Absolutes Maximum und Minimum einer Funktion
Schritt-für-Schritt-Analysebeispiele

Erfahren Sie, wie Sie das absolute Maximum und absolute Minimum einer Funktion mithilfe der ersten Ableitung, kritischer Punkte und der Intervallauswertung finden. Diese Anleitung enthält grafische Interpretationen, um die Konzepte zu veranschaulichen.

Absolute Extrema verstehen

Definition: Werte von \(x\) im Definitionsbereich einer Funktion \(f\), an denen \(f'(x) = 0\) ist oder \(f'(x)\) nicht definiert ist, werden als kritische Punkte von \(f\) bezeichnet.

Satz: Für eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall \([a, b]\) gibt es Werte \(x_1\) und \(x_2\) in \([a, b]\), so dass: \[ f(x_1) = \min f(x), \quad f(x_2) = \max f(x), \quad \text{für alle } x \in [a, b]. \]

Lassen Sie uns Beispiele untersuchen, die zeigen, wie absolute Extrema an kritischen Punkten oder Intervallenden auftreten können.

Beispiel 1: Extrema an stationären Punkten

Wenn \(f'(x_0) = 0\) ist und das Vorzeichen von \(f'(x)\) wechselt, kann \(x_0\) einem lokalen (und möglicherweise absoluten) Maximum oder Minimum entsprechen.

Beispiel 2: Extrema, wo die Ableitung nicht definiert ist

Extrema können dort auftreten, wo die Ableitung nicht existiert.

Beispiel 3: Extrema an Intervallenden

Betrachten Sie \(f(x) = x^3 - 2x^2\) auf \([-1, 5/2]\). Es existieren lokale Extrema, aber die absoluten Extrema treten an den Intervallenden auf:

Allgemeine Schritte zum Finden absoluter Extrema

1. Finden Sie die erste Ableitung \(f'(x)\).
2. Bestimmen Sie die kritischen Punkte (wo \(f'(x) = 0\) oder nicht definiert ist).
3. Berechnen Sie \(f(x)\) an allen kritischen Punkten und Intervallenden.
4. Der größte Wert ist das absolute Maximum, der kleinste das absolute Minimum.

Beispiel 4: Absolute Extrema einer quadratischen Funktion

Finden Sie das absolute Maximum und Minimum der Funktion \( f \), definiert durch \[ f(x) = - x^2 + 2 x -2 \;\; \text{auf} \;\; [-2 , 3] \].

Lösung zu Beispiel 4

Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung
Um das absolute Maximum und Minimum der Funktion zu finden, berechnen wir zunächst die erste Ableitung von \( f(x) = -x^2 + 2x - 2 \):
\[ f'(x) = -2x + 2 \]

Schritt 2: Bestimmen Sie die kritischen Punkte
Setzen Sie die Ableitung gleich Null, um die kritischen Punkte zu finden:
\[ -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Da die erste Ableitung für alle \( x \) im Intervall \([-2, 3]\) definiert ist und \( x = 1 \) innerhalb dieses Intervalls liegt, ist dies ein gültiger kritischer Punkt.

Schritt 3: Berechnen Sie die Funktion an den Intervallenden und kritischen Punkten
Werten Sie nun die ursprüngliche Funktion an den Intervallenden und am kritischen Punkt \( x = 1 \) aus:
\[ f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 2 = -4 - 4 - 2 = -10 \]
\[ f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1 \]
\[ f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 2 = -9 + 6 - 2 = -5 \]

Schlussfolgerung:
- Der absolute Maximalwert ist \( f(1) = -1 \), erreicht bei \( x = 1 \).
- Der absolute Minimalwert ist \( f(-2) = -10 \), erreicht bei \( x = -2 \).

Die folgende Grafik veranschaulicht die Funktion, zeigt den kritischen Punkt und die Intervallenden und hebt die absoluten Minimal- und Maximalwerte hervor:

Beispiel 5: Absolute Extrema einer Polynomfunktion auf einem abgeschlossenen Intervall finden

Bestimmen Sie die absoluten Maximal- und Minimalwerte der Funktion \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \) auf dem abgeschlossenen Intervall \( [-1, 1] \).

