Verwenden Sie die Methode der Scheiben um die x-Achse, um das Volumen eines Kegelstumpfs zu berechnen.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Formel für das Volumen des Kegelstumpfs
Problem: Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs mit der Höhe \( h \) und den Radien \( r \) und \( R \) wie unten abgebildet.
Lösung des Problems:
Ein Kegelstumpf kann erzeugt werden, indem \( y = mx \) zwischen \( x = a \) und \( x = b \) um die x-Achse rotiert wird, wie unten dargestellt. Die Höhe ist \( h = b - a \).
Durch Rotation einer Scheibe (rot) mit dem Radius \( y \) (folglich mit der Fläche \( \pi y^2 \)) und der Dicke \( dx \) kann das Volumen \( V \) des Kegelstumpfs geschrieben werden als:
\[ V = \int_a^b \pi y^2 \, dx \quad (I) \]Die Steigung \( m \) ist gegeben durch:
\[ m = \dfrac{R - r}{h} \]wobei \( h \) die Höhe des Kegelstumpfs ist, gegeben durch:
\[ h = b - a \]Setzen Sie \( y \) durch \( mx \) in Gleichung (I) ein und schreiben Sie:
\[ V = m^2 \pi \int_a^b x^2 \, dx \]Berechnen Sie das Integral:
\[ V = m^2 \pi \left[\dfrac{1}{3} x^3 \right]_a^b \] \[ \qquad = \dfrac{1}{3} m^2 \pi (b^3 - a^3) \quad (II) \]Beachten Sie, dass:
\[ r = m a \quad \text{und} \quad R = m b \]Folglich:
\[ a = \dfrac{r}{m} \quad \text{und} \quad b = \dfrac{R}{m} \]Setzen Sie diese in Gleichung (II) ein:
\[ V = \dfrac{1}{3} m^2 \pi \left(\left(\dfrac{R}{m}\right)^3 - \left(\dfrac{r}{m}\right)^3\right) \]Vereinfachen:
\[ V = \dfrac{1}{3 m} \pi \left(R^3 - r^3\right) \]Setzen Sie \( m \) durch \( \dfrac{R - r}{h} \) in das Obige ein und schreiben Sie um als:
\[ V = \dfrac{\pi h}{3} \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R - r} \quad (III) \]Beachten Sie, dass sich \( \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} \) mithilfe der Polynomdivision in zwei Variablen vereinfachen lässt als:
\[ \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} = R^2 + rR + r^2 \]Setzen Sie das Obige in Gleichung (III) ein, um die Endformel für das Volumen des Kegelstumpfs zu erhalten:
\[ \Large \displaystyle \boxed{V = \dfrac{\pi h}{3} \left(R^2 + rR + r^2\right)} \]