Die Schritte zur Bestimmung der Ableitung einer logarithmischen Funktion zu beliebiger Basis werden vorgestellt.
\( y = \log_a x \)
Verwenden Sie die Basisumrechnungsformel, um \( y = \log_a x \) mit dem natürlichen Logarithmus \( \ln \) umzuschreiben als
\( y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \)
Wir werten nun die Ableitung aus
\( \dfrac {d}{dx} \left(\log_a x\right) = \dfrac {d}{dx} \left(\dfrac{ \ln x }{\ln a}\right) \)
Beachten Sie, dass \( \ln a \) eine Konstante ist und \( \dfrac{d}{dx} (\ln x) = \dfrac{1}{x} \), erhalten wir
\[ \dfrac {d}{dx} (\log_a x) = \dfrac{1}{ x \ln a} \qquad (I) \]
Finden Sie die Ableitungen von
a) \( \quad y = \log_3 (x) \) b) \( \quad y = \log_5 (x^2 + 2x -1) \)
Lösung
a) Unter Verwendung der Formel \( (I) \) erhalten wir
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \; \ln 3} \)
b) Die Funktion in Teil b) ist eine zusammengesetzte Funktion der Form \( \quad y = \log_5 u(x) \) mit \( u(x) = x^2 + 2x -1 \)
Verwenden Sie die Kettenregel der Differentiation, wir schreiben
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \qquad (II) \)
Unter Verwendung der obigen Formel \( (I) \)
\( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u \; \ln 5} \)
Berechnen Sie \( \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{du}{dx} = 2 x + 2 \)
Setzen Sie \( \dfrac{dy}{du} \) und \( \dfrac{du}{dx} \) in \( (II) \) ein und schreiben Sie
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{u \; \ln 5} \; {2x+2} = \dfrac{2x+2}{ (x^2 + 2x -1) \; \ln 5} \)
Zeigen Sie, dass die Funktion \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) in ihrem Definitionsbereich fallend ist.
Lösung
Finden Sie die Ableitung mit Formel \( (I) \) oben
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \; \ln { \left(\frac{1}{2} \right) }} \)
Beachten Sie, dass
\( \ln (\frac{1}{2}) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = - \ln 2 \)
Daher
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ - x \; \ln 2} \)
Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) ist die Menge aller Werte von \( x \), für die \( x \gt 0 \) gilt.
Daher ist die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ - x \; \ln 2} \) im Definitionsbereich der gegebenen Funktion negativ. Da die Ableitung über den gesamten Definitionsbereich der Funktion negativ ist, ist die gegebene Funktion \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) in ihrem Definitionsbereich fallend.