Praxisnahe Optimierungsprobleme in der Analysis mit Lösungen

Finden Sie zwei positive Zahlen, deren Produkt gleich 10 ist und deren Summe so klein wie möglich ist. Überprüfen Sie Ihre Antwort grafisch.

Lösung

Sei \( x \) die erste Zahl und \( y \) die zweite Zahl, wobei sowohl \( x > 0 \) als auch \( y > 0 \) gilt. Sei \( S \) die zu minimierende Summe.

• Summe: \( S = x + y \)   ← Dies ist die zu minimierende Funktion
• Produktnebenbedingung: \( x \cdot y = 10 \)   ← Beziehung zwischen den Variablen

Lösen Sie die Nebenbedingung nach \( y \) auf: \( y = \dfrac{10}{x} \)

Setzen Sie dies in die Summenfunktion ein, um eine Funktion mit einer Variablen zu erhalten: \[ S(x) = x + \dfrac{10}{x} = \dfrac{x^2 + 10}{x} \] mit dem Definitionsbereich \( x > 0 \)

Berechnen Sie die erste Ableitung von \( S(x) \): \[ S'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(x + \dfrac{10}{x}\right) = 1 - \dfrac{10}{x^2} \]

Setzen Sie die Ableitung gleich null, um kritische Punkte zu finden: \[ 1 - \dfrac{10}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{10} \]

Wir verwerfen \( x = -\sqrt{10} \), da \( x \) positiv sein muss. Also ist \( x = \sqrt{10} \) ein kritischer Punkt.

Überprüfen Sie die zweite Ableitung, um die Konkavität zu bestimmen: \[ S''(x) = \dfrac{20}{x^3} \] Da \( x > 0 \) ist, ist \( S''(x) > 0 \), der Graph ist also nach oben gekrümmt. Daher ist \( x = \sqrt{10} \) ein Minimum.

Die beiden Zahlen lauten: \[ x = \sqrt{10} \approx 3.16, \quad y = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \]

Der Graph von \( S(x) = x + \dfrac{10}{x} \) zeigt einen Minimalwert bei \( x \approx 3.16 \), was das Ergebnis bestätigt.

Finden Sie zwei positive Zahlen, sodass die Summe aus dem Sechsfachen der ersten und dem Zweifachen der zweiten Zahl gleich 150 ist und ihr Produkt so groß wie möglich wird.

Lösung

Sei \( x \) die erste Zahl und \( y \) die zweite Zahl. Sei \( P \) das zu maximierende Produkt.

Die Zielfunktion lautet: \( P = x \cdot y \)

Die Nebenbedingung lautet: \( 6x + 2y = 150 \)

Lösen Sie die Nebenbedingung nach \( y \) auf: \( y = 75 - 3x \)

Setzen Sie dies in die Produktfunktion ein: \( P(x) = x(75 - 3x) = 75x - 3x^2 \)

Berechnen Sie die erste Ableitung: \( P'(x) = 75 - 6x \)

Setzen Sie die Ableitung gleich null, um kritische Punkte zu finden: \( 75 - 6x = 0 \implies x = \dfrac{75}{6} = \dfrac{25}{2} \)

Berechnen Sie die zweite Ableitung: \( P''(x) = -6 \). Da \( P''(x) < 0 \) ist, ist die Funktion nach unten gekrümmt, was ein Maximum bestätigt.

Finden Sie nun \( y \): \( y = 75 - 3 \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{75}{2} \)

Fazit: Die beiden positiven Zahlen, die das Produkt maximieren, lauten:

• \( x = \dfrac{25}{2} = 12.5 \)
• \( y = \dfrac{75}{2} = 37.5 \)

Angenommen, Sie müssen zwei rechteckige Felder mit denselben Abmessungen und einer gemeinsamen Seite einzuzäunen, wobei 180 Meter Zaun zur Verfügung stehen. Finden Sie die Abmessungen der Rechtecke, sodass die eingezäunte Gesamtfläche maximal wird.

Lösung

Sei \( L \) die Länge und \( W \) die Breite jedes Rechtecks. Die Breite ist die gemeinsame Seite.

Gesamtfläche: \( A = 2LW \)
Zaun-Nebenbedingung: \( 4L + 3W = 180 \).
Lösen nach \( W \): \( W = 60 - \dfrac{4}{3}L \).
Fläche als Funktion von \( L \): \[ A(L) = 2L \left(60 - \dfrac{4}{3}L \right) = -\dfrac{8}{3}L^2 + 120L \] Aus der Nebenbedingung ergibt sich der Definitionsbereich \( L \in [0, 45] \).
Ableitung: \( A'(L) = -\dfrac{16}{3}L + 120 \).
Lösen von \( A'(L) = 0 \implies L = 22.5 \).
Auswertung:

• \( A(0) = 0 \)
• \( A(45) = 0 \)
• \( A(22.5) = -\dfrac{8}{3}(22.5)^2 + 120 \cdot 22.5 = 1350 \)

Die maximale Fläche tritt bei \( L = 22.5 \) und \( W = 60 - \dfrac{4}{3} \cdot 22.5 = 30 \) auf.

