Integration rationaler Funktionen durch Partialbruchzerlegung

Berechnen Sie Integrale rationaler Funktionen mithilfe der Partialbruchzerlegung: Beispiele und detaillierte Lösungen, weitere Fragen und deren Lösungen sind enthalten. Beispiele, bei denen der Grad des Zählers größer oder gleich dem Grad des Nenners ist, sind ebenfalls enthalten. Im Folgenden ist C die Integrationskonstante.
Ein Online-Rechner zur Partialbruchzerlegung kann verwendet werden, um rationale Funktionen zu zerlegen.

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1

Berechnen Sie das Integral

\[ \int \dfrac{-5x + 11}{x^2+x-2} dx \]

Lösung zu Beispiel 1:
Wir verwenden die Partialbruchzerlegung, um den Integranden in einfachere Brüche zu zerlegen.

\[ \dfrac{-5x + 11}{x^2+x-2} = \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{7}{x+2} \]

Wir verwenden nun eine Integraltafel, um zu integrieren.

\[ \int \dfrac{-5x + 11}{x^2+x-2} dx = \int \dfrac{2}{x-1} dx - \int \dfrac{7}{x+2} dx \] \[ = 2 \ln|x - 1| - 7 \ln|x+2| + C \]

Beispiel 2

Berechnen Sie das Integral

\[ \displaystyle \int \dfrac{x^2+6x - 3}{(x+3)(x^2+2x+9)} dx \]

Lösung zu Beispiel 2:
Eine Partialbruchzerlegung des Integranden ergibt

\[ \dfrac{x^2+6x - 3}{(x+3)(x^2+2x+9)} = \dfrac{2x+2}{x^2+2x+9} - \dfrac{1}{x+3} \]

Wir verwenden nun eine Integraltafel, um die Integrale zu berechnen.

\[ \displaystyle \int \dfrac{x^2+6x - 3}{(x+3)(x^2+2x+9)} dx = \int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+9} dx - \int \dfrac{1}{x+3} dx \\ = \ln|x^2+2x+9| - \ln|x+3| + C \]

Beispiel 3

Berechnen Sie das Integral

\[ \displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} dx \]

Lösung zu Beispiel 3:
In diesem Beispiel ist der Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners. Daher wird eine Division des Zählers durch den Nenner durchgeführt, um den Integranden wie folgt zu schreiben:

\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} = 2x - \dfrac{x}{x^2+5x+6} \]

Eine Partialbruchzerlegung des Terms \( \dfrac{x}{x^2+5x+6} \) ergibt

\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} = 2x - \dfrac{x}{x^2+5x+6} = 2x +\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{3}{x+3} \]

Unter Verwendung des Obigen kann das gegebene Integral wie folgt geschrieben werden:

\[ \displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} dx = \int 2x dx +\int \dfrac{2}{x+2} dx - \int \dfrac{3}{x+3} dx \]

Mithilfe einer Integraltafel berechnen wir die Integrale wie folgt:

\[ = x^2 + 2 \ln|x+2| - 3 \ln|x+3| + C \]

Fragen

Berechnen Sie die folgenden Integrale.
1.

\( \quad \displaystyle \int \dfrac{-x + 7}{x^2+x-2} dx \)



2.

\( \quad \displaystyle \int \dfrac{-8x^2 +23x - 5}{(x+7)(2x^2+x+2)} dx \)



3.

\( \quad \displaystyle \int \dfrac{x^4+3x^3+2x^2+7x+9}{x^2+3x+2} dx \)

Lösungen zu den obigen Fragen

1.
In einfachere Brüche zerlegen: \[ \dfrac{-x + 7}{x^2+x-2} = \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{3}{x+2} \]
Daher

\[ \int \dfrac{-x + 7}{x^2+x-2} dx = \int (\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{3}{x+2}) dx \] \[ = 2 \ln|x-1| - 3 \ln|x+2| + C \]


2.
In einfachere Brüche zerlegen: \[ \dfrac{-8x^2 +23x - 5}{(x+7)(2x^2+x+2)} = -\dfrac{6}{x+7} + \dfrac{4x+1}{2x^2+x+2} \]
Daher

\[ \int \dfrac{-8x^2 +23x - 5}{(x+7)(2x^2+x+2)} dx = \int \left(-\dfrac{6}{x+7} + \dfrac{4x+1}{2x^2+x+2}\right) dx \] \[ \qquad = \ln|2x^2+x+2| - 6 \ln|x+7| + C \]


3.
In einfachere Brüche zerlegen: \[ \dfrac{x^4+3x^3+2x^2+7x+9}{x^2+3x+2} = x^2 + \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{5}{x+2} \]
Daher

\[ \displaystyle \int \dfrac{x^4+3x^3+2x^2+7x+9}{x^2+3x+2} dx = \int \left( x^2 + \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{5}{x+2} \right) dx \] \[ \qquad = \dfrac{x^3}{3}+2\ln |x+1|+5 \ln |x+2| + C \]

Weitere Verweise auf Integrale und deren Anwendungen in der Analysis.
Online-Rechner zur Partialbruchzerlegung
Partialbruchzerlegung