Integral des Betrags von \( x \): \( \int |x| \, dx \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das unbestimmte Integral:

\[ \int |x| \, dx \]

Formen Sie den Integranden als Produkt um:

\[ \int |x| \, dx = \int 1 \cdot |x| \, dx \quad (I) \]

Erinnern Sie sich daran, dass \( |x| = \sqrt{x^2} \) ist und dessen Ableitung nach \( x \) gegeben ist durch:

\[ \dfrac{d(|x|)}{dx} = \dfrac{d(\sqrt{x^2})}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \quad (II) \]

Wenden Sie die Formel für die partielle Integration: \( \displaystyle \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) auf das Integral auf der rechten Seite von (I) an.

Sei \( u' = 1 \) und \( v = |x| \), was \( u = x \) und \( v' = \dfrac{x}{|x|} \) liefert (aus Schritt II).

Setzen Sie diese in die Formel für die partielle Integration ein:

\[ = x |x| - \int x \cdot \dfrac{x}{|x|} \, dx \quad (III) \]

Vereinfachen Sie den Integranden-Term \( x \cdot \dfrac{x}{|x|} \):

\[ x \cdot \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{x^2}{|x|} = \dfrac{|x|^2}{|x|} = |x| \]

Setzen Sie diesen vereinfachten Integranden wieder in Gleichung (III) ein:

\[ \int |x| \, dx = x |x| - \int |x| \, dx \]

Addieren Sie \( \displaystyle \int |x| \, dx \) auf beiden Seiten:

\[ \int |x| \, dx + \int |x| \, dx = x |x| \] \[ 2 \int |x| \, dx = x |x| \]

Durch Division durch 2 und Addition der Integrationskonstante \( C \) ergibt sich das Endergebnis zu: