Beispiele mit detaillierten Lösungen und Übungen zur Lösung von Grenzwertaufgaben im Zusammenhang mit unbestimmten Formen wie:
\[ \dfrac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty \]Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
Satz
Eine zweite Version der L'Hôpital-Regel ermöglicht es uns, das Grenzwertproblem:
\[ \dfrac{\infty}{\infty} \]durch ein anderes, einfacher zu lösendes Problem zu ersetzen.
Wenn \( \lim f(x) = \infty \) und \( \lim g(x) = \infty \) und wenn \( \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) einen endlichen Wert \( L \) hat oder von der Form \( \infty \) oder \( -\infty \) ist, dann:
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]In Obigem steht \( \lim \) für \( \lim_{x \to a} f(x) \), \( \lim_{x \to a^+} f(x) \), \( \lim_{x \to a^-} f(x) \), \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) oder \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \).
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Berechnen Sie den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \]Lösung anzeigen
Da:
\[ \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \]und
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]haben wir die unbestimmte Form:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]Die L'Hôpital-Regel kann verwendet werden, um die gegebene Grenzwertaufgabe wie folgt auszuwerten:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\ln x)'}{(x)'} \]Berechnen Sie die Ableitungen im Zähler und im Nenner:
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} \]Berechnen Sie die Grenzwerte im Zähler und Nenner:
\[ \lim_{x \to \infty} (1/x) = 0 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]Wir werten nun den gegebenen Grenzwert aus:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{0}{1} = 0 \]Beispiel 2
Berechnen Sie den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} \]Lösung anzeigen
Beachten Sie, dass:
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]und
\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0 \]Dies ist die unbestimmte Form \( \infty \cdot 0 \). Die Idee besteht darin, sie in die unbestimmte Form \( \dfrac{\infty}{\infty} \) umzuwandeln und den Satz von L'Hôpital anzuwenden. Beachten Sie, dass:
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]Wir wenden die L'Hôpital-Regel an:
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^x} = 0 \]Beispiel 3
Berechnen Sie den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \]Lösung anzeigen
Beachten Sie, dass \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = 1 \) ist und der obige Grenzwert gegeben ist durch:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = 1^\infty \]was von der unbestimmten Form \( 1^\infty \) ist. Wenn wir \( t = 1 / x \) setzen, kann der obige Grenzwert geschrieben werden als:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0^+} (1 + t)^{1/t} \]Beachten Sie, dass für \( x \to \infty \) gilt: \( t \to 0^+ \).
Sei \( y = (1 + t)^{1/t} \) und bestimmen Sie den Grenzwert von \( \ln y \), wenn sich \( t \) der 0 nähert:
\[ \ln y = \ln (1 + t)^{1/t} = \dfrac{1}{t} \ln (1 + t) \]Der Vorteil der Verwendung von \( \ln y \) besteht darin, dass:
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \]Der Grenzwert hat die unbestimmte Form \( 0 / 0 \), und die erste L'Hôpital-Regel kann angewendet werden:
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{(\ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t \to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1 \]Da der Grenzwert von \( \ln y = 1 \) ist, ist der Grenzwert von \( y \) gleich \( e^1 = e \). Daher:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e \]Beispiel 4
Berechnen Sie den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) \]Lösung anzeigen
Beachten Sie, dass:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x}\right) = +\infty \]und
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{\sin x}\right) = +\infty \]Dieser Grenzwert hat die unbestimmte Form \( \infty - \infty \) und muss durch Zusammenfassen von Termen in eine andere Form umgewandelt werden:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \]Wir haben nun die unbestimmte Form \( 0 / 0 \) und können den Satz von L'Hôpital anwenden:
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \]Wir haben erneut die unbestimmte Form \( 0 / 0 \) und wenden den Satz von L'Hôpital noch einmal an:
\[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{(\sin x + x \cos x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \dfrac{0}{2} = 0 \]Beispiel 5
Berechnen Sie den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x \]Lösung anzeigen
Wir haben die unbestimmte Form \( 0^0 \). Sei \( y = x^x \) und \( \ln y = \ln (x^x) = x \ln x \). Bestimmen wir nun den Grenzwert von \( \ln y \):
\[ \lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty \]Der obige Grenzwert hat die unbestimmte Form \( 0 \cdot \infty \). Wir formen ihn wie folgt um:
\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]Er hat nun die unbestimmte Form \( \dfrac{\infty}{\infty} \) und wir können den Satz von L'Hôpital anwenden:
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]Der Grenzwert von \( \ln y = 0 \) ist, also ist der Grenzwert von \( y = x^x \) gleich:
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1 \]Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. Klicken Sie auf jede Übung, um Ihre Antworten zu überprüfen.
Übung 1
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x)^{1/x} \)
Antwort anzeigen
Übung 2
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x - \ln (1 + x)) \)
Antwort anzeigen
Übung 3