Die Schritte zum Finden der Ableitung einer logarithmischen Funktion zu einer beliebigen Basis werden nachfolgend mit detaillierten Erklärungen vorgestellt.
Verwendung der Basiswechselformel
Sei \( y = \log_a x \).
Verwenden Sie die Basiswechselformel, um \( y = \log_a x \) mithilfe des natürlichen Logarithmus \( \ln \) umzuschreiben:
\[ y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]Wir werten nun die Ableitung aus:
\[ \frac{d}{dx} \left(\log_a x\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right) \]Unter Berücksichtigung, dass \( \ln a \) eine Konstante ist und \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \) gilt, erhalten wir:
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1: Ableitungen einfacher und zusammengesetzter Logarithmen
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitungen von:
a) \( y = \log_3(x) \)
b) \( y = \log_5(x^2 + 2x - 1) \)
Lösung:
a) Unter Verwendung der Formel in \( (I) \) erhalten wir:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 3} \]b) Die Funktion in Teil b) ist eine zusammengesetzte Funktion der Form \( y = \log_5 u(x) \) mit \( u(x) = x^2 + 2x - 1 \).
Unter Verwendung der Kettenregel der Differentiation:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad (II) \]Unter Verwendung der Formel \( (I) \):
\[ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln 5} \]Bestimmen Sie \( \frac{du}{dx} \):
\[ \frac{du}{dx} = 2x + 2 \]Setzen Sie \( \frac{dy}{du} \) und \( \frac{du}{dx} \) in \( (II) \) ein:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \ln 5} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x - 1) \ln 5} \]Beispiel 2: Nachweisen, dass eine logarithmische Funktion monoton fallend ist
Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Funktion \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) in ihrem Definitionsbereich monoton fallend ist.
Lösung:
Finden Sie die Ableitung mithilfe der Formel \( (I) \):
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln\left(\frac{1}{2}\right)} \]Beachten Sie, dass:
\[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2 \]Folglich:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \]Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) ist die Menge aller Werte von \( x \), für die \( x > 0 \) gilt. Daher ist die Ableitung \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \) im gesamten Definitionsbereich negativ. Da die Ableitung über den Definitionsbereich der Funktion hinweg negativ ist, handelt es sich bei \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) um eine fallende Funktion.