Maximieren Sie den Flächeninhalt eines in ein rechtwinkliges Dreieck einbeschriebenen Rechtecks mithilfe der ersten Ableitung. Das Problem und seine detaillierte Lösung werden unten vorgestellt.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe mit Lösung
BDEF ist ein Rechteck, das in das rechtwinklige Dreieck ABC einbeschrieben ist, dessen Seitenlängen 40 und 30 betragen. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechtecks BDEF so, dass sein Flächeninhalt maximal wird.
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Sei die Länge BF des Rechtecks \( y \) und die Breite BD \( x \). Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ist gegeben durch:
\[ \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600 \]Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks lässt sich auch als Summe der Flächeninhalte des Dreiecks BEC und des Dreiecks BEA (durch das Rechteck aufgeteilt) berechnen. Folglich gilt:
\[ 600 = \frac{1}{2} \times 40 \times y + \frac{1}{2} \times 30 \times x \]Sei \( A \) der Flächeninhalt des Rechtecks. Daher gilt:
\[ A = y \times x \]Wir verwenden nun die erste Gleichung, um \( y \) in Abhängigkeit von \( x \) auszudrücken:
\[ y = \frac{600 - 15x}{20} \]Setzen Sie \( y \) in \( A \) ein, um den Flächeninhalt als Funktion von \( x \) zu erhalten:
\[ A(x) = \frac{x(600 - 15x)}{20} \]Eine Ausmultiplizierung von \( A(x) \) zeigt, dass \( A(x) \) eine quadratische Funktion mit negativem Koeffizienten des quadratischen Terms ist und daher einen Maximalwert besitzt:
\[ A(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 30x \]Der Graph von \( A(x) \) als Funktion von \( x \) ist unten dargestellt. \( A(x) \) hat einen Maximalwert bei \( x = 20 \), wie unten analytisch bestätigt wird:
Wir berechnen nun die erste Ableitung von \( A(x) \):
\[ A'(x) = -\frac{3}{2}x + 30 \]Setzen Sie \( A'(x) = 0 \) und lösen Sie nach \( x \) auf:
\[ -\frac{3}{2}x + 30 = 0 \implies x = 20 \]Es ist leicht zu überprüfen, dass \( A'(x) \) für \( x < 20 \) positiv und für \( x > 20 \) negativ ist, was bestätigt, dass \( A(x) \) bei \( x = 20 \) ein Maximum besitzt.
Der maximale Flächeninhalt ist durch \( A(20) \) gegeben:
\[ A(20) = -\frac{3}{4} \times 20^2 + 30 \times 20 = 300 \]Wir finden nun \( y \) mithilfe der Flächenformel:
\[ A = 300 = x \times y \implies y = \frac{300}{20} = 15 \]Fazit: Die Abmessungen des Rechtecks, die seinen Flächeninhalt maximieren, sind \( x = 20 \) und \( y = 15 \).