Integrale mit \( \sin(x) \) bei ungerader Potenz

Tutorial zur Bestimmung von Integralen mit ungeraden Potenzen von \( \sin(x) \). Übungen mit Lösungen befinden sich am Ende der Seite.

Beispiele mit detaillierten Lösungen

Im Folgenden ist C die Integrationskonstante.

Beispiel 1

Berechne das Integral \[ \int \sin^3(x) \, dx \]

Lösung zu Beispiel 1:
Die Hauptidee besteht darin, die Potenz von \( \sin(x) \) als Produkt eines Terms mit der Potenz 1 und eines Terms mit einer geraden Potenz umzuschreiben.
Beispiel: \( \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \). Daher kann das gegebene Integral wie folgt geschrieben werden: \[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \] Verwende die Identität: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2(x) \), um zu schreiben: \[ \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \] Wir setzen nun \( u = \cos(x) \), also \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) oder \( -du = \sin(x) \, dx \) und substituieren im gegebenen Integral, um zu erhalten: \[ \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du \] Berechne das Integral auf der rechten Seite: \[ - \int (1 - u^2) \, du = -u + \dfrac{1}{3}u^3 + C \] Ersetze \( u \) durch \( \cos(x) \), um zu erhalten: \[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]

Beispiel 2

Berechne das Integral \[ \int \sin^5(x) \, dx \]

Lösung zu Beispiel 2:
Schreibe \( \sin^5(x) \) wie folgt um: \( \sin^5(x) = \sin^4(x) \sin(x) \). Daher kann das gegebene Integral wie folgt geschrieben werden: \[ \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \] Wir verwenden nun die Identität \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \), um \( \sin^4(x) \) als Potenz von \( \cos(x) \) auszudrücken und schreiben das gegebene Integral wie folgt um: \[ \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \] Wir setzen nun \( u = \cos(x) \), also \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) oder \( du = -\sin(x) \, dx \) und substituieren im gegebenen Integral, um zu erhalten: \[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \] Multipliziere aus und berechne das Integral auf der rechten Seite: \[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (u^4 - 2u^2 + 1) \, du \] \[ = -\left(\dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{2}{3}u^3 + u\right) + C \] und schließlich: \[ \int \sin^5(x) \, dx = -\left(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)\right) + C \]

Übungen

Berechne die folgenden Integrale.

1. \( \displaystyle \int \sin^7(x) \, dx \)
2. \( \displaystyle \int \sin^9(x) \, dx \)

Lösungen zu den Übungen

1. \( \dfrac{1}{7}\cos^7(x) - \dfrac{3}{5}\cos^5(x) + \cos^3(x) - \cos(x) + C \)
2. \( -\dfrac{1}{9}\cos^9(x) + \dfrac{4}{7}\cos^7(x) - \dfrac{6}{5}\cos^5(x) + \dfrac{4}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \)

Weitere Referenzen und Links

Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis.