Diese Seite enthält eine Sammlung von Textaufgaben zur Optimierung in der Analysis 1 mit realen Anwendungen und vollständigen Schritt-für-Schritt-Lösungen. Die Themen umfassen maximale Fläche, Mindestabstand, Gewinnmaximierung, Boxvolumen, Rechtecke unter Kurven und Kegeloptimierung mittels Ableitungen.
Finden Sie zwei positive Zahlen, deren Produkt gleich 10 ist und deren Summe so klein wie möglich ist. Überprüfen Sie Ihre Antwort grafisch.
Sei \( x \) die erste Zahl und \( y \) die zweite Zahl, wobei \( x > 0 \) und \( y > 0 \). Sei \( S \) die zu minimierende Summe.
Aus der Bedingung lösen wir nach \( y \) auf:
\( y = \dfrac{10}{x} \)
Einsetzen in die Summenfunktion ergibt eine Funktion in einer Variablen:
\[
S(x) = x + \dfrac{10}{x} = \dfrac{x^2 + 10}{x}
\quad \text{mit Definitionsbereich} \quad x > 0
\]
Optimierungsfunktion in einer Variablen
Bilden der ersten Ableitung von \( S(x) \): \[ S'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(x + \dfrac{10}{x}\right) = 1 - \dfrac{10}{x^2} \]
Setzen Sie die Ableitung gleich Null, um kritische Punkte zu finden: \[ 1 - \dfrac{10}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{10} \]
Wir verwerfen \( x = -\sqrt{10} \), da \( x \) positiv sein muss. Also ist \( x = \sqrt{10} \) ein kritischer Punkt.
Überprüfung der zweiten Ableitung zur Bestimmung der Krümmung: \[ S''(x) = \dfrac{20}{x^3} \] Da \( x > 0 \), ist \( S''(x) > 0 \), also ist der Graph linksgekrümmt. Daher ist \( x = \sqrt{10} \) ein Minimum.
Die beiden Zahlen sind: \[ x = \sqrt{10} \approx 3,16, \quad y = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \approx 3,16 \]
Der Graph von \( S(x) = x + \dfrac{10}{x} \) zeigt einen Minimalwert bei \( x \approx 3,16 \), was das Ergebnis bestätigt.
Finden Sie zwei positive Zahlen so, dass die Summe aus dem Sechsfachen der ersten und dem Zweifachen der zweiten gleich 150 ist und ihr Produkt so groß wie möglich ist.
Sei \( x \) die erste Zahl und \( y \) die zweite Zahl. Sei \( P \) das zu maximierende Produkt.
Die Zielfunktion ist:
\[ P = x \cdot y \]
Die Nebenbedingung ist:
\[ 6x + 2y = 150 \]
Lösen der Nebenbedingung nach \( y \):
\[ y = 75 - 3x \]
Einsetzen in die Produktfunktion:
\[ P(x) = x(75 - 3x) = 75x - 3x^2 \]
Berechnung der ersten Ableitung:
\[ P'(x) = 75 - 6x \]
Setzen der Ableitung gleich Null, um kritische Punkte zu finden:
\[ 75 - 6x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{75}{6} = \dfrac{25}{2} \]
Berechnung der zweiten Ableitung zur Bestimmung der Krümmung:
\[ P''(x) = -6 \]
Da \( P''(x) < 0 \), ist die Funktion rechtsgekrümmt, was bestätigt, dass \( x = \dfrac{25}{2} \) ein Maximum liefert.
Nun finden wir \( y \):
\[ y = 75 - 3x = 75 - 3 \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{75}{2} \]
Schlussfolgerung: Die beiden positiven Zahlen, die das Produkt unter der Nebenbedingung maximieren, sind:
Angenommen, Sie müssen zwei rechteckige Felder mit denselben Abmessungen einzäunen, die eine gemeinsame Seite haben, und zwar mit 180 Metern Zaun. Finden Sie die Abmessungen der Rechtecke, so dass die gesamte eingezäunte Fläche maximal ist.
