Tutorial zur Berechnung von Integralen mit ungeraden Potenzen von \( \sin(x) \). Übungsaufgaben mit Antworten befinden sich am Ende der Seite. Die Integration gerader Potenzen von Sinus ist im Allgemeinen komplexer und erfordert Gradsenkungsformeln.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
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Beispiel 1: Berechne \( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 1:
Die Grundidee besteht darin, die Potenz von \( \sin(x) \) als Produkt eines Terms mit der Potenz 1 und eines Terms mit einer geraden Potenz umzuschreiben:
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]Folglich kann das gegebene Integral geschrieben werden als:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \]Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \), um Folgendes zu schreiben:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \]Sei \( u = \cos(x) \), was \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) bzw. \( -du = \sin(x) \, dx \) ergibt. Durch Einsetzen in das Integral:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du = \int (u^2 - 1) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - u + C \]Setzen Sie \( u = \cos(x) \) wieder ein:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]Beispiel 2: Berechne \( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 2:
Schreiben Sie \( \sin^5(x) \) als \( \sin^4(x) \sin(x) \) um. Folglich wird das Integral zu:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \]Verwenden Sie die Identität \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \), um \( \sin^4(x) \) durch Potenzen von \( \cos(x) \) auszudrücken:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \]Sei \( u = \cos(x) \), was \( du = -\sin(x) \, dx \) bzw. \( -du = \sin(x) \, dx \) ergibt. Durch Einsetzen in das Integral:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \]Multiplizieren Sie den rechten Ausdruck aus und berechnen Sie das Integral:
\[ = - \int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = - \left( u - \dfrac{2}{3}u^3 + \dfrac{1}{5}u^5 \right) + C = -\dfrac{1}{5}u^5 + \dfrac{2}{3}u^3 - u + C \]Setzen Sie \( u = \cos(x) \) wieder ein:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = -\left(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)\right) + C \]Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale. Klicken Sie auf jede Übung, um die Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Übung 1: Berechne \( \displaystyle \int \sin^7(x) \, dx \)
Lösung:
Schreiben Sie um als \( \int \sin^6(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^3 \sin(x) \, dx \).
Sei \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \):
\[ = -\int (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) \, du = - \left( u - u^3 + \dfrac{3}{5}u^5 - \dfrac{1}{7}u^7 \right) + C \]Setzen Sie \( u = \cos(x) \) wieder ein:
\[ = \dfrac{1}{7}\cos^7(x) - \dfrac{3}{5}\cos^5(x) + \cos^3(x) - \cos(x) + C \]Übung 2: Berechne \( \displaystyle \int \sin^9(x) \, dx \)
Lösung:
Schreiben Sie um als \( \int \sin^8(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^4 \sin(x) \, dx \).
Sei \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \):
\[ = -\int (1 - 4u^2 + 6u^4 - 4u^6 + u^8) \, du \] \[ = - \left( u - \dfrac{4}{3}u^3 + \dfrac{6}{5}u^5 - \dfrac{4}{7}u^7 + \dfrac{1}{9}u^9 \right) + C \]Setzen Sie \( u = \cos(x) \) wieder ein und ordnen Sie nach fallenden Potenzen:
\[ = -\dfrac{1}{9}\cos^9(x) + \dfrac{4}{7}\cos^7(x) - \dfrac{6}{5}\cos^5(x) + \dfrac{4}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]