Beispiele, detaillierte Lösungen und Übungen mit Antworten zur Anwendung der Techniken der quadratischen Ergänzung und Substitution zur Berechnung von Integralen mit quadratischen Ausdrücken. Übungen mit ihren Antworten sind ebenfalls enthalten.
Formelübersicht für Ableitungen und Integrale
HINWEIS: Im Folgenden ist \( c \) die Integrationskonstante.
Wir wiederholen zunächst einige der Ableitungsformeln für bekannte Umkehrfunktionen mit quadratischen Ausdrücken:
\[ \begin{aligned} & \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arcsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arccosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{aligned} \]Wir verwenden nun die obigen Differenziationsformeln, um die entsprechenden Integralformeln aufzuschreiben:
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Berechnen Sie das Integral:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx \]Lösung zu Beispiel 1
Wir führen zunächst eine quadratische Ergänzung für den Ausdruck \( -x^2 - x \) durch:
\[ \begin{aligned} & -x^2 - x \\ & = -(x^2 + x) \\ & = -\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \end{aligned} \]Setzen Sie das Obige in das gegebene Integral ein:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2}} \, dx \]Klammern Sie \( \dfrac{1}{4} \) unter der Quadratwurzel aus:
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(1 - \left(2\left(x + \frac{1}{2}\right)\right)^2\right)}} \, dx = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^2}} \, dx \]Verwenden Sie die Methode der Substitution: Sei \( z = 2x + 1 \), also \( dz = 2 \, dx \) (oder \( dx = \dfrac{dz}{2} \)):
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz = \arcsin(z) + c \]Setzen Sie \( z = 2x + 1 \) wieder ein, um das Endergebnis zu erhalten:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \arcsin(2x + 1) + c \]Beispiel 2
Berechnen Sie das Integral:
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx \]Lösung zu Beispiel 2
Wir führen zunächst eine quadratische Ergänzung für den Ausdruck \( 3x^2 + 12x + 24 \) durch:
\[ \begin{aligned} & = 3(x^2 + 4x) + 24 \\ & = 3\left((x + 2)^2 - 4\right) + 24 \\ & = 3(x + 2)^2 - 12 + 24 = 3(x + 2)^2 + 12 \\ & = 12\left(\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 1\right) = 12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right) \end{aligned} \]Setzen Sie in das Integral ein und verwenden Sie die Substitution (\( z = \dfrac{x}{2} + 1 \), \( dx = 2 \, dz \)):
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx = \int \dfrac{2}{12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right)} \, dx = \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (2 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz \]Berechnen und wieder einsetzen:
\[ = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x}{2} + 1\right) + c \]Beispiel 3
Berechnen Sie das Integral:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \, dx \]Lösung zu Beispiel 3
Führen Sie eine quadratische Ergänzung für \( x^2 + 12x + 40 \) durch:
\[ x^2 + 12x + 40 = (x + 6)^2 - 36 + 40 = (x + 6)^2 + 4 \]Schreiben Sie das Integral um:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{(x + 6)^2 + 4}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{4\left(\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1\right)}} \, dx = \int \dfrac{1}{2\sqrt{\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1}} \, dx \]Sei \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \), also \( dx = 2 \, dz \):
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{z^2 + 1}} \, dz = \operatorname{arcsinh}(z) + c = \operatorname{arcsinh}\left(\dfrac{x}{2} + 3\right) + c \]Beispiel 4
Berechnen Sie das Integral:
\[ \int \dfrac{1}{10 + x^2 - 2x} \, dx \]Lösung zu Beispiel 4
Führen Sie eine quadratische Ergänzung für den Nenner \( 10 + x^2 - 2x \) durch:
\[ x^2 - 2x + 10 = (x - 1)^2 - 1 + 10 = (x - 1)^2 + 9 \]Schreiben Sie das Integral um und klammern Sie \( 9 \) aus:
\[ \int \dfrac{1}{(x - 1)^2 + 9} \, dx = \int \dfrac{1}{9\left(\left(\dfrac{x - 1}{3}\right)^2 + 1\right)} \, dx \]Sei \( z = \dfrac{x - 1}{3} \), also \( dx = 3 \, dz \):
\[ = \dfrac{1}{9} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (3 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c \]Setzen Sie \( z \) wieder ein:
\[ = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x - 1}{3}\right) + c \]Übungen
Berechnen Sie die unten angegebenen Integrale:
- \( \displaystyle \int \dfrac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 12x + 45} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x^2 + 10x + 13}} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{5 + x^2 + 2x} \, dx \)
Antworten zu den obigen Übungen
- \( 3 \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \)
- \( \arctan\left(\dfrac{x}{3} + 2\right) + c \)
- \( \operatorname{arcsinh}(2x + 5) + c \)
- \( \dfrac{1}{2} \arctan\left(\dfrac{x + 1}{2}\right) + c \)