Beispiel 1
Finden Sie die lineare Approximation von \( f(x) = \tan x \) für \( x \) nahe 0.
Lösung
Berechnen Sie zuerst die Ableitung:
\[
f'(x) = \sec^2 x
\]
Auswerten an der Stelle \( x=0 \):
\[
f'(0) = \sec^2(0) = 1
\]
Somit ist die lineare Approximation \( f_l(x) \) an der Stelle \( x=0 \):
\[
f_l(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \cdot x = x
\]
Dies bedeutet \(\tan x \approx x\) für \( x \) nahe 0, wobei \( x \) im Bogenmaß gemessen wird.
Versuchen Sie, \(\tan x\) zu berechnen und mit \(x\) für die Werte zu vergleichen:
\[
x = 0;\; 0,001;\; 0,01;\; 0,1;\; 0,2;\; 0,3;\; 0,5
\]
Stellen Sie Ihren Taschenrechner auf das Bogenmaß ein und beobachten Sie die Näherung.
Beispiel 2
Finden Sie die lineare Approximation von \( f(x) = \ln x \) für \( x \) nahe 1.
Lösung
Berechnen Sie die Ableitung:
\[
f'(x) = \dfrac{1}{x}
\]
Auswerten an der Stelle \( x=1 \):
\[
f'(1) = 1
\]
Die lineare Approximation \( f_l(x) \) an der Stelle \( x=1 \) ist:
\[
f_l(x) = \ln 1 + 1 \cdot (x - 1) = 0 + (x - 1) = x - 1
\]
Also,
\[
\ln x \approx x - 1
\]
für \( x \) nahe 1.
Vergleichen Sie \(\ln x\) und \(x - 1\) für die Werte:
\[
x = 1;\; 1,001;\; 1,01;\; 1,1;\; 1,5
\]
mit Ihrem Taschenrechner.
Beispiel 3
Finden Sie die lineare Approximation von \( f(x) = e^x \) für \( x \) nahe 0.
Lösung
Die Ableitung ist:
\[
f'(x) = e^x
\]
Auswerten an der Stelle \( x=0 \):
\[
f'(0) = 1
\]
Die lineare Approximation \( f_l(x) \) an der Stelle \( x=0 \) ist:
\[
f_l(x) = e^0 + 1 \cdot (x - 0) = 1 + x
\]
Vergleichen Sie \( e^x \) und \( 1 + x \) für die Werte:
\[
x = 0;\; 0,001;\; 0,01;\; 0,1;\; 0,5
\]
mit Ihrem Taschenrechner.
