Stetigkeitssätze und ihre Anwendungen in der Analysis
Theoreme zur Stetigkeit von Funktionen und deren Anwendungen in der Analysis werden mit Beispielen vorgestellt und diskutiert.
Satz 1
Alle Polynomfunktionen sowie die Funktionen sin x, cos x, arctan x und e x sind auf dem Intervall \( (-\infty , +\infty) \) stetig.
Beispiel:Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
\(\lim_{x\to 0} \sin (x) \)
\( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
\( \lim_{x\to\ -1} \arctan(x) \)
Lösungen
Wenn die Funktion \( f \) an der Stelle \( x = a \) stetig ist, dann gilt
\(
\lim_{x\to a} f(x) = f(a)
\)
Da \( \sin(x) \) stetig ist
\(
\lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0
\)
Da \( \cos(x) \) stetig ist
\(
\lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = - 1
\)
Da \( \arctan(x) \) stetig ist
\(
\lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = - \pi / 4
\)
Satz 2
Wenn die Funktionen \( f \) und \( g \) an der Stelle \( x = a \) stetig sind, dann gilt
A. \( (f + g) \) ist stetig an der Stelle \( x = a \),
B. \( (f - g) \) ist stetig an der Stelle \( x = a \),
C. \( (f . g) \) ist stetig an der Stelle \( x = a \),
D. \((f / g) \) ist stetig an der Stelle \( x = a \), wenn \( g(a) \) ungleich Null ist.
Wenn \( g(a) = 0 \), dann ist \( (f / g) \) an der Stelle \( x = a \) unstetig.
Beispiel:Seien \( f(x) = \sin x \) und \( g(x) = \cos x \). Auf welchen Intervallen sind die folgenden Funktionen \( (f + g), (f - g), (f . g) \) und \( (f / g) \) stetig?
Lösungen:
Da sowohl \( \sin x \) als auch \( \cos x \) überall stetig sind, sind nach Satz 2 oben \( (f + g), (f - g), (f . g) \) überall stetig.
Jedoch ist \( (f / g) \) überall stetig, außer an den Werten von x, für die der Nenner g(x) gleich Null wird. Diese Werte werden durch Lösen der trigonometrischen Gleichung gefunden:
\( cos x = 0 \)
Die Werte, für die \( \cos x = 0 \) gilt, sind gegeben durch:
\( x = \pi/2 + k \pi \) , wobei \( k \) eine beliebige ganze Zahl ist.
\( (f / g) \) ist überall stetig, außer an den Stellen \( x = \pi/2 + k \pi \) , \( k \) ist eine beliebige ganze Zahl.
Satz 3
Eine rationale Funktion ist überall stetig, außer an den Werten von \( x \), die den Nenner der Funktion gleich Null machen.
Beispiel:Finden Sie die Werte von \( x \), an denen die Funktion \( f \) unstetig ist.
\[
f(x) = \dfrac{x-2}{(2 x^2 + 2 x - 4)(x^4 + 5)}
\]
Lösungen:
Der Nenner von f ist das Produkt zweier Terme und ist gegeben durch
\(
(2 x^2 + 2 x - 4)(x^4 + 5)
\)
Der Term \( x^4 + 5 \) ist immer positiv und daher niemals Null. Wir müssen nun die Nullstellen von \( 2 x^2 + 2 x - 4 \) finden, indem wir die Gleichung lösen:
\(
2 x^2 + 2 x - 4 = 0
\)
Die Lösungen sind: \( x = 1 \) und \( x = - 2 \)
Die Funktion \( f \) ist an den Stellen \( x = 1 \) und \( x = - 2 \) unstetig.
Satz 4
Wenn
\(
\color{red}{\lim_{x\to a} g(x) = L}
\)
und wenn \( f \) eine an der Stelle \( x = L \) stetige Funktion ist, dann gilt
\[
\color{red}{\lim_{x\to\ a} f(g(x)) = f(\lim_{x\to\ a} g(x)) = f(L)}
\]
Beispiel:Berechnen Sie den Grenzwert
\[
\lim_{x\to a} \sin(2x + 5)
\]
Lösung:
\( \sin x \) ist überall stetig und \( 2 x + 5 \) ist ein Polynom und ebenfalls überall stetig. Daher gilt
\[
\lim_{x\to\ a} \sin(2x + 5) = \sin\left(\lim_{x\to\ a}(2x+5) \right) = \sin(2a + 5)
\]
Satz 5
Wenn \( g \) eine an der Stelle \( x = a \) stetige Funktion ist und die Funktion \( f \) an der Stelle \( g(a) \) stetig ist, dann ist die verkettete Funktion \( f_o g \) an der Stelle \( x = a \) stetig.
Beispiel:Zeigen Sie, dass jede Funktion der Form \( e^{ax + b} \) überall stetig ist, wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind.
Die Exponentialfunktion \( f(x) = e^x \) und die polynomielle (lineare) Funktion \( g(x) = a x + b \) sind überall stetig. Daher ist auch die Verkettung \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) überall stetig.
Weitere Referenzen und Links
Fragen zur Stetigkeit mit Lösungen
Analysis Tutorials und Probleme