Sei \( L \) die Länge und \( W \) die Breite jedes Rechtecks. Die Breite ist die gemeinsame Seite.
Gesamtfläche: \( A = 2LW \)
Zaunbedingung: \( 4L + 3W = 180 \).
Lösen nach \( W \): \( W = 60 - \dfrac{4}{3}L \).
Fläche als Funktion von \( L \):
\[ A(L) = 2L \left(60 - \dfrac{4}{3}L \right) = -\dfrac{8}{3}L^2 + 120L \]
Aus dem Graphen von \( 4L + 3W = 180 \) ergibt sich der Definitionsbereich \( L \in [0, 45] \).
Ableitung: \( A'(L) = -\dfrac{16}{3}L + 120 \).
Lösen von \( A'(L) = 0 \Rightarrow L = 22,5 \).
Auswerten:
Ein Draht der Länge 100 cm wird in zwei Stücke geschnitten. Ein Stück wird zu einem Quadrat gebogen, das andere zu einem Kreis. Finden Sie die Längen der beiden Stücke, so dass die Summe der Flächen von Quadrat und Kreis minimiert wird.
Sei:
Da der gesamte Draht 100 cm lang ist, gilt: \[ x + y = 100 \]
Sei \( A \) die gesamte eingeschlossene Fläche.
Für das Quadrat: \[ x = 4s \Rightarrow s = \dfrac{x}{4} \] \[ A_{\text{Quadrat}} = s^2 = \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 = \dfrac{x^2}{16} \]
Für den Kreis: \[ y = 2\pi r \Rightarrow r = \dfrac{y}{2\pi} \] \[ A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = \pi \left( \dfrac{y}{2\pi} \right)^2 = \dfrac{y^2}{4\pi} \]
Gesamtfläche: \[ A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{4\pi} \]
Bilden der Ableitung: \[ A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \]
Setzen der Ableitung gleich 0: \[ \dfrac{x}{8} = \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \] Multiplizieren beider Seiten mit \( 8 \cdot 2\pi \): \[ 2\pi x = 8(100 - x) \] \[ 2\pi x + 8x = 800 \Rightarrow x(2\pi + 8) = 800 \Rightarrow x = \dfrac{800}{2\pi + 8} = \dfrac{400}{\pi + 4} \]
Näherungswerte: \[ x \approx \dfrac{400}{7,14} \approx 56 \text{ cm} \] \[ y = 100 - x \approx 44 \text{ cm} \]
Berechnen der Fläche an den Endpunkten und am kritischen Punkt: \[ A(0) = \dfrac{0^2}{16} + \dfrac{100^2}{4\pi} \approx 795 \] \[ A(100) = \dfrac{100^2}{16} + \dfrac{0^2}{4\pi} = 625 \] \[ A(56) \approx \dfrac{56^2}{16} + \dfrac{(44)^2}{4\pi} \approx 350 \]
Eine Box mit quadratischen Enden der Seitenlänge \( x \) und einer Länge \( L \) soll so gebaut werden, dass \( L + 4x = 4 \) Meter beträgt. Finden Sie die Abmessungen der Box, die ihr Volumen maximieren.
Die Fläche eines quadratischen Endes ist \( x^2 \).
Das Volumen \( V \) der Box ist:
\[ V = x^2 L \]
Aus der Bedingung \( L + 4x = 4 \) lösen wir nach \( L \) auf:
\[ L = 4 - 4x \]
Einsetzen in den Ausdruck für das Volumen:
\[ V(x) = x^2(4 - 4x) \]
Zur Bestimmung des Definitionsbereichs von \( V(x) \):
Der kleinste Wert von \( x \) ist \( 0 \). Der größte Wert tritt auf, wenn \( L = 0 \), was \( x = 1 \) ergibt.
Der Definitionsbereich ist also \( x \in [0, 1] \).
Ableiten von \( V(x) \):
\[ V'(x) = 8x - 12x^2 \]
Finden der kritischen Punkte durch Lösen von:
\[ 8x - 12x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x(8 - 12x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ oder } x = \dfrac{2}{3} \]
Berechnen des Volumens an den Endpunkten und am kritischen Punkt:
Das Volumen wird bei \( x = \dfrac{2}{3} \) Metern maximiert.
