Für eine Funktion \( f \), die auf dem Intervall \( [a,b] \) stetig ist, wird die Länge der Kurve \( y = f(x) \) von \( a \) bis \( b \) gegeben durch [1] [2] [3]
\[ \int_{a}^{b} \; \sqrt{1+\left( \dfrac{df}{dx} \right)^2 }\; dx \]
Beispiel 1
Finden Sie die Länge des Bogens der Parabel \( y = 0.1 x^2 + 2 \) zwischen den Punkten \( (-15,24.5) \) und \( (10,12) \).
Lösung zu Beispiel 1
Wir berechnen zuerst die Ableitung
\[ \dfrac{dy}{dx} = 0.2 x \]
Verwenden Sie die oben angegebene Formel für die Bogenlänge
\[ L = \int_{-15}^{10} \; \sqrt{1+\left( 0.2 x \right)^2 }\; dx \]
Verwenden Sie trigonometrische Substitution \( \quad \tan u = 0.2 x \)
Leiten Sie beide Seiten der obigen Substitution ab
\[ \sec ^2 (u) \dfrac{du}{dx} = 0.2 \] was \( dx = 5 \sec ^2 u \, du \) ergibt.
Lösen von \( \quad \tan u = 0.2 x \) nach \( u \) ergibt \( u = \arctan (0.2 x) \)
Integrationsgrenzen nach der Substitution
\( u_1 = \arctan (0.2(-15)) \approx -1.24904 \) wenn \( x = - 15 \) die untere Grenze des Integrals
\( u_2 = \arctan (0.2(10)) \approx 1.10714 \) wenn \( x = 10 \) die obere Grenze des Integrals
\[ L = 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; \sqrt{1+\tan^2 u }\; du \]
Verwenden Sie die Identität \( \sqrt{1 + \tan^2 u } = |\sec u| \) und setzen Sie \( dx = 5 \sec ^2 u \, du \) ein, um zu erhalten
\[ 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; |\sec u| \sec ^2u \; du \]
Für \( u \) im Intervall \( \left[ \arctan (0.2(-15)) , \arctan (0.2(10)) \right] \) ist \( \sec u \) positiv. Daher wird das Integral zu
\[ L = 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; \sec ^3u \; du \]
Verwenden Sie das unbestimmte Integral von \( \sec ^3u \), gegeben durch
\[ \int \sec^3 x \; dx = \dfrac{1}{2} \left( \tan x \; \sec x + \ln |\tan x + \sec x| \right) + c \]
um die Bogenlänge zu berechnen
\[ L = \left[ \dfrac{5}{2} \left( \sec u \tan u + \ln| \sec u + \tan u| \right) \right]_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \\\\ \approx 43.05 \]
Beispiel 2
Finden Sie die Länge des Bogens entlang der Kurve \( f(x) = \ln(\sin x) \) zwischen den Punkten \( (\dfrac{\pi}{4}, f(\dfrac{\pi}{4})) \) und \( (\dfrac{\pi}{2}, f(\dfrac{\pi}{2})) \).
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Lösung zu Beispiel 2
Berechnen Sie die Ableitung
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx}\ln(\sin x) = \cot x\]
Anwendung der Formel für die Bogenlänge
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; \sqrt{1+( \cot x)^2 } \; dx \]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( 1+(\cot x)^2 = \csc^2 x \), dann wird \( L \) zu
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; |\csc x| \; dx \]
\( \csc x \) ist im geschlossenen Integrationsintervall \( [ \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{\pi}{2} ] \) positiv, daher gilt \( |\csc x| = \csc x \) und \( L \) wird zu
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; \csc x \; dx \]
Verwenden Sie das übliche Integral von \( \csc x \) : \( \displaystyle \int \csc x \; dx = \ln \left|\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+C \), um zu schreiben
\[ L = \left[ \ln \left|\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \approx 0.88137 \]
Beispiel 3
Finden Sie die Länge des Bogens entlang des Halbkreises, gegeben durch \( f(x) = 2 + \sqrt {9 - (x+2)^2} \) zwischen den Punkten \( (-4, f(-4)) \) und \( (0, f(0)) \).
Lösung zu Beispiel 3
Berechnen Sie die Ableitung
\[ \dfrac{df}{dx} = -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \]
Anwendung der Formel für die Bogenlänge
\[ L = \int_{-4}^{0} \; \sqrt{1+\left( -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \right)^2 } \; dx \]
Das obige Integral ist anspruchsvoll, daher wurde die Software Symbolab verwendet, um das obige Integral numerisch zu approximieren.
\[ L \approx 4.29 \]