Integral von \( \csc x \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \csc x \, dx \]

Hinweis: Es gibt mehrere Methoden, um das obige Integral zu berechnen. Die unten beschriebenen Schritte ermöglichen es, viele Ideen der Trigonometrie und der Integralrechnung zu wiederholen; außerdem ist das Endergebnis recht einfach.

Verwenden Sie \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \), um das Integral umzuformen:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{\sin x} \, dx \]

\( \sin x \) kann mithilfe einer Doppelwinkelformel geschrieben werden als:

\[ \sin x = \sin\left(2 \cdot \dfrac{x}{2}\right) \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \), um zu schreiben:

\[ \sin x = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \]

Setzen Sie dies in das Integral ein:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, dx \]

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Sei \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \), was \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \) oder \( dx = \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \) ergibt. Das Einsetzen in das Integral liefert:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 u \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \cdot \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), um zu schreiben:

\[ \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - u^2 \]

Setzen Sie in das Integral ein:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u(1 - u^2)} \, du \]

Verwenden Sie die Partialbruchzerlegung, um den Integranden wie folgt zu schreiben:

\[ \dfrac{1}{u(1 - u^2)} = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

Setzen Sie dies wieder in das Integral ein und teilen Sie es auf:

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \int \left(\dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)}\right) du \\[6pt] &= \int \dfrac{1}{u} \, du - \int \dfrac{1}{2(u + 1)} \, du - \int \dfrac{1}{2(u - 1)} \, du \end{aligned} \]

Verwenden Sie die Integralformel \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln|u| - \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

Fassen Sie die logarithmischen Ausdrücke mithilfe der Logarithmengesetze zusammen (\( \ln a - \ln b - \ln c = \ln\frac{a}{bc} \) und \( \frac{1}{2}\ln a = \ln\sqrt{a} \)):

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \ln|u| - \left(\dfrac{1}{2} \ln|u + 1| + \dfrac{1}{2} \ln|u - 1|\right) + c \\[6pt] &= \ln|u| - \ln\sqrt{|u + 1||u - 1|} + c \\[6pt] &= \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|u^2 - 1|}}\right) + c \end{aligned} \]

Beachten Sie, dass \( |u^2 - 1| = |1 - u^2| \) gilt, daher:

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|1 - u^2|}}\right) + c \]

Setzen Sie \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \) wieder ein:

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|1 - \left(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

Vereinfachen Sie mit \( \sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|} = \left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}\right) + c \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \) und die Eigenschaften des Betrags, um das Endergebnis aufzuschreiben: