Berechnen Sie Integrale rationaler Funktionen mithilfe der Partialbruchzerlegung. Dieses Tutorial präsentiert Beispiele mit detaillierten Lösungen, einschließlich Fällen, in denen der Grad des Zählers größer als oder gleich dem Grad des Nenners ist.
Hinweis: Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Sie können auch einen Online-Rechner für die Partialbruchzerlegung verwenden, um rationale Funktionen zu zerlegen.
Beispiele mit Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx \)
Lösung zu Beispiel 1:
Wir verwenden die Partialbruchzerlegung, um den Integranden in einfachere Brüche zu zerlegen:
\[ \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{7}{x + 2} \]Wir berechnen das Integral nun Glied für Glied:
\[ \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \dfrac{2}{x - 1} \, dx - \int \dfrac{7}{x + 2} \, dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 7\ln|x + 2| + C \]Beispiel 2: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx \)
Lösung zu Beispiel 2:
Eine Partialbruchzerlegung des Integranden ergibt:
\[ \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} = \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} - \dfrac{1}{x + 3} \]Wir berechnen nun die Integrale:
\[ \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx = \int \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} \, dx - \int \dfrac{1}{x + 3} \, dx \] \[ = \ln|x^2 + 2x + 9| - \ln|x + 3| + C \]Beispiel 3: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx \)
Lösung zu Beispiel 3:
In diesem Beispiel ist der Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners. Zuerst wird eine Polynomdivision durchgeführt:
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x - \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \]Eine Partialbruchzerlegung des Terms \( \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \) ergibt:
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x + \dfrac{2}{x + 2} - \dfrac{3}{x + 3} \]Unter Verwendung des Obigen kann das Integral wie folgt geschrieben werden:
\[ \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx = \int 2x \, dx + \int \dfrac{2}{x + 2} \, dx - \int \dfrac{3}{x + 3} \, dx \]Die Auswertung der Integrale ergibt:
\[ = x^2 + 2\ln|x + 2| - 3\ln|x + 3| + C \]Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale mithilfe von Partialbrüchen. Klicken Sie auf jede Übung, um die Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Übung 1: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \)
Lösung:
In einfachere Brüche zerlegen:
\[ \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2} \]Folglich,
\[ \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \left(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2}\right) dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2| + C \]Übung 2: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx \)
Lösung:
In einfachere Brüche zerlegen:
\[ \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} = -\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2} \]Folglich,
\[ \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx = \int \left(-\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2}\right) dx \] \[ = \ln|2x^2 + x + 2| - 6\ln|x + 7| + C \]Übung 3: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx \)
Lösung:
Da der Grad des Zählers höher ist, führen Sie zuerst eine Polynomdivision durch und zerlegen Sie dann:
\[ \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} = x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2} \]Folglich,
\[ \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx = \int \left(x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2}\right) dx \] \[ = \dfrac{x^3}{3} + 2\ln|x + 1| + 5\ln|x + 2| + C \]