Lösung zu Beispiel 5

Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung

Differenzieren Sie die Funktion, um ihre kritischen Punkte zu finden:

\( f'(x) = x^3 + x^2 - 2x \)

Schritt 2: Finden Sie kritische Punkte durch Lösen von \( f'(x) = 0 \)

Setzen Sie die Ableitung gleich Null:

\( x^3 + x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 2) = 0 \)

Die Lösungen sind \( x = 0 \), \( x = 1 \) und \( x = -2 \). Allerdings liegen nur \( x = 0 \) und \( x = 1 \) innerhalb des Intervalls \( [-1, 1] \).

Die kritischen Punkte im Definitionsbereich sind also \( x = 0 \) und \( x = 1 \).

Schritt 3: Berechnen Sie die Funktion an den Intervallenden und kritischen Punkten

• \( f(-1) = \dfrac{1}{4}(-1)^4 + \dfrac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{13}{12} \)
• \( f(0) = \dfrac{1}{4}(0)^4 + \dfrac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0 \)
• \( f(1) = \dfrac{1}{4}(1)^4 + \dfrac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \)

Schritt 4: Identifizieren Sie absolutes Maximum und Minimum

• Absoluter Maximalwert: \( f(0) = 0 \) bei \( x = 0 \)
• Absoluter Minimalwert: \( f(-1) = -\dfrac{13}{12} \) bei \( x = -1 \)

Der Graph der Funktion \( f(x) \) ist unten dargestellt und veranschaulicht die kritischen Punkte, Intervallenden sowie die Positionen des absoluten Maximums und Minimums.

Beispiel 6: Absolutes Maximum und Minimum einer Funktion mit Logarithmen finden

Finden Sie die absoluten Maximal- und Minimalwerte der Funktion \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \) auf dem abgeschlossenen Intervall \( [0.5 , 2] \).

Lösung zu Beispiel 6

Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung

Wir differenzieren mit der Produktregel: \[ f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \] \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}(x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x \]

Schritt 2: Finden Sie die kritischen Punkte

Setzen Sie die erste Ableitung gleich Null: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x = x(2 \ln(x) + 1) = 0 \] Lösen:

• \( x = 0 \) (ausgeschlossen, da nicht im Definitionsbereich)
• \( 2 \ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Nur \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \) liegt innerhalb des Intervalls \( [0.5 , 2] \), also ist dies der einzige kritische Punkt im Definitionsbereich.

Schritt 3: Berechnen Sie die Funktion an den Intervallenden und am kritischen Punkt

• \( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = 0.25 \cdot (-0.6931) - 1 \approx -0.1733 - 1 = -1.1733 \)
• \( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 4 \cdot 0.6931 - 1 = 2.772 - 1 = 1.772 \)
• \( f(e^{-1/2}) = (e^{-1}) \cdot (-\dfrac{1}{2}) - 1 = -\dfrac{1}{2e} - 1 \approx -0.1839 - 1 = -1.1839 \)

Endergebnis

• Absoluter Maximalwert: \( \boxed{1.772} \) bei \( x = 2 \)
• Absoluter Minimalwert: \( \boxed{-1.1839} \) bei \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Beispiel 7: Absolutes Maximum und Minimum einer Betragsfunktion

Finden Sie die absoluten Maximal- und Minimalwerte der Funktion \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) auf dem abgeschlossenen Intervall \([-1.1 , 4]\).

