Maximieren Sie die Fläche eines Rechtecks, das in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, mithilfe der ersten Ableitung. Das Problem und seine Lösung werden vorgestellt.
BDEF ist ein Rechteck, das in das rechtwinklige Dreieck ABC eingeschrieben ist, dessen Seitenlängen 40 und 30 betragen. Finden Sie die Abmessungen des Rechtecks BDEF, sodass seine Fläche maximal ist.
Lösung des Problems:
Die Länge BF des Rechtecks sei \( y \) und die Breite BD sei \( x \). Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist gegeben durch \( \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600 \). Aber die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks kann auch als Summe der Flächen der Dreiecke BEC und BEA berechnet werden. Daher
\[ 600 = \frac{1}{2} \times 40 \times y + \frac{1}{2} \times 30 \times x \]
Sei \( A \) die Fläche des Rechtecks. Daher
\[ A = y \times x \]
Wir verwenden nun die erste Gleichung, um \( y \) in Abhängigkeit von \( x \) auszudrücken:
\[ y = \frac{600 - 15x}{20} \]
Setze dies in \( A \) ein, um zu erhalten:
\[ A(x) = \frac{x(600 - 15x)}{20} \]
Der Graph von \( A(x) \) als Funktion von \( x \) ist unten dargestellt. \( A(x) \) hat einen Maximalwert für \( x = 20 \). Dies wird auch analytisch gezeigt.
Eine Entwicklung von \( A(x) \) zeigt, dass \( A(x) \) eine quadratische Funktion mit negativem Leitkoeffizienten ist und daher einen Maximalwert besitzt.
\[ A(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 30x \]
Wir berechnen nun die erste Ableitung von \( A \).
\[ A'(x) = -\frac{3}{2}x + 30 \]
Setze \( A'(x) = 0 \) und löse nach \( x \) auf.
\[ x = 20 \]
Es ist leicht zu überprüfen, dass \( A'(x) \) für \( x \lt 20 \) positiv und für \( x > 20 \) negativ ist, und daher hat \( A(x) \) ein Maximum bei \( x = 20 \).
Die maximale Fläche ist gegeben durch \( A(20) \)
\[ A(20) = -\frac{3}{4} \times 20^2 + 30 \times 20 = 300 \]
Wir finden nun \( y \) wie folgt:
\[ A = 300 = x \times y , \quad y = \frac{300}{20} = 15 \]
Die Abmessungen des Rechtecks, die seine Fläche maximieren, sind \( x = 20 \) und \( y = 15 \).