie das Integral \[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 2


Wir führen zuerst eine quadratische Ergänzung für den Ausdruck \( 3x^2 + 12x + 24 \) wie folgt durch \[ \begin{aligned} & {\text{Gegeben}} \\[8pt] & = 3x^2 + 12x + 24 \\[15pt] & {\text{Klammere \( 3 \) aus den Termen in \( x^2 \) und \( x \) aus}} \\[8pt] & = 3( x^2 + 4x) + 24 \\[15pt] & {\text{Quadratische Ergänzung für den Term \( x^2 + 4x \) innerhalb der Klammer}} \\[8pt] & = 3( (x + 2)^2 - 2^2 ) + 24 \\[15pt] & {\text{Ausmultiplizieren und vereinfachen}} \\[8pt] & = 3\;(x + 2)^2 + 12 \\[15pt] & {\text{Klammere \( 12 \) aus}} \\[8pt] & = 12 \; \left( \dfrac{1}{4} (x + 2)^2 + 1 \right)\\[15pt] & {\text{Umformulieren wie folgt}} \\[8pt] & = 12 \; \left( ( \dfrac{1}{2} (x + 2))^2 + 1 \right) \\[15pt] & = 12 \; \left( (\dfrac{x}{2} + 1)^2 + 1 \right) \\[15pt] \end{aligned} \] Verwenden Sie die Methode der Substitution, um das Integral zu berechnen: \[ \begin{aligned} & {\text{ Sei \( z = \dfrac{x}{2} + 1 \) und daher \( dx = 2 \; dz \) und schreibe das Integral um als }} \\[8pt] & \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \; dx = \dfrac{1}{12} \; \int \dfrac{4}{z^2 + 1} \; dz \\[15pt] & {\text{Berechnen Sie das obige Integral mit den Integralen aus der obigen Übersicht}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{3} \; \arctan(z) + c \\[15pt] & {\text{Ersetzen Sie \( z = \dfrac{x}{2} + 1 \) zurück, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{3} \; \arctan \left(\dfrac{x}{2} + 1 \right) + c \\[15pt] \end{aligned} \]

Beispiel 3

Bewerten Sie das Integral \[ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 3


Führen Sie eine quadratische Ergänzung für den Ausdruck \( x^2 + 12x + 40 \) wie folgt durch \[ \begin{aligned} & {\text{Gegeben}} \\[8pt] & = x^2 + 12x + 40 \\[15pt] & {\text{Quadratische Ergänzung für den Term \( x^2 + 12 \) innerhalb der Klammer}} \\[8pt] & = ( x + 6 )^2 + 4 \\[15pt] & {\text{Das gegebene Integral kann wie folgt geschrieben werden}} \\[8pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \; dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{( x + 6 )^2 + 4}} \; dx \\[15pt] & {\text{ Klammere \( 4 \) auf der rechten Seite aus der Wurzel aus}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{2\sqrt{ \left( \dfrac{x}{2} + 3 \right)^2 + 1}} \; dx \\[15pt] \end{aligned} \] Verwenden Sie die Methode der Substitution, um das Integral zu berechnen: \[ \begin{aligned} & {\text{ Sei \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \), also \( 2 dz = dx \), vereinfachen und das Integral schreiben als }} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{\sqrt{z^2 + 1}} \; dz \\[15pt] & {\text{Berechnen Sie das obige Integral mit den Integralen aus der obigen Übersicht}} \\[8pt] & = \text{arcsinh}(z) + c \\[15pt] & {\text{Ersetzen Sie \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \) zurück, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & = \text{arcsinh} \left( \dfrac{x}{2} + 3 \right) + c \\[15pt] \end{aligned} \]

Beispiel 4

Bewerten Sie das Integral \[ \int \dfrac{1}{10+x^2-2x}\; dx \]

Lösung zu Beispiel 4


Führen Sie eine quadratische Ergänzung für den Nenner \( 10+x^2-2x \) wie folgt durch \[ \begin{aligned} & {\text{Gegeben}} \\[8pt] & = 10+x^2-2x \\[15pt] & {\text{Quadratische Ergänzung für den Nenner \( 10+x^2-2x \) }} \\[8pt] & = (x-1)^2+9 \\[15pt] & {\text{Das gegebene Integral kann wie folgt geschrieben werden}} \\[8pt] & \int \dfrac{1}{10+x^2-2x}\; dx = \int \dfrac{1}{ (x-1)^2+9 } \; dx \\[15pt] & {\text{ Klammere \( 9 \) im Nenner aus}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{ 9 \left( \left(\dfrac{x-1}{3}\right)^2 + 1 \right)} \; dx \\[15pt] \end{aligned} \] Verwenden Sie die Methode der Substitution, um das Integral zu berechnen: \[ \begin{aligned} & {\text{ Sei \( z = \dfrac{x - 1}{3} \), also \( 3 \; dz = dx \), vereinfachen und das Integral schreiben als }} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 9 } \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \; 3 \; dz \\[15pt] & {\text{Vereinfachen und das obige Integral mit den Integralen aus der obigen Übersicht berechnen}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 3} \text{arctan}(z) + c \\[15pt] & {\text{Ersetzen Sie \( z = \dfrac{x - 1}{3} \) zurück, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 3} \text{arctan} \left( \dfrac{x - 1}{3}\right) + c \\[15pt] \end{aligned} \]

Übungen

Bewerten Sie die unten angegebenen Integrale

  1. \( \displaystyle \int \dfrac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \; dx \)

  2. \( \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 12x + 45} \; dx \)

  3. \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt2}{\sqrt{2x^2 + 10x + 13}} \; dx \)

  4. \( \displaystyle \int \dfrac{1}{5+x^2+2x}\: \; dx \)

Antworten zu den obigen Übungen


  1. \( 3 \; \arcsin(x / 3) + c \)

  2. \( \arctan(x/3 + 2) + c \)

  3. \( \text{arcsinh}(2x + 5) + c \)

  4. \( \dfrac{1}{2}\arctan \left(\dfrac{x+1}{2}\right) + c \)

Weitere Referenzen und Links

  1. Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis.
  2. Quadratische Ergänzung
  3. Integration durch Substitution