Nun setzen wir \( x = \dfrac{2}{3} \) in die Bedingung ein, um \( L \) zu finden:
\[ L = 4 - 4 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \text{ Meter} \]
Endgültige Antwort:
Die Box hat quadratische Enden mit einer Seitenlänge von \( \dfrac{2}{3} \) Metern und eine Länge von \( \dfrac{4}{3} \) Metern, was das maximale Volumen von \( \dfrac{16}{27} \text{ m}^3 \) ergibt.
Die Gesamtkosten, einschließlich Herstellung, Verpackung und Vertrieb, eines elektronischen Taschenrechners betragen 21 $. Wenn das Gerät zu einem Preis von \( x \) Dollar pro Stück verkauft wird, ist die Anzahl \( n \) der verkauften Geräte gegeben durch:
\[ n(x) = \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \]
Sei \( R_t \) der Gesamterlös aus dem Verkauf von \( n \) Taschenrechnern: \[ R_t = n \cdot x \]
Sei \( C_t \) die Gesamtkosten für Herstellung, Verpackung und Vertrieb: \[ C_t = 21 \cdot n \]
Dann ist die Gewinnfunktion: \[ P(x) = R_t - C_t = n(x - 21) \]
Einsetzen des Ausdrucks für \( n \): \[ P(x) = \left( \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \right)(x - 21) \]
Vereinfachen: \[ P(x) = 200 + 10(50 - x)(x - 21) \] \[ P(x) = -10x^2 + 710x - 10300 \]
Definitionsbereich der Gewinnfunktion:
Da der Verkaufspreis größer sein muss als der Selbstkostenpreis, nehmen wir
\[
x > 21
\]
und es gibt keine strenge Obergrenze, also ist der Definitionsbereich
\[
x \in (21, \infty)
\]
Ableiten von \( P(x) \) nach \( x \): \[ P'(x) = -20x + 710 \]
Setzen der Ableitung gleich Null: \[ -20x + 710 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 35,5 \]
Bilden der zweiten Ableitung: \[ P''(x) = -20 \] Da \( P''(x) \lt 0 \), ist der Graph rechtsgekrümmt, was bestätigt, dass der Gewinn ein Maximum hat bei: \[ x = 35,5 \]
Der Verkaufspreis, der den Gewinn maximiert, ist: \[ \boxed{x = 35,5 \text{ Dollar}} \]
Wir wollen die Abmessungen des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt finden, das unter die Kurve \[ y = \dfrac{1}{x^2 + 1} \] und oberhalb der x-Achse gezeichnet werden kann.
Sei \(x\) die halbe Basislänge des Rechtecks. Der obere rechte Eckpunkt des Rechtecks liegt auf der Kurve, daher ist seine y-Koordinate \[ y = \dfrac{1}{x^2 + 1}. \]
Die Fläche des Rechtecks ist daher: \[ A(x) = 2x \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1}. \]
Der Definitionsbereich von \(A(x)\) ist: \[ x \in [0, \infty). \]
Ableiten von \(A(x)\): \[ A'(x) = \dfrac{2(x^2 + 1) - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2(1 - x^2)}{(x^2+1)^2}. \]
Setzen der Ableitung gleich Null: \[ 1 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1. \] Da \(x \geq 0\), nehmen wir \(x = 1\).
Berechnung der zweiten Ableitung: \[ A''(x) = -\dfrac{4x(-x^2+3)}{(x^2+1)^3}. \] An der Stelle \(x = 1\): \[ A''(1) = -1 \lt 0, \] also ist die Funktion rechtsgekrümmt, was ein Maximum bestätigt.
Das Rechteck mit der größten Fläche hat die Abmessungen: \[ \text{Länge} = 2x = 2(1) = 2, \quad \text{Breite} = \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2}. \]
Das Rechteck mit der maximalen Fläche misst also 2 Einheiten mal 0,5 Einheiten.
