Wir präsentieren eine Einführung und die Definition des Konzepts stetiger Funktionen in der Analysis mit Beispielen. Außerdem werden Stetigkeitssätze und ihre Anwendung in der Analysis diskutiert.
Einführung und Definition stetiger Funktionen
Wir beginnen zunächst mit Graphen verschiedener stetiger Funktionen. Die Funktionen, deren Graphen unten dargestellt sind, werden als stetig bezeichnet, da diese Graphen keine „Brüche“, „Lücken“ oder „Löcher“ aufweisen.
Wir präsentieren nun Beispiele für unstetige Funktionen. Diese Graphen weisen Brüche, Lücken oder Punkte auf, an denen sie undefiniert sind.
Fall 1: An einem Punkt undefiniert (Loch)
Im folgenden Graphen ist die Funktion bei \( x = 2 \) undefiniert. Der Graph hat bei \( x = 2 \) ein Loch und die Funktion wird als unstetig bezeichnet.
Fall 2: Links- und Rechtsgrenzwert stimmen nicht überein
Im folgenden Graphen sind die Grenzwerte der Funktion von links und von rechts nicht gleich, weshalb der Grenzwert bei \( x = 3 \) nicht existiert. Die Funktion wird als unstetig bezeichnet.
Fall 3: Grenzwert ist ungleich dem Funktionswert
Der Grenzwert der Funktion bei \( x = 2 \) existiert zwar, er ist jedoch nicht gleich dem Wert der Funktion bei \( x = 2 \). Auch diese Funktion ist unstetig.
Fall 4: Senkrechte Asymptote (Grenzwert existiert nicht)
Der Grenzwert der Funktion bei \( x = 3 \) existiert nicht, da die Funktion links und rechts von 3 unbegrenzt wächst oder fällt. Auch diese Funktion ist unstetig.
Unter Berücksichtigung aller Informationen aus den obigen Beispielen stetiger und unstetiger Funktionen definieren wir eine stetige Funktion wie folgt:
Eine Funktion \( f \) ist an einer Stelle \( a \) stetig, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
- 1. \( f(a) \) ist definiert
- 2. \( \lim_{x\to a} f(x) \) existiert
- 3. \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1: Unstetigkeit durch Division durch Null
Zeigen Sie, dass die unten definierte Funktion \( f \) bei \( x = -2 \) nicht stetig ist:
\[ f(x) = \frac{1}{x + 2} \]Lösung:
\( f(-2) \) ist undefiniert (Division durch 0 ist nicht erlaubt); daher ist die Funktion \( f \) bei \( x = -2 \) unstetig.
Beispiel 2: Stetigkeit einer rationalen Funktion
Zeigen Sie, dass die Funktion \( f \) für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) stetig ist:
\[ f(x) = \frac{1}{x^4 + 6} \]Lösung:
Die Funktion \( f \) ist für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) definiert. Der Grenzwert von \( f \) an jedem Punkt \( x = a \) ergibt sich als Quotient zweier Grenzwerte: der Konstanten 1 und dem Grenzwert von \( x^4 + 6 \), welcher eine Polynomfunktion ist, deren Grenzwert \( a^4 + 6 \) beträgt. Daher gilt:
\[ \lim_{x\to a} f(x) = \frac{1}{a^4 + 6} \]Da \( f(a) = \frac{1}{a^4 + 6} \) ist, haben wir:
\[ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \]Die drei Stetigkeitsbedingungen sind erfüllt, weshalb \( f \) für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) stetig ist.
Beispiel 3: Stetigkeit einer Betragsfunktion
Zeigen Sie, dass die Funktion \( f \) für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) stetig ist:
\[ f(x) = |x - 5| \]Lösung:
Schreiben wir \( f(x) \) abschnittsweise auf:
- \( f(x) = x - 5 \) für \( x > 5 \)
- \( f(x) = -(x - 5) \) für \( x < 5 \)
- \( f(x) = 0 \) für \( x = 5 \)
\( f(x) \) ist für \( x > 5 \) bzw. \( x < 5 \) durch die Polynomfunktionen \( x - 5 \) bzw. \( -(x - 5) \) gegeben und daher für diese x-Werte stetig.
Wir untersuchen nun den Punkt \( x = 5 \). Betrachten wir den Grenzwert für \( x \) gegen \( 5 \) von links (\( x < 5 \)):
\[ \lim_{x\to 5^{-}} f(x) = \lim_{x\to 5^{-}} -(x - 5) = 0 \]Betrachten wir den Grenzwert für \( x \) gegen \( 5 \) von rechts (\( x > 5 \)):
\[ \lim_{x\to 5^{+}} f(x) = \lim_{x\to 5^{+}} (x - 5) = 0 \]Da die einseitigen Grenzwerte gleich sind, existiert der Grenzwert \( \lim_{x\to 5} f(x) \) und ist gleich 0. Somit gilt \( \lim_{x\to 5} f(x) = 0 = f(5) \), und die Funktion \( f \) ist bei \( x = 5 \) stetig. Zusammen mit den obigen Intervallen ist \( f \) für alle Werte von \( x \) in \( \mathbb{R} \) stetig.