Berechnen Sie das Integral
\[ \int \sec x \; dx \]
Verwenden Sie \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \), um das Integral umzuschreiben als
\[ \int \sec x \; dx = \int \dfrac{1}{\cos x} \; dx \]
Multiplizieren Sie sowohl Zähler als auch Nenner des Integranden auf der rechten Seite mit \( \cos x \)
\[ \int \sec x \; dx = \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \; dx \]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) auf der rechten Seite und schreiben Sie
\[ \int \sec x \; dx = \int \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \; dx \]
Verwenden Sie die Integration durch Substitution: \( u = \sin x \) so dass \( du = \cos x dx \), und das gegebene Integral kann geschrieben werden als
\[ \int \sec x \; dx = \int \dfrac{1}{1 - u^2} \; du \]
Verwenden Sie die Partialbruchzerlegung, um den Integranden zu schreiben als
\[ \dfrac{1}{ (1-u^2)} = \dfrac{1}{2\left(u+1\right)}-\dfrac{1}{2\left(u-1\right)} \]
Setzen Sie dies in das Integral ein
\[ \int \sec x \; dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u+1} du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u-1} du \]
Verwenden Sie die Integrationsformel \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \), um zu erhalten
\[ \int \sec x \; dx = \dfrac{1}{2} \ln |u+1| - \dfrac{1}{2} \ln |u-1| + c\]
Fassen Sie die logarithmischen Ausdrücke unter Verwendung der Eigenschaften \( \quad \ln \dfrac{a}{b } = \ln a - \ln b \) zusammen, um zu schreiben
\[ \int \sec x \; dx = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{|u+1|}{|u-1|} + c \]
Setzen Sie \( u = \sin x \) wieder ein
\[ \boxed { \int \sec x \; dx = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{|\sin x+1|}{|\sin x-1|} +c } \]