Finden Sie die Abmessungen des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt, das in ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe 4 und der Hypotenuse 5 eingeschrieben werden kann.
Eine Skizze ist hilfreich, um das Problem zu veranschaulichen.
Das Rechteck habe die Breite \( w \) und die Höhe \( h \). Seine Fläche ist \[ A = h \cdot w. \]
Mit dem Satz des Pythagoras ist die Basis \( BC \) des rechtwinkligen Dreiecks \[ BC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3. \]
Die Dreiecke \( AEF \) und \( ABC \) sind ähnlich, daher gilt für die Verhältnisse der entsprechenden Seiten \[ \dfrac{AE}{EF} = \dfrac{AB}{BC}. \] Hierbei ist \[ AE = 4 - h, \quad EF = w, \quad AB = 4, \quad BC = 3. \] Einsetzen ergibt \[ \dfrac{4 - h}{w} = \dfrac{4}{3} \implies h = -\dfrac{4}{3} w + 4. \]
Einsetzen von \( h \) in die Flächenformel: \[ A(w) = \left(-\dfrac{4}{3} w + 4\right) w = -\dfrac{4}{3} w^2 + 4w. \]
Der Definitionsbereich von \( A \) ist \[ w \in [0, 3]. \]
Berechnen der ersten Ableitung von \( A \): \[ A'(w) = -\dfrac{8}{3} w + 4. \]
Setzen der Ableitung auf Null, um kritische Punkte zu finden: \[ -\dfrac{8}{3} w + 4 = 0 \implies w = \dfrac{3}{2} = 1,5. \]
Berechnen der Fläche am kritischen Punkt und an den Endpunkten: \[ A\left(\dfrac{3}{2}\right) = 3, \quad A(0) = 0, \quad A(3) = 0. \]
Das Rechteck mit der größten Fläche hat die Abmessungen: \[ w = \dfrac{3}{2} = 1,5, \quad h = -\dfrac{4}{3} \times \dfrac{3}{2} + 4 = 2. \]
Zeigen Sie analytisch, dass die Funktion \[ f(x) = -5 - 4 \cos(x) + \cos(2x), \quad \text{für} \quad 0 \leq x \leq 2\pi, \] niemals positiv ist.
Um zu beweisen, dass \( f(x) \) niemals positiv ist, zeigen wir, dass sein Maximalwert auf \( [0, 2\pi] \) kleiner oder gleich Null ist.
Berechnen der ersten Ableitung: \[ f'(x) = 4 \sin(x) - 2 \sin(2x). \] Mit der Identität \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) umformen: \[ f'(x) = 4 \sin(x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 4 \sin(x) (1 - \cos(x)). \]
Setzen der Ableitung gleich Null, um kritische Punkte zu finden: \[ 4 \sin(x) (1 - \cos(x)) = 0. \] Dies impliziert \[ \sin(x) = 0 \quad \text{oder} \quad \cos(x) = 1. \]
Lösungen innerhalb \( [0, 2\pi] \) sind: \[ \sin(x) = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi, \] \[ \cos(x) = 1 \implies x = 0, 2\pi. \]
Berechnen von \( f(x) \) an diesen Punkten: \[ f(0) = -5 - 4 \cos(0) + \cos(0) = -5 - 4(1) + 1 = -8, \] \[ f(2\pi) = -5 - 4 \cos(2\pi) + \cos(4\pi) = -5 - 4(1) + 1 = -8, \] \[ f(\pi) = -5 - 4 \cos(\pi) + \cos(2\pi) = -5 - 4(-1) + 1 = 0. \]
Da der Maximalwert von \( f(x) \) auf \( [0, 2\pi] \) gleich \( 0 \) ist, ist die Funktion \( f(x) \) auf dem Intervall niemals positiv.
Finden Sie den Radius \( r \) der Basis eines Kegels und seine Höhe \( h \) so, dass die Mantellinie \( 5 \) cm beträgt und das Volumen maximal ist.