Lösung zu Beispiel 7

Schritt 1: Umschreiben und Differenzieren der Funktion

Verwenden Sie die Identität \( |u| = \sqrt{u^2} \), um die Funktion umzuschreiben:

\( f(x) = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x \)

Differenzieren Sie nun:

\( f'(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}} - 1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)

Schritt 2: Finden Sie kritische Punkte

Die Ableitung ist nicht definiert, wenn der Nenner Null ist:

Setze \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) ⇒ \( (x+1)(x-3) = 0 \) ⇒ \( x = -1 \) und \( x = 3 \)

Um zu finden, wo \( f'(x) = 0 \), lösen Sie:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \)     (Gleichung 1)

Fall 1: \( x^2 - 2x - 3 < 0 \)

Dann ist \( |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) \), und Gleichung 1 wird zu:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)

Lösungen: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{1}{2} \)

Fall 2: \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

Dann ist \( |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 \), und Gleichung 1 wird zu:

\( (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)

Lösungen: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{3}{2} \)

Kritische Punkte überprüfen

• \( x = -1 \), \( x = 3 \): Ableitung nicht definiert — kritische Punkte.
• \( x = \dfrac{1}{2} \): Einsetzen in den Zähler ergibt 0 ⇒ gültiger kritischer Punkt.
• \( x = \dfrac{3}{2} \): Einsetzen in den Zähler ergibt nicht 0 ⇒ kein kritischer Punkt.

Schlussfolgerung: Die kritischen Punkte von \( f(x) \) sind: \( x = -1 \), \( x = \dfrac{1}{2} \) und \( x = 3 \).

Schritt 3: Berechnen Sie \( f(x) \) an den Intervallenden und kritischen Punkten

• \( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
• \( f(4) = |4^2 - 2 \cdot 4 - 3| - 4 = 1 \)
• \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left| \dfrac{1}{4} - 1 - 3 \right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{4} = 3.25 \)
• \( f(-1) = |1 + 2 - 3| + 1 = 1 \)
• \( f(3) = |9 - 6 - 3| - 3 = -3 \)

Endergebnis:

• Absolutes Maximum: \( f(x) = 3.25 \) bei \( x = \dfrac{1}{2} \)
• Absolutes Minimum: \( f(x) = -3 \) bei \( x = 3 \)

Graph der Funktion

Der Graph von \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) unten zeigt die kritischen Punkte und die Intervallenden von \([-1.1 , 4]\) sowie die absoluten Maximal- und Minimalwerte.

Beispiel 8: Absolute Extrema von Funktionen mit rationalem Exponenten

Finden Sie das absolute Maximum und Minimum der Funktion \( f \), definiert durch \[ f(x) = (x-2)^{2/5} \;\; \text{auf} \;\; [-3 , 4] \].

Lösung zu Beispiel 8

Schritt 1: Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion
Gegeben sei die Funktion:
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)

Die erste Ableitung ist:
\[ f'(x) = \dfrac{2}{5}(x - 2)^{-3/5} = \dfrac{2}{5(x - 2)^{3/5}} \]

Schritt 2: Identifizieren Sie kritische Punkte
Die Ableitung \( f'(x) \) hat keine Nullstellen, da der Zähler konstant ist.
Allerdings ist die Ableitung nicht definiert, wenn der Nenner Null ist, d.h. wenn \( x = 2 \).
Daher ist \( x = 2 \) ein kritischer Punkt, weil die Ableitung an dieser Stelle nicht definiert ist.

Schritt 3: Berechnen Sie f(x) an den Intervallenden und dem kritischen Punkt
Berechnen Sie die Werte der Funktion an den wichtigen Punkten innerhalb des Intervalls \([-3, 4]\):

\[ f(-3) = ((-3) - 2)^{2/5} = (-5)^{2/5} \approx 1.90 \]
\[ f(4) = (4 - 2)^{2/5} = 2^{2/5} \approx 1.32 \]
\[ f(2) = (2 - 2)^{2/5} = 0^{2/5} = 0 \]

Schritt 4: Bestimmen Sie absolutes Maximum und Minimum
Aus den obigen Berechnungen:

• Absolutes Minimum: 0 bei \( x = 2 \)
• Absolutes Maximum: ungefähr 1.90 bei \( x = -3 \)

Grafische Darstellung:
Der Graph von \( f(x) = (x - 2)^{2/5} \) über dem Intervall \([-3, 4]\) bestätigt den kritischen Punkt bei \( x = 2 \) sowie die absoluten Minimal- und Maximalwerte.

Weitere Referenzen und Links