Ein Tutorial zur Verwendung von Infinitesimalrechnung-Theoremen unter Anwendung der ersten und zweiten Ableitung, um zu bestimmen, ob eine Funktion an einem gegebenen Punkt ein relatives Maximum oder Minimum oder keines von beiden hat. Dies sind einige der wichtigsten Sätze bei der Problemlösung.
Satz 1 – Stationärer Punkt
Wenn die Funktion \(f\) bei \(x = a\) ein relatives Minimum oder Maximum hat, gilt entweder \(f'(a) = 0\) (stationärer Punkt) oder \(f'(a)\) existiert nicht.
Abbildung 1: Satz 1: Funktion \(f\) und ihre Ableitung
Als Beispiel sind oben der Graph von \(f\) und seiner Ableitung \(f'\) dargestellt. Am Maximum (\(x = 2\)) und am Minimum (\(x = -2\)) von \(f\) ist \(f' = 0\).
Satz 2 – Erstes Ableitungskriterium
Sei \(f\) eine stetige Funktion.
2.a – Wenn \(f'(a) = 0\) oder \(f'(x)\) bei \(x = a\) nicht existiert und wenn links von \(a\) \(f'(x) \lt 0\) und rechts von \(a\) \(f'(a) > 0\) gilt, dann hat \(f\) bei \(x = a\) ein relatives Minimum.
2.b – Wenn \(f'(a) = 0\) oder \(f'(x)\) bei \(x = a\) nicht existiert und wenn links von \(a\) \(f'(x) > 0\) und rechts von \(a\) \(f'(a) \lt 0\) gilt, dann hat \(f\) bei \(x = a\) ein relatives Maximum.
Sowohl 2.a als auch 2.b können anhand des Graphen in Abbildung 1 oben deutlich überprüft werden.
3.b – Wenn \(f'(a)\) links und rechts von \(x = a\) das gleiche Vorzeichen hat, dann hat \(f\) weder ein Minimum noch ein Maximum.
Der Graph in Abbildung 2 unten zeigt den Graphen einer Funktion \(f\), die weder ein Minimum noch ein Maximum besitzt und deren erste Ableitung das Vorzeichen nicht wechselt.
Abbildung 2: Satz 2: Funktion \(f\) und ihre Ableitung, \(f'\) wechselt das Vorzeichen nicht
Satz 3 – Erstes und Zweites Ableitungskriterium
Angenommen, sowohl \(f'\) als auch \(f''\) existieren bei \(x = a\) und es gilt \(f'(a) = 0\) (stationärer Punkt).
3.a – Wenn \(f''(a) > 0\), hat \(f\) bei \(x = a\) ein relatives Minimum.
3.b – Wenn \(f''(a) \lt 0\), hat \(f\) bei \(x = a\) ein relatives Maximum.
3.c – Wenn \(f''(a) = 0\), kann keine Aussage getroffen werden; verwenden Sie Satz 2 oben.
Unten sind der Graph der Funktion \(f\), ihre erste Ableitung \(f'\) und ihre zweite Ableitung \(f''\) dargestellt. Wir können leicht überprüfen, dass:
1) an der Stelle (\(x = -2\)) mit \(f'(-2) = 0\) und \(f''(-2) \lt 0\), \(f\) ein Maximum hat
2) und an der Stelle (\(x = 2\)) mit \(f'(2) = 0\) und \(f''(2) > 0\), \(f\) bei \(x = 2\) ein Minimum hat.
Abbildung 3: Satz 3: Funktion \(f\), ihre erste Ableitung \(f'\) und ihre zweite Ableitung \(f''\).
Weitere Referenzen und Links zu Analysis-Problemen
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Calculus, 11. Ausgabe, ISBN: 978-1-118-88613-7, Juni 2016, Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis ,