Das Volumen eines Kegels mit Radius \( r \) und Höhe \( h \) ist
\[
V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h.
\]
Mit dem Satz des Pythagoras für die Mantellinie gilt
\[
h^2 + r^2 = 5^2 = 25,
\]
also
\[
h = \sqrt{25 - r^2}.
\]
Einsetzen von \( h \) in die Volumenformel:
\[
V(r) = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{25 - r^2}.
\]
Der Definitionsbereich ist
\[
r \in [0, 5].
\]
Berechnen der ersten Ableitung \( V'(r) \): \[ V'(r) = \dfrac{\pi}{3} \left( 2r \sqrt{25 - r^2} + r^2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (-2r) (25 - r^2)^{-1/2} \right) = \dfrac{\pi}{3} \dfrac{50r - 3r^3}{\sqrt{25 - r^2}}. \] Setzen des Zählers gleich Null, um kritische Punkte zu finden: \[ 50 r - 3 r^3 = 0 \implies r (50 - 3 r^2) = 0. \] Kritische Punkte sind \[ r = 0, \quad r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4,08, \quad r = -\sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx -4,08. \] \( r = -4,08 \) wird ausgeschlossen, da es nicht im Definitionsbereich liegt.
Beachten Sie, dass \( r = 5 \) den Nenner Null werden lässt, also ist \( V'(r) \) dort nicht definiert, aber \( r = 5 \) wird dennoch als Randpunkt betrachtet.
Berechnen von \( V \) an den kritischen Punkten und Randpunkten: \[ V\left(\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) = \dfrac{1}{3} \pi \left(\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right)^2 \sqrt{25 - \left(\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right)^2} \approx 50,38, \] \[ V(0) = 0, \quad V(5) = 0. \] Daher wird das Volumen maximiert bei \[ r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4,08. \] Berechnen der zugehörigen Höhe: \[ h = \sqrt{25 - r^2} = \sqrt{25 - \dfrac{50}{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \approx 2,88. \]
Finden Sie den Punkt auf der Geraden \[ y = 4 - x \] der dem Punkt \( (6, 3) \) am nächsten liegt.
Jeder Punkt \( M \) auf der Geraden kann geschrieben werden als \[ M = (x, 4 - x). \] Der Abstand \( D \) zwischen \( M \) und dem Punkt \( (6, 3) \) ist \[ D = \sqrt{(x - 6)^2 + (4 - x - 3)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (1 - x)^2}. \] Der Definitionsbereich von \( D \) ist \[ x \in (-\infty, \infty). \] Wir suchen das \( x \), das \( D \) minimiert.
Berechnen der ersten Ableitung von \( D \): \[ D' = \dfrac{1}{2} \dfrac{4x - 14}{\sqrt{2x^2 - 14x + 37}}. \] Setzen des Zählers gleich Null, um kritische Punkte zu finden: \[ 4x - 14 = 0 \implies x = \dfrac{7}{2}. \] Da der Nenner immer positiv ist, hängt das Vorzeichen von \( D' \) vom Zähler ab: - Für \( x < \dfrac{7}{2} \), \( D' < 0 \) (Abstand nimmt ab), - Für \( x > \dfrac{7}{2} \), \( D' > 0 \) (Abstand nimmt zu). Daher hat \( D \) ein Minimum bei \[ x = \dfrac{7}{2}. \] Finden der zugehörigen \( y \)-Koordinate: \[ y = 4 - x = 4 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2}. \] Der Punkt auf der Geraden, der \( (6, 3) \) am nächsten liegt, ist also \[ \boxed{\left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{1}{2} \right)}. \]
Ein Unternehmen plant den Bau einer Pipeline von Punkt \( A \) offshore (im Meer) zu Punkt \( B \) an der Küste. Die Kosten für den Bau der Pipeline entlang der Küste betragen \( k \) Dollar pro Kilometer, und die Kosten offshore betragen \( 3k \) Dollar pro Kilometer, wobei \( k \) eine Konstante ist. Finden Sie die Entfernungen der Pipeline offshore von \( A \) nach \( D \) und entlang der Küste von \( D \) nach \( B \), die die Gesamtkosten der Pipeline minimieren.
