Die Schritte zur Bestimmung des Integrals einer Logarithmusfunktion zu beliebiger Basis werden vorgestellt.
Sei \( y = \log_a x \)
Verwenden Sie die Basisumrechnungsformel , um \( y = \log_a x \) mit dem natürlichen Logarithmus \( \ln \) umzuschreiben als
\[ y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \]
Wir berechnen nun das Integral
\[ \int \log_a x \; dx = \int \left(\dfrac{ \ln x }{\ln a}\right)\; dx \]
\( \ln a \) ist eine Konstante und daher gilt
\[ \int \log_a x \; dx = \dfrac{ 1}{\ln a} \int \ln x \; dx \qquad (I) \]
Das Integral von ln x ist gegeben durch
\[ \int \ln x \; dx = x \ln x - x + c \]
Setze dies in \( (I) \) ein, um zu erhalten
\[ \displaystyle \int \log_a x \; dx = \dfrac{ 1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]