Berechne das Integral
\[ \int \csc x \; dx \]
Hinweis, dass es mehrere Methoden gibt, um das obige Integral zu berechnen. Die unten beschriebenen Schritte ermöglichen es, viele Ideen in der Trigonometrie und bei der Berechnung von Integralen zu wiederholen; auch das Endergebnis ist recht einfach.
Verwende \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \), um das Integral umzuschreiben als
\[ \int \csc x \; dx = \int \dfrac{1}{\sin x} \; dx \]
\( \sin x \) kann geschrieben werden als
\[ \sin x = \sin (2 (\frac{x}{2}) ) \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \sin (2x) = 2 \sin x \cos x \), um zu schreiben
\[ \sin x = 2 \sin \left(\dfrac{x}{2} \right) \cos \left(\dfrac{x}{2} \right) \]
und setze sie in das Integral ein
\[ \int \csc x \; dx = \int \dfrac{1}{2 \sin \left(\dfrac{x}{2} \right) \cos \left(\dfrac{x}{2} \right)} dx \]
Verwende die Integration durch Substitution: Setze \( u = \sin \left(\dfrac{x}{2} \right) \) und daher
\( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} \cos \left(\dfrac{x}{2} \right) \) oder \( dx = \dfrac{2}{\cos \left(\dfrac{x}{2} \right)} du \) und setze dies in das obige Integral ein, um zu erhalten
\[ \int \csc x \; dx = \int \dfrac{1}{2 u \cos \left(\dfrac{x}{2} \right)} \dfrac{2}{\cos \left(\dfrac{x}{2} \right)} du \]
Vereinfache
\[ \int \csc x \; dx = \int \dfrac{1}{ u \cos^2 \left(\dfrac{x}{2} \right)} du \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), um zu schreiben
\[ \cos^2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = 1 - \sin^2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = 1 - u^2 \]
und setze sie in das obige Integral ein, um zu erhalten
\[ \int \csc x \; dx = \int \dfrac{1}{ u (1-u^2)} du \]
Verwende die Partialbruchzerlegung, um den Integranden zu schreiben als
\[ \dfrac{1}{ u (1-u^2)} = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{2\left(u+1\right)}-\dfrac{1}{2\left(u-1\right)} \]
Setze in das Integral ein
\[ \int \csc x \; dx = \int \left(\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{2\left(u+1\right)}-\dfrac{1}{2\left(u-1\right)}\right) du \\ = \int \dfrac{1}{u} du - \int \dfrac{1}{2\left(u+1\right)} du - \int \dfrac{1}{2\left(u-1\right)} du \]
Verwende die Integrationsformel \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \), um zu erhalten
\[ \int \csc x \; dx = \ln |u| - \dfrac{1}{2} \ln |u+1| - \dfrac{1}{2} \ln |u-1| + c\]
Fasse die logarithmischen Ausdrücke mit den Eigenschaften \( \quad \ln \dfrac{a}{b \cdot c} = \ln a - \ln b - \ln c \) und \( \quad \ln \dfrac{1}{2} a = \ln \sqrt {a} \) zusammen, um zu schreiben
\[ \int \csc x \; dx = \ln |u| - \left(\dfrac{1}{2} \ln |u+1| + \dfrac{1}{2} \ln |u-1| \right) + c \\ = \ln \dfrac{|u|}{\sqrt {|u+1| |u - 1|} } + c \\ = \ln \dfrac{|u|}{\sqrt {|u^2 - 1|} } + c \]
Beachte, dass \( |u^2 - 1| = |1 - u^2| \) und daher
\[ \int \csc x \; dx = \ln \dfrac{|u|}{\sqrt {|1 - u^2|} } + c\]
Setze wieder \( u = \sin \left(\dfrac{x}{2} \right) \) ein
\[ \int \csc x \; dx = \ln \dfrac{\left|\sin \left(\dfrac{x}{2} \right)\right|}{\sqrt { \left|1 - \left(\sin \left(\dfrac{x}{2} \right)\right)^2 \right|} } +c \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \cos^2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = 1 - \sin^2 \left(\dfrac{x}{2} \right) \), um das obige Integral zu berechnen
\[ \int \csc x \; dx = \ln \dfrac{\left|\sin \left(\dfrac{x}{2} \right)\right|}{\sqrt {\left| \left(\cos \left(\dfrac{x}{2} \right)\right)^2\right|} } +c \\ \]
Vereinfache mit \( \sqrt {\left|(\cos \left(\dfrac{x}{2} \right))^2\right|} = \left|\cos \left(\dfrac{x}{2} \right)\right| \)
\[ \int \csc x \; dx = \ln \dfrac{\left|\sin \left(\dfrac{x}{2} \right)\right|}{\left|\cos \left(\dfrac{x}{2} \right)\right|} +c \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \tan x = \dfrac{\sin x }{\cos x } \) und die Eigenschaft des Absolutwertes \( \dfrac{|a|}{|b|} = \left|\dfrac{a}{b}\right|\), um die endgültige Antwort zu schreiben als
\[ \boxed { \int \csc x \; dx = \ln \left|\tan \left(\dfrac{x}{2} \right)\right| +c } \]