Formel für die Länge einer Kurve
Für eine Funktion \( f \), die auf dem Intervall \( [a, b] \) stetig und differenzierbar ist, ist die Länge der Kurve \( y = f(x) \) von \( a \) bis \( b \) gegeben durch [1] [2] [3]:
\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{df}{dx} \right)^2} \, dx \]
Beispiele und Lösungen
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Beispiel 1: Bestimmen Sie die Bogenlänge der Parabel \( y = 0.1x^2 + 2 \) zwischen den Punkten \( (-15, 24.5) \) und \( (10, 12) \).
Lösung zu Beispiel 1:
Wir berechnen zunächst die Ableitung:
\[ \dfrac{dy}{dx} = 0.2x \]Verwenden Sie die Formel für die Bogenlänge:
\[ L = \int_{-15}^{10} \sqrt{1 + (0.2x)^2} \, dx \]Verwenden Sie die trigonometrische Substitution \( \tan u = 0.2x \). Die Ableitung beider Seiten ergibt:
\[ \sec^2 u \, du = 0.2 \, dx \implies dx = 5\sec^2 u \, du \]Das Auflösen von \( \tan u = 0.2x \) nach \( u \) liefert \( u = \arctan(0.2x) \). Die Integrationsgrenzen nach der Substitution sind:
- \( u_1 = \arctan(0.2(-15)) = \arctan(-3) \approx -1.24904 \) (wenn \( x = -15 \))
- \( u_2 = \arctan(0.2(10)) = \arctan(2) \approx 1.10714 \) (wenn \( x = 10 \))
Durch Einsetzen in das Integral:
\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sqrt{1 + \tan^2 u} \sec^2 u \, du \]Unter Verwendung der Identität \( \sqrt{1 + \tan^2 u} = |\sec u| \):
\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} |\sec u| \sec^2 u \, du \]Da \( \sec u > 0 \) auf dem Intervall \( [-1.24904, 1.10714] \) gilt, ist \( |\sec u| = \sec u \), was Folgendes ergibt:
\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sec^3 u \, du \]Unter Verwendung des Integrals von \( \sec^3 u \):
\[ L = \left[ \dfrac{5}{2} \left( \sec u \tan u + \ln|\sec u + \tan u| \right) \right]_{-1.24904}^{1.10714} \approx 43.05 \]Beispiel 2: Bestimmen Sie die Bogenlänge entlang der Kurve \( f(x) = \ln(\sin x) \) zwischen den Punkten \( \left(\dfrac{\pi}{4}, f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) \) und \( \left(\dfrac{\pi}{2}, f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \).
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Lösung zu Beispiel 2:
Berechnen Sie die Ableitung:
\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx}[\ln(\sin x)] = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x \]Durch Anwendung der Formel für die Bogenlänge:
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + (\cot x)^2} \, dx \]Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \):
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\csc^2 x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\csc x| \, dx \]Da \( \csc x > 0 \) auf dem abgeschlossenen Intervall \( \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right] \) gilt, ist \( |\csc x| = \csc x \):
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc x \, dx \]Unter Verwendung der Standard-Integralformel \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| + C \):
\[ L = \left[ \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(1) - \ln\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right) \approx 0 - (-0.88137) \approx 0.88137 \]Beispiel 3: Bestimmen Sie die Bogenlänge entlang des Halbkreises gegeben durch \( f(x) = 2 + \sqrt{9 - (x+2)^2} \) zwischen den Punkten \( (-4, f(-4)) \) und \( (0, f(0)) \).
Lösung zu Beispiel 3:
Berechnen Sie die Ableitung mithilfe der Kettenregel:
\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{-2(x+2)}{2\sqrt{9 - (x+2)^2}} = -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \]Durch Anwendung der Bogenlängenformel:
\[ L = \int_{-4}^{0} \sqrt{1 + \left( -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \right)^2} \, dx \]Vereinfachen Sie den Integranden:
\[ 1 + \dfrac{(x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9 - (x+2)^2 + (x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9}{9 - (x+2)^2} \]Durch Ziehen der Quadratwurzel:
\[ L = \int_{-4}^{0} \dfrac{3}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \, dx \]Unter Verwendung der Substitution \( u = x+2 \), \( du = dx \). Wenn \( x = -4 \), ist \( u = -2 \); wenn \( x = 0 \), ist \( u = 2 \):
\[ L = \int_{-2}^{2} \dfrac{3}{\sqrt{9 - u^2}} \, du = 3 \left[ \arcsin\left(\dfrac{u}{3}\right) \right]_{-2}^{2} \] \[ = 3 \left( \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) - \arcsin\left(-\dfrac{2}{3}\right) \right) = 6 \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 4.38 \]Weitere Literaturhinweise und Links
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8