Berechnen Sie das Integral
\[ \int |x| \; dx \]
Schreiben Sie es um als
\[ \int |x| \; dx = \int 1 \cdot |x| \; dx \quad (I) \]
Beachten Sie, dass \( |x| = \sqrt {x^2} \) und daher \( \dfrac{d(|x|)}{dx} = \dfrac{d( \sqrt {x^2})}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt {x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \quad (II) \)
Wenden Sie die partielle Integration an: \( \displaystyle \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \) auf das Integral auf der rechten Seite von (I) oben.
Setzen Sie \( u' = 1 \) , \( v = |x| \), was \( u = x \) und \( v' = \dfrac{x}{|x|} \) ergibt, siehe (II) oben.
Wir setzen all dies in die oben angegebene Formel für die partielle Integration ein.
\[ = x |x| - \int x \dfrac{x}{|x|} dx \quad (III)\]
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Integranden \( x \dfrac{x}{|x|} \) im obigen Integral
\[ x \dfrac{x}{|x|} = x \dfrac{x}{|x|} \dfrac{|x|}{|x|} \]
Vereinfachen Sie, indem Sie beachten, dass \( |x| |x| = x^2 \)
\[ = |x| \]
Wir ersetzen nun den Integranden \( x \dfrac{x}{|x|} \) in (III) durch \( |x| \) und schreiben
\[ \int |x| dx = x |x| - \int |x| dx \]
Addieren Sie \( \displaystyle \int |x| dx \) zu beiden Seiten
\[ \int |x| dx + \int |x| dx = x |x| - \int |x| dx + \int |x| dx \]
Vereinfachen Sie durch Zusammenfassen
\[ 2 \int |x| \; dx = x |x| \]
Die endgültige Antwort lautet
\[ \boxed {\int |x| \; dx = \dfrac{1}{2} x |x| } \]