Sei \( x \) die Entfernung von \( D \) nach \( B \) entlang der Küste und \( y \) die Offshore-Entfernung von \( A \) nach \( D \). Mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck \( ACB \) finden wir die Länge \( CB \): \[ CB = \sqrt{50^2 - 30^2} = 40 \text{ km}. \] Die Länge \( CD \) entlang der Küste ist \[ CD = CB - x = 40 - x. \] Mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck \( ACD \): \[ y = \sqrt{30^2 + (40 - x)^2}. \] Die Gesamtkosten \( C_t \) der Pipeline sind \[ C_t(x) = k x + 3 k y = k x + 3 k \sqrt{30^2 + (40 - x)^2}. \] Der Definitionsbereich für \( x \) ist \[ x \in [0, 40]. \]
Berechnen der Ableitung von \( C_t \): \[ C_t'(x) = k - 3k \cdot \dfrac{40 - x}{\sqrt{30^2 + (40 - x)^2}} = k \cdot \dfrac{\sqrt{30^2 + (40 - x)^2} - 3(40 - x)}{\sqrt{30^2 + (40 - x)^2}}. \] Setzen des Zählers gleich Null, um kritische Punkte zu finden: \[ \sqrt{30^2 + (40 - x)^2} = 3(40 - x). \] Quadrieren beider Seiten: \[ 30^2 + (40 - x)^2 = 9(40 - x)^2. \] Vereinfachen: \[ 30^2 + (40 - x)^2 = 9(40 - x)^2 \implies 30^2 = 8(40 - x)^2. \] Umstellen ergibt die quadratische Gleichung \[ -8x^2 + 640x - 11900 = 0. \] Beim Lösen der quadratischen Gleichung ist die gültige Lösung im Definitionsbereich \[ x = \dfrac{80 - 15 \sqrt{2}}{2} \approx 29,40 \text{ km}. \] Berechnen der Gesamtkosten an den Endpunkten und am kritischen Punkt: \[ C_t(0) = 150 k, \quad C_t(40) = 130 k, \quad C_t(29,40) \approx 124,85 k. \] Somit treten die minimalen Kosten bei \( x \approx 29,40 \) km auf. Finden der Offshore-Entfernung \( y \): \[ y = \sqrt{30^2 + (40 - 29,40)^2} \approx 31,81 \text{ km}. \]
Zeigen Sie, dass wenn \( x + y = K \), wobei \( K \) eine Konstante ist, dann gilt \[ x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2. \] Hierbei sind \( x \), \( y \) und \( K \) reelle Zahlen.
Wir wollen zeigen, dass das Produkt \( x \cdot y \) einen Maximalwert hat, der kleiner oder gleich \( \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \) ist. Drücken Sie \( y \) durch \( x \) aus: \[ y = K - x. \] Definieren Sie die Produktfunktion: \[ P(x) = x \cdot y = x(K - x) = -x^2 + Kx. \] Der Definitionsbereich von \( P \) ist \[ x \in (-\infty, \infty). \] Berechnen Sie die erste Ableitung von \( P \) (mit \( K \) konstant): \[ P'(x) = -2x + K. \] Finden Sie die kritischen Punkte durch Lösen von \( P'(x) = 0 \): \[ -2x + K = 0 \implies x = \dfrac{K}{2}. \] Berechnen Sie die zweite Ableitung: \[ P''(x) = -2. \] Da \( P''(x) \lt 0 \), ist \( P \) rechtsgekrümmt und hat daher ein Maximum bei \( x = \dfrac{K}{2} \). Finden Sie das zugehörige \( y \): \[ y = K - x = K - \dfrac{K}{2} = \dfrac{K}{2}. \] Berechnen Sie das maximale Produkt: \[ P\left(\dfrac{K}{2}\right) = \dfrac{K}{2} \cdot \dfrac{K}{2} = \left(\dfrac{K}{2}\right)^2. \] Daher gilt \[ x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2. \]