Integral von \( \sec x \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \sec x \, dx \]

Verwenden Sie \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \), um das Integral umzuformen:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{\cos x} \, dx \]

Multiplizieren Sie sowohl Zähler als auch Nenner des Integranden auf der rechten Seite mit \( \cos x \):

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) im Nenner, um zu schreiben:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \, dx \]

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Sei \( u = \sin x \), was \( du = \cos x \, dx \) ergibt. Das Integral kann geschrieben werden als:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{1 - u^2} \, du \]

Verwenden Sie die Partialbruchzerlegung, um den Integranden wie folgt zu schreiben:

\[ \dfrac{1}{1 - u^2} = \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

Setzen Sie dies in das Integral ein:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u + 1} \, du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u - 1} \, du \]

Verwenden Sie die Integralformel \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \), um zu erhalten:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

Fassen Sie die logarithmischen Ausdrücke mithilfe der Eigenschaft \( \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \) zusammen:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln\left(\dfrac{|u + 1|}{|u - 1|}\right) + c \]

Setzen Sie \( u = \sin x \) wieder ein: