Sätze zur ersten und zweiten Ableitung

Extrema, stationäre Punkte, Tests mit erster & zweiter Ableitung

Ein Tutorial darüber, wie man Analysis-Sätze unter Verwendung der ersten und zweiten Ableitung nutzt, um festzustellen, ob eine Funktion an einemgegebenen Punkt ein relatives Maximum, ein relatives Minimum oder keines von beidem besitzt. Dies sind einige der wichtigsten Sätze beim Lösen von Problemen.

Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.

Analysis-Sätze und Tests

Satz 1 - Stationärer Punkt

Wenn die Funktion \( f \) bei \( x = a \) ein relatives Minimum oder Maximum besitzt, gilt entweder \( f'(a) = 0 \) (stationärer Punkt) oder \( f'(a) \) existiert nicht.

Graph einer Funktion und ihrer Ableitung zur Erläuterung von Satz 1
Abbildung 1. Satz 1: Funktion \( f \) und ihre Ableitung \( f' \)

Als Beispiel sind oben der Graph von \( f \) und seine Ableitung \( f' \) dargestellt. Am Maximum (\( x = 2 \)) und am Minimum (\( x = -2 \)) von \( f \) ist \( f' = 0 \).

Satz 2 - Test der ersten Ableitung

Sei \( f \) eine stetige Funktion.

  • 2.a - Wenn \( f'(a) = 0 \) oder \( f'(x) \) bei \( x = a \) nicht existiert und wenn \( f'(x) < 0 \) links von \( a \) und \( f'(x) > 0 \) rechts von \( a \) ist, dann hat \( f \) bei \( x = a \) ein relatives Minimum.
  • 2.b - Wenn \( f'(a) = 0 \) oder \( f'(x) \) bei \( x = a \) nicht existiert und wenn \( f'(x) > 0 \) links von \( a \) und \( f'(x) < 0 \) rechts von \( a \) ist, dann hat \( f \) bei \( x = a \) ein relatives Maximum.

Sowohl 2.a als auch 2.b lassen sich anhand des obigen Graphen in Abbildung 1 eindeutig verifizieren.

  • 2.c - Wenn \( f'(a) \) links und rechts von \( x = a \) das gleiche Vorzeichen hat, besitzt \( f \) dort weder ein Minimum noch ein Maximum.

Der Graph in Abbildung 2 unten zeigt die Funktion \( f \), die weder ein Minimum noch ein Maximum besitzt, und deren erste Ableitung kein Vorzeichenwechsel aufweist.

Graph einer Funktion und ihrer Ableitung zur Erläuterung eines Teils von Satz 2
Abbildung 2. Satz 2: Funktion \( f \) und ihre Ableitung \( f' \) wechseln das Vorzeichen nicht

Satz 3 - Test mit erster und zweiter Ableitung

Angenommen, sowohl \( f' \) als auch \( f'' \) existieren bei \( x = a \) und es gilt \( f'(a) = 0 \) (stationärer Punkt).

  • 3.a - Wenn \( f''(a) > 0 \) ist, hat \( f \) bei \( x = a \) ein relatives Minimum.
  • 3.b - Wenn \( f''(a) < 0 \) ist, hat \( f \) bei \( x = a \) ein relatives Maximum.
  • 3.c - Wenn \( f''(a) = 0 \) ist, kann keine Schlussfolgerung gezogen werden; verwenden Sie stattdessen Satz 2.

Unten ist der Graph der Funktion \( f \), ihrer ersten Ableitung \( f' \) und ihrer zweiten Ableitung \( f'' \) dargestellt. Wir können leicht überprüfen, dass:

  1. Am Punkt (\( x = -2 \)), an dem \( f'(-2) = 0 \) und \( f''(-2) < 0 \) ist, besitzt \( f \) ein relatives Maximum.
  2. Am Punkt (\( x = 2 \)), an dem \( f'(2) = 0 \) und \( f''(2) > 0 \) ist, besitzt \( f \) ein relatives Minimum.
Graph einer Funktion und ihrer Ableitungen zur Erläuterung von Satz 3
Abbildung 3. Satz 3: Funktion \( f \), ihre erste Ableitung \( f' \) und ihre zweite Ableitung \( f'' \)

Weitere Referenzen und Links zu Analysis-Problemen