Unbestimmte Ausdrücke von Grenzwerten

Beispiele mit detaillierten Lösungen und Übungen, die Grenzwert-Fragen lösen, die sich auf unbestimmte Ausdrücke beziehen, wie zum Beispiel: \[ \dfrac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty \]

Theorem

Eine zweite Version der Regel von L'Hopital erlaubt es uns, das Grenzwertproblem \[ \dfrac{\infty}{\infty} \] durch ein anderes, einfacheres Problem zu ersetzen. Wenn \(\lim f(x) = \infty\) und \(\lim g(x) = \infty\) und wenn \(\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) einen endlichen Wert \(L\) hat oder von der Form \(\infty\) oder \(-\infty\) ist, dann gilt \[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \] Im obigen Satz steht \(\lim\) für \(\lim_{x \to a} f(x)\), \(\lim_{x \to a^+} f(x)\), \(\lim_{x \to a^-} f(x)\), \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) oder \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\).

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1

Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \]

Lösung zu Beispiel 1:

Da \[ \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \] und \[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \] haben wir den unbestimmten Ausdruck \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\infty}{\infty} \] Die obige Regel von L'Hopital kann verwendet werden, um die gegebene Grenzwertfrage wie folgt zu lösen: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\ln x)'}{(x)'} \] Berechnen Sie die Ableitungen im Zähler und Nenner: \[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} \] Werten Sie die Grenzwerte im Zähler und Nenner aus: \[ \lim_{x \to \infty} (1/x) = 0 \text{ und } \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \] Nun werten wir den gegebenen Grenzwert aus: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{0}{1} = 0 \]

Beispiel 2

Finden Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x\to \infty} x e^{-x} \]

Lösung zu Beispiel 2:

Beachten Sie, dass \[ \lim_{x\to \infty} x = \infty \] und \[ \lim_{x\to \infty} e^{-x} = 0 \] Dies ist der unbestimmte Ausdruck \( \infty \cdot 0 \). Die Idee ist, ihn in den unbestimmten Ausdruck \( \dfrac{\infty}{\infty} \) umzuwandeln und den Satz von L'Hopital zu verwenden. Beachten Sie, dass \[ \lim_{x\to \infty} x e^{-x} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ x}{ e^x} = \dfrac{ \infty }{ \infty }\] Wir wenden den obigen Satz von L'Hopital an: \[ = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ (x)'}{ (e^x)'} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ 1 }{ e^x} = 0\]

Beispiel 3

Finden Sie \[ \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x \]

Lösung zu Beispiel 3:

Beachten Sie, dass \( \lim_{x\to \infty} (1 + 1/x) = 1 \) und der obige Grenzwert gegeben ist durch \[ \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = 1^{\infty}\] was vom unbestimmten Ausdruck \( 1^{\infty}\) ist. Wenn wir \( t = 1 / x \) setzen, kann der obige Grenzwert geschrieben werden als: \[ \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = \lim_{t\to 0} ( 1 + t)^{1/t} \] Beachten Sie, dass wenn \( x\to \infty \) , dann \( t\to 0 \).
Sei \( y = ( 1 + t)^{1/t} \) und finden Sie den Grenzwert von \( \ln y \), wenn t sich 0 nähert: \[ \ln y = \ln ( 1 + t)^{1/t} =(1 / t) \ln (1 + t) \] Der Vorteil der Verwendung von \( \ln y \) ist, dass \[ \lim_{t\to 0} \ln y = \lim_{t\to 0} \dfrac {\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \] und der Grenzwert hat die unbestimmte Form 0 / 0 und die erste Regel von L'Hopital kann angewendet werden: \[ \lim_{t\to 0} \ln y = \lim_{t\to 0} \dfrac {ln (1 + t)}{t} \] \[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{(ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t\to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1 \] Da der Grenzwert von \( \ln y = 1 \) ist, ist der Grenzwert von \( y \) \( e^1 = e \), daher \[ \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = e \]

Beispiel 4

Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x - 1 / \sin x )\]

Lösung zu Beispiel 4:

Beachten Sie, dass \[ \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x ) = + \infty \] und \[ \lim_{x\to 0^+} ( 1 / \sin x ) = + \infty \] Dieser Grenzwert hat den unbestimmten Ausdruck \( \infty - \infty \) und muss durch Kombinieren von \( 1 / x - 1 / sin x \) in eine andere Form umgewandelt werden: \[ \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x - 1 / \sin x ) = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \] Wir haben nun den unbestimmten Ausdruck 0 / 0 und können den Satz von L'Hopital anwenden: \[ \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{ \sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \] Wir haben wieder den unbestimmten Ausdruck 0 / 0 und wenden den Satz von L'Hopital ein weiteres Mal an: \[ = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{ (\sin x + x \cos x)'} \] \[ = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{-\sin x}{ \cos x + \cos x - x \sin x } = \dfrac{0}{2} = 0\]

Beispiel 5

Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x\to 0^+} x^x \]

Lösung zu Beispiel 5:

Wir haben den unbestimmten Ausdruck \( 0^0 \). Sei \( y = x^x \) und \( \ln y = \ln (x^x) = x \ln x \). Finden wir nun den Grenzwert von \( ln y \): \[ \lim_{x\to 0^+} \ln y = \lim_{x\to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty\] Der obige Grenzwert hat den unbestimmten Ausdruck \( 0 \cdot \infty\). Wir wandeln ihn wie folgt um: \[ \lim_{x\to 0^+} x \ln x = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{\infty}{\infty} \] Er hat nun den unbestimmten Ausdruck \( \dfrac{\infty}{\infty} \) und wir können den Satz von L'Hopital anwenden: \[ \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \] \[ = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \] \[ = \lim_{x\to 0^+} - x = 0 \] Der Grenzwert von \( ln y = 0 \) und der Grenzwert von \( y = x^x \) ist gleich: \[ \lim_{x\to 0^+} x^x = e^0 = 1 \]

Übungen

Finden Sie die Grenzwerte:
  1. \( \quad \lim_{x\to \infty} (\ln x)^{1/x} \)
  2. \( \quad \lim_{x\to \infty} (\ln x - \ln (1 + x)) \)
  3. \( \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{x}{e^x} \)
  4. \( \quad \lim_{x\to 0^+} x^{\sin x} \)

Lösungen zu den obigen Übungen

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  2. 0
  3. 0
  4. 1

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