Die Schritte zur Berechnung des Integrals einer logarithmischen Funktion zu einer beliebigen Basis sind unten dargestellt.
Verwendung der Basiswechselformel
Sei \( y = \log_a x \).
Verwenden Sie die Basiswechselformel, um \( y = \log_a x \) unter Verwendung des natürlichen Logarithmus (\( \ln \)) umzuschreiben:
\[ y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \]Wir berechnen nun das Integral:
\[ \int \log_a x \, dx = \int \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right) dx \]Da \( \ln a \) eine Konstante ist, können wir sie herausziehen:
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} \int \ln x \, dx \qquad (I) \]Das Integral von \( \ln x \) ist gegeben durch:
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]Setzen Sie dies wieder in Gleichung (I) ein, um zu erhalten:
Integralformel für \( \log_a x \):
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]