Sätze im Zusammenhang mit der Stetigkeit von Funktionen und deren Anwendungen in der Analysis werden vorgestellt und anhand von Beispielen diskutiert.
Satz 1
Alle Polynomfunktionen sowie die Funktionen \( \sin x \), \( \cos x \), \( \arctan x \) und \( e^x \) sind auf dem Intervall \( (-\infty, +\infty) \) stetig.
Beispiel: Grenzwerte mithilfe der Stetigkeit auswerten
Werten Sie die folgenden Grenzwerte aus:
- \( \lim_{x\to 0} \sin (x) \)
- \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
- \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) \)
Lösung:
Wenn die Funktion \( f \) an der Stelle \( x = a \) stetig ist, gilt \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \).
- Da \( \sin(x) \) stetig ist: \( \lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0 \)
- Da \( \cos(x) \) stetig ist: \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = -1 \)
- Da \( \arctan(x) \) stetig ist: \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)
Satz 2
Wenn die Funktionen \( f \) und \( g \) an der Stelle \( x = a \) stetig sind, dann gilt:
- A. \( (f + g) \) ist stetig bei \( x = a \).
- B. \( (f - g) \) ist stetig bei \( x = a \).
- C. \( (f \cdot g) \) ist stetig bei \( x = a \).
- D. \( (f / g) \) ist stetig bei \( x = a \), sofern \( g(a) \neq 0 \) ist. (Wenn \( g(a) = 0 \), dann ist \( (f / g) \) bei \( x = a \) unstetig).
Beispiel: Stetigkeit algebraischer Kombinationen
Seien \( f(x) = \sin x \) und \( g(x) = \cos x \). Auf welchen Intervallen sind die Funktionen \( (f + g) \), \( (f - g) \), \( (f \cdot g) \) und \( (f / g) \) stetig?
Lösung:
Da sowohl \( \sin x \) als auch \( \cos x \) überall stetig sind, sind nach Satz 2 die Funktionen \( (f + g) \), \( (f - g) \) und \( (f \cdot g) \) überall stetig.
Jedoch ist \( (f / g) \) überall stetig, außer an den x-Werten, die den Nenner \( g(x) = 0 \) machen. Diese Werte werden durch Lösen der folgenden Gleichung ermittelt:
\[ \cos x = 0 \]Die Werte, für die \( \cos x = 0 \) gilt, sind:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{wobei } k \text{ eine beliebige ganze Zahl ist.} \]Folglich ist \( (f / g) \) überall stetig, außer bei \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).
Satz 3
Eine rationale Funktion ist überall stetig, außer an den x-Werten, die den Nenner der Funktion zu Null machen.
Beispiel: Unstetigkeitsstellen finden
Finden Sie die x-Werte, an denen die Funktion \( f \) unstetig ist:
\[ f(x) = \frac{x - 2}{(2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5)} \]Lösung:
Der Nenner von \( f \) ist das Produkt zweier Terme:
\[ (2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5) \]Der Term \( x^4 + 5 \) ist stets positiv und daher niemals gleich Null. Wir finden nun die Nullstellen von \( 2x^2 + 2x - 4 \) durch Lösen von:
\[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]Division durch 2 ergibt \( x^2 + x - 2 = 0 \), was sich in \( (x - 1)(x + 2) = 0 \) faktorisieren lässt.
Die Lösungen sind \( x = 1 \) und \( x = -2 \).
Daher ist die Funktion \( f \) bei \( x = 1 \) und \( x = -2 \) unstetig.
Satz 4
Wenn \( \lim_{x\to a} g(x) = L \) und wenn \( f \) eine an der Stelle \( x = L \) stetige Funktion ist, dann gilt:
\[ \lim_{x\to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to a} g(x)\right) = f(L) \]Beispiel: Auswerten von Grenzwerten zusammengesetzter Funktionen
Werten Sie den Grenzwert aus:
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) \]Lösung:
\( \sin x \) ist überall stetig und \( 2x + 5 \) ist ein Polynom (überall stetig). Daher gilt:
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) = \sin\left(\lim_{x\to a}(2x + 5)\right) = \sin(2a + 5) \]Satz 5
Wenn \( g \) eine an der Stelle \( x = a \) stetige Funktion ist und die Funktion \( f \) an der Stelle \( g(a) \) stetig ist, dann ist die zusammengesetzte Funktion \( f \circ g \) an der Stelle \( x = a \) stetig.
Beispiel: Nachweisen der Stetigkeit von Exponentialzusammensetzungen
Zeigen Sie, dass jede Funktion der Form \( e^{ax + b} \) überall stetig ist, wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind.
Lösung:
Die Exponentialfunktion \( f(x) = e^x \) und die lineare Funktion \( g(x) = ax + b \) sind überall stetig. Folglich ist auch ihre Komposition \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) überall stetig.