Der Beweis der Ableitung der quadratischen Funktionen wird unter Verwendung der Grenzwertdefinition der Ableitung dargestellt.
Die Definition der Ableitung \( f' \) einer Funktion \( f \) ist durch den Grenzwert gegeben
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sei \( f \) eine quadratische Funktion der Form: \( f(x) = a x^2 + bx + c \) und schreibe die Ableitung von \( f \) wie folgt
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a (x+h)^2 + b(x+h) + c - (a x^2 + bx + c)}{h} \]
Expandiere die Terme \( a (x+h)^2 \) und \( b(x+h) \) im Zähler
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a x^2 + a h^2 + 2 a x h + b x + bh + c - a x^2 - bx - c}{h} \]
Vereinfache den Zähler
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a h^2 + 2 a x h + bh }{h} \]
Teile Zähler und Nenner durch \( h \)
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} a h + 2 a x + b \]
Berechne den Grenzwert, um die Ableitung der quadratischen Funktion zu erhalten
\[ f'(x) = 2 a x + b \]
Teil A
Finde die Ableitungen der folgenden quadratischen Funktionen
a) \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
b) \( g(x) = - x^2 - 1 \)
c) \( h(x) = 0.1 x^2 - \dfrac {x}{2} - 100 \)
d) \( f(x) = - \dfrac { 3 x^2}{7} - 0.2 x + 7 \)
Teil B
Sei \( f(x) = a x^2 + b x + c \).
Berechne \( f'(2) \), gegeben dass \( f(2) = 3 \), \( f'(0) = 1 \) und \( f'(-1) = 2 \) sind.
Teil A
a) \( f'(x) = 8 x - 1 \)
b) \( g'(x) = - 2 x \)
c) \( h'(x) = 0.2 x - \dfrac {1}{2} \)
d) \( f'(x) = -\dfrac {6 x}{7} - 0.2 \)
Teil B
Die gegebene Funktion \( f \) ist eine quadratische Funktion, daher
\( f'(x) = 2 a x + b \)
Gegeben \( f'(0) = 1 \), ersetze, um die Gleichung zu erhalten: \( 2 a (0) + b = 1 \)
Löse nach \( b \) auf, um zu erhalten: \( b = 1 \)
Gegeben \( f'(-1) = 2 \), ersetze, um die Gleichung zu erhalten: \( 2 a (-1) + 1 = 2 \)
Löse nach \( a \) auf, um zu erhalten: \( a = -\dfrac{1}{2} \)
Gegeben \( f(2) = 3 \), ersetze, um die Gleichung zu erhalten: \( f(2) = -\dfrac{1}{2} (2)^2 + (1) (2) + c = 3 \)
Löse nach \( c \) auf, um zu erhalten: \( c = 3 \)
\( f'(2) = 2 (-\dfrac{1}{2})(2) + 1 = -1 \)