Stetige Funktionen in der Analysis
Wir präsentieren eine Einführung und die Definition des Konzepts der stetigen Funktionen in der Analysis mit Beispielen. Ebenfalls werden Stetigkeitssätze und ihre Anwendung in der Analysis diskutiert.
Einführung und Definition stetiger Funktionen
Wir beginnen mit Graphen verschiedener stetiger Funktionen. Die Funktionen, deren Graphen unten gezeigt werden, werden als stetig bezeichnet, da diese Graphen keine "Unterbrechungen", "Lücken" oder "Löcher" aufweisen.
Wir präsentieren nun Beispiele für unstetige Funktionen. Diese Graphen haben Unterbrechungen, Lücken oder Punkte, an denen sie nicht definiert sind.
In den folgenden Graphen ist die Funktion bei \( x = 2 \) nicht definiert. Der Graph hat eine Lücke bei \( x = 2 \), und die Funktion wird als unstetig bezeichnet.
In den folgenden Graphen sind die Grenzwerte der Funktion von links und von rechts nicht gleich, daher existiert der Grenzwert bei \( x = 3 \) nicht. Die Funktion wird als unstetig bezeichnet.
Der Grenzwert der Funktion bei \( x = 2 \) existiert, ist aber nicht gleich dem Funktionswert bei \( x = 2 \). Diese Funktion ist ebenfalls unstetig.
Der Grenzwert der Funktion bei \( x = 3 \) existiert nicht, da die Funktion links und rechts von 3 entweder unbegrenzt zunimmt oder abnimmt. Diese Funktion ist ebenfalls unstetig.
Unter Berücksichtigung aller Informationen, die aus den obigen Beispielen stetiger und unstetiger Funktionen gesammelt wurden, definieren wir eine stetige Funktion wie folgt:
Funktion \( f \) ist an einem Punkt \( a \) stetig, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
1. \(\lim_{x\to a} f(x)\) ist definiert
2. \(\lim_{x\to a} f(x)\) existiert
3. \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\)
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Zeigen Sie, dass die unten definierte Funktion bei \( x = - 2 \) nicht stetig ist.
\( f(x) = \dfrac{1}{x + 2} \)
Lösung zu Beispiel 1
\( f(-2) \) ist nicht definiert (Division durch 0 nicht erlaubt), daher ist die Funktion \( f \) bei \( x = - 2 \) unstetig.
Beispiel 2
Zeigen Sie, dass die Funktion \( f \) für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) stetig ist.
\( f(x) = \dfrac{1}{x^4 + 6} \)
Lösung zu Beispiel 2
Die Funktion \( f \) ist für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) definiert. Der Grenzwert von \( f \) an, sagen wir, \( x = a \) ist gegeben durch den Quotienten zweier Grenzwerte: der Konstanten 1 und dem Grenzwert von \( x^4 + 6 \), welcher eine Polynomfunktion ist und dessen Grenzwert \( a^4 + 6 \) ist. Daher
\(\lim_{x\to a} f(x) = \dfrac{1}{a^4+6}\)
\( f(a) = \dfrac{1}{a^4 + 6} \). Daher
\(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\)
Die drei Stetigkeitsbedingungen sind erfüllt, und daher ist \( f \) für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) stetig.
Beispiel 3
Zeigen Sie, dass die Funktion \( f \) für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) stetig ist.
\( f(x) = | x - 5 | \)
Lösung zu Beispiel 3
Lassen Sie uns zunächst \( f(x) \) wie folgt schreiben. Daher
\( f(x) = x - 5 \) wenn \( x > 5 \)
\( f(x) = -(x - 5) \) wenn \( x \lt 5 \)
\( f(x) = 0 \) wenn \( x = 5 \)
\( f(x) \) ist gegeben durch die Polynomfunktionen \( x - 5 \) und \(-(x - 5) \) für \( x > 5 \) bzw. \( x \lt 5 \) und daher ist \( f(x) \) für diese Werte von \( x \) stetig.
\( x = 5 \) ist der einzige zu betrachtende Wert von \( x \). Wir betrachten nun die Grenzwerte von \( f \), wenn sich \( x \) von links (\( x \lt 5 \)) \( 5 \) nähert, wo \( f(x) = -(x - 5) \).
\(\lim_{x\to 5^{-}} f(x) = \lim_{x\to 5^{-}} - (x - 5) = 0\)
Wir betrachten nun die Grenzwerte von \( f \), wenn sich \( x \) von rechts (\( x > 5 \)) \( 5 \) nähert, wo \( f(x) = (x - 5) \).
\(\lim_{x\to 5^{+}} f(x) = \lim_{x\to 5^{+}} (x - 5) = 0\)
Da die beiden Grenzwerte gleich sind, existiert der Grenzwert \( \lim_{x\to 5} f(x) \) und ist gleich 0. Daher ist \( \lim_{x\to 5} f(x) = 0 = f(5) \) und die Funktion \( f \) ist bei \( x = 5 \) stetig. Unter Berücksichtigung des oben Gesagten für \( x > 5 \) und \( \lt 5 \), ist \( f \) für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) stetig.
Weitere Referenzen und Links
Analysis Tutorials und Aufgaben