Abmessungen: \( 22.5 \) m mal \( 30 \) m.

Ein Draht der Länge 100 cm wird in zwei Stücke geschnitten. Ein Stück wird zu einem Quadrat gebogen, das andere zu einem Kreis. Finden Sie die Längen der beiden Stücke, sodass die Summe der Flächen, die vom Quadrat und vom Kreis umschlossen werden, minimiert wird.

Lösung

Sei \( x \) die Länge des für das Quadrat verwendeten Drahtes und \( y \) für den Kreis. Gesamter Draht: \( x + y = 100 \).

Schritt 1: Drücken Sie die Flächen durch \( x \) aus

Für das Quadrat: \( x = 4s \implies s = \dfrac{x}{4} \implies A_{\text{Quadrat}} = \dfrac{x^2}{16} \)
Für den Kreis: \( y = 2\pi r \implies r = \dfrac{y}{2\pi} \implies A_{\text{Kreis}} = \dfrac{y^2}{4\pi} \)
Gesamtfläche: \( A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{4\pi} \)

Schritt 2: Minimieren Sie die Fläche

Ableitung: \( A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \)
Setzen Sie die Ableitung gleich 0: \[ \dfrac{x}{8} = \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \implies 2\pi x = 8(100 - x) \implies x = \dfrac{800}{2\pi + 8} = \dfrac{400}{\pi + 4} \] Näherungsweise: \( x \approx 56 \) cm, \( y = 100 - x \approx 44 \) cm.

Schritt 3: Minimum überprüfen

\( A(0) \approx 795 \), \( A(100) = 625 \), \( A(56) \approx 350 \).

Endergebnis

• Verwenden Sie ungefähr 56 cm für das Quadrat.
• Verwenden Sie ungefähr 44 cm für den Kreis.

Es soll eine Kiste mit quadratischen Enden der Seitenlänge \( x \) und einer Länge \( L \) hergestellt werden, sodass \( L + 4x = 4 \) Meter gilt. Finden Sie die Abmessungen der Kiste, die ihr Volumen maximieren.

Lösung

Volumen: \( V = x^2 L \)
Nebenbedingung: \( L + 4x = 4 \implies L = 4 - 4x \)
Einsetzen: \( V(x) = x^2(4 - 4x) \) mit Definitionsbereich \( [0, 1] \).
Ableitung: \( V'(x) = 8x - 12x^2 \)
Kritische Punkte: \( 8x - 12x^2 = 0 \implies x(8 - 12x) = 0 \implies x = 0 \) oder \( x = \dfrac{2}{3} \).
Auswertung: \( V(0) = 0 \), \( V\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{16}{27} \), \( V(1) = 0 \).

Maximal bei \( x = \dfrac{2}{3} \) Metern.
\( L = 4 - 4 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \) Meter.

Endergebnis: Quadratische Enden der Seitenlänge \( \dfrac{2}{3} \) Meter und Länge \( \dfrac{4}{3} \) Meter, was ein maximales Volumen von \( \dfrac{16}{27} \text{ m}^3 \) ergibt.

Die Gesamtkosten für die Herstellung eines elektronischen Taschenrechners betragen 21 $. Wenn die Maschine zu einem Preis von \( x \) Dollar pro Stück verkauft wird, wird die Anzahl \( n \) der verkauften Maschinen durch \( n(x) = \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \) angegeben.

Lösung

Gewinnfunktion: \( P(x) = n(x - 21) = \left( \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \right)(x - 21) \)
Vereinfachen: \( P(x) = -10x^2 + 710x - 10300 \) für den Definitionsbereich \( x \in (21, \infty) \).
Ableitung: \( P'(x) = -20x + 710 \)
Gleich null setzen: \( -20x + 710 = 0 \implies x = 35.5 \).
Zweite Ableitung: \( P''(x) = -20 < 0 \) (nach unten gekrümmt, Maximum).

Endergebnis

Der Verkaufspreis, der den Gewinn maximiert, beträgt \( \boxed{x = 35.5 \text{ Dollar}} \).

Finden Sie die Abmessungen des Rechtecks mit der größten Fläche, das unterhalb von \( y = \dfrac{1}{x^2 + 1} \) und oberhalb der x-Achse eingeschrieben ist.

Lösung

Sei \( x \) die halbe Basislänge. Fläche: \( A(x) = 2x \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \).

Ableitung: \( A'(x) = \dfrac{2(1 - x^2)}{(x^2+1)^2} \)
Gleich null setzen: \( 1 - x^2 = 0 \implies x = 1 \).
Der Test auf die zweite Ableitung bestätigt das Maximum bei \( x = 1 \).

Endergebnis

Länge = \( 2(1) = 2 \), Breite = \( \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2} \). Die Abmessungen betragen 2 Einheiten mal 0,5 Einheiten.

Finden Sie die Abmessungen des Rechtecks mit der größten Fläche, das in ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe 4 und der Hypotenuse 5 eingeschrieben ist.

Lösung

Basis des Dreiecks: \( BC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \).

Über ähnliche Dreiecke: \( \dfrac{4 - h}{w} = \dfrac{4}{3} \implies h = -\dfrac{4}{3} w + 4 \).
Fläche: \( A(w) = w\left(-\dfrac{4}{3} w + 4\right) = -\dfrac{4}{3} w^2 + 4w \).
Ableitung: \( A'(w) = -\dfrac{8}{3} w + 4 = 0 \implies w = \dfrac{3}{2} = 1.5 \).
Höhe: \( h = -\dfrac{4}{3}(\dfrac{3}{2}) + 4 = 2 \).

Endergebnis

Abmessungen: \( w = 1.5 \), \( h = 2 \).

Zeigen Sie analytisch, dass \( f(x) = -5 - 4 \cos(x) + \cos(2x) \) für \( 0 \leq x \leq 2\pi \) niemals positiv ist.

Lösung

Ableitung: \( f'(x) = 4 \sin(x) - 2 \sin(2x) = 4 \sin(x) (1 - \cos(x)) \).
Kritische Punkte in \( [0, 2\pi] \): \( x = 0, \pi, 2\pi \).
Auswertung: \( f(0) = -8 \), \( f(2\pi) = -8 \), \( f(\pi) = 0 \).

Fazit

Da der Maximalwert von \( f(x) \) auf \( [0, 2\pi] \) gleich \( 0 \) ist, ist die Funktion niemals positiv.

Finden Sie den Radius \( r \) und die Höhe \( h \) eines Kegels mit der Mantellinie 5 cm, der sein Volumen maximiert.

Lösung

Volumen: \( V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \)
Nebenbedingung: \( h^2 + r^2 = 25 \implies h = \sqrt{25 - r^2} \)
Volumenfunktion: \( V(r) = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{25 - r^2} \)
Ableitung: \( V'(r) = \dfrac{\pi}{3} \dfrac{50r - 3r^3}{\sqrt{25 - r^2}} \)
Kritischer Punkt: \( 50r - 3r^3 = 0 \implies r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4.08 \).
Höhe: \( h = \sqrt{25 - \dfrac{50}{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \approx 2.88 \).

Finden Sie den Punkt auf der Geraden \( y = 4 - x \), der dem Punkt \( (6, 3) \) am nächsten liegt.

Lösung

Punkt auf der Geraden: \( M = (x, 4 - x) \).
Abstandsquadrat: \( D^2 = (x - 6)^2 + (1 - x)^2 = 2x^2 - 14x + 37 \).
Ableitung: \( 4x - 14 = 0 \implies x = \dfrac{7}{2} \).
\( y = 4 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2} \).

Endergebnis: \( \boxed{\left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{1}{2} \right)} \).

Finden Sie Entfernungen im Meer und entlang der Küste, die die Gesamtkosten der Pipeline minimieren, wenn die Kosten im Meer \( 3k \) und an der Küste \( k \) betragen.

Lösung

Sei \( x \) die Entfernung entlang der Küste von \( B \) nach \( D \). Küstenlänge \( CD = 40 - x \), Meereslänge \( y = \sqrt{30^2 + (40-x)^2} \).
Gesamtkosten: \( C_t(x) = kx + 3ky = kx + 3k\sqrt{900 + (40-x)^2} \).
Ableitung und Lösen des kritischen Punkts ergibt \( x \approx 29.40 \) km und Meeresentfernung \( y \approx 31.81 \) km.

Zeigen Sie, dass für \( x + y = K \) gilt: \( x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \).

Lösung

Produktfunktion: \( P(x) = x(K - x) = -x^2 + Kx \).
Ableitung: \( P'(x) = -2x + K = 0 \implies x = \dfrac{K}{2} \).
Die zweite Ableitung \( P''(x) = -2 < 0 \) bestätigt das Maximum bei \( x = \dfrac{K}{2}, y = \dfrac{K}{2} \).
Maximales Produkt: \( \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \).