Das Volumen eines Kegelstumpfes mit Hilfe der Infinitesimalrechnung ermitteln
Verwenden Sie die Methode der Scheibe um die x-Achse, um das Volumen eines Kegelstumpfes zu ermitteln.
Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes
Aufgabe : Ermitteln Sie das Volumen eines Kegelstumpfes mit der Höhe \( h \) und den Radien \( r \) und \( R \) wie unten dargestellt.
Lösung der Aufgabe:
Einen Kegelstumpf erhält man, indem man \( y = m x \) zwischen \(x = a \) und \( x = b \) um die x-Achse rotieren lässt, wie unten dargestellt. Die Höhe \( h = b - a \).
Rotiert man eine Scheibe (rot) mit dem Radius \( y \), also der Fläche \( \pi y^2 \), und der Dicke \( \Delta x \), so kann das Volumen \( V \) des Kegelstumpfes wie folgt geschrieben werden:
\[ V = \int_a^b \pi y^2 dx \quad (I) \]
Die Steigung \( m \) ist gegeben durch
\[ m = \dfrac{R - r}{h} \]
wobei \( h \) die Höhe des Kegelstumpfes ist, gegeben durch
\[ h = b - a \]
Ersetzt man \( y \) in (I) durch \( mx \), so erhält man:
\[ V = \displaystyle m^2 \pi \int_a^b x^2 dx \]
Berechnung des Integrals
\[ V = m^2 \pi \left[\dfrac{1}{3} x^3 \right]_a^b \]
\[ \qquad = \dfrac{1}{3} m^2 \pi (b^3 - a^3) \quad (II) \]
Beachten Sie, dass
\[ r = m \; a \] und \[ R = m \; b \]
Daher gilt
\[ a = \dfrac{r}{m} \] und \[ b = \dfrac{R}{m} \]
Einsetzen in (II)
\[ \qquad V = \dfrac{1}{3} m^2 \pi \left(\left(\dfrac{R}{m}\right)^3 - \left(\dfrac{r}{m}\right)^3\right) \]
Vereinfachen
\[ V = \dfrac{1}{3 \; m} \pi \left(R^3 - r^3\right) \]
Ersetzen Sie \( m \) in der obigen Gleichung durch \( \dfrac{R - r}{h} \) und schreiben Sie um als
\[ V = \dfrac{ \pi h}{3} \dfrac{ \left(R^3 - r^3\right)}{R-r} \quad (III) \]
Beachten Sie, dass \( \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R-r} \) mit Hilfe der Polynomdivision in zwei Variablen vereinfacht werden kann zu
\[ \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R-r} = R^2 + r R + r^2 \]
Wir setzen nun den obigen Ausdruck in (III) ein, um die endgültige Formel für das Volumen des Kegelstumpfes zu erhalten:
\[ \boxed {V = \dfrac{\pi h}{3} \left( R^2 + r R + r^2 \right) } \]
Weitere Referenzen und Links
Integrale und ihre Anwendungen in der Infinitesimalrechnung.
Volumen eines Rotationskörpers