Der Beweis der Ableitung der quadratischen Funktionen wird unter Verwendung der Grenzwertdefinition von der Ableitung präsentiert.
Beweis der Ableitung der quadratischen Funktion
Die Definition der Ableitung \( f' \) einer Funktion \( f \) ist durch den Grenzwert gegeben:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Sei \( f \) eine quadratische Funktion der Form \( f(x) = a x^2 + bx + c \). Schreiben Sie die Ableitung von \( f \) wie folgt:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a(x+h)^2 + b(x+h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]Expandieren Sie die Terme \( a(x+h)^2 \) und \( b(x+h) \) im Zähler:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ax^2 + ah^2 + 2axh + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]Vereinfachen Sie den Zähler:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ah^2 + 2axh + bh}{h} \]Teilen Sie Zähler und Nenner durch \( h \):
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (ah + 2ax + b) \]Werten Sie den Grenzwert aus, um die Ableitung der quadratischen Funktion zu erhalten:
Beispiele mit Lösungen
Teil A & Teil B: Übungsaufgaben und Lösungen
Teil A: Finden Sie die Ableitungen der folgenden quadratischen Funktionen:
- \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
- \( g(x) = -x^2 - 1 \)
- \( h(x) = 0.1x^2 - \dfrac{x}{2} - 100 \)
- \( f(x) = -\dfrac{3x^2}{7} - 0.2x + 7 \)
Teil B: Sei \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Finden Sie \( f'(2) \) unter der Voraussetzung, dass \( f(2) = 3 \), \( f'(0) = 1 \) und \( f'(-1) = 2 \) gilt.
Lösungen:
Teil A Lösungen:
- \( f'(x) = 8x - 1 \)
- \( g'(x) = -2x \)
- \( h'(x) = 0.2x - \dfrac{1}{2} \)
- \( f'(x) = -\dfrac{6x}{7} - 0.2 \)
Teil B Lösung:
Die gegebene Funktion \( f \) ist eine quadratische Funktion, daher:
\[ f'(x) = 2ax + b \]Gegeben ist \( f'(0) = 1 \), setzen Sie dies ein, um die Gleichung zu erhalten: \( 2a(0) + b = 1 \implies b = 1 \)
Gegeben ist \( f'(-1) = 2 \), setzen Sie dies ein, um die Gleichung zu erhalten: \( 2a(-1) + 1 = 2 \implies -2a = 1 \implies a = -\dfrac{1}{2} \)
Gegeben ist \( f(2) = 3 \), setzen Sie dies ein, um die Gleichung zu erhalten: \( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + (1)(2) + c = 3 \implies -2 + 2 + c = 3 \implies c = 3 \)
Finden Sie schließlich \( f'(2) \):
\[ f'(2) = 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)(2) + 1 = -2 + 1 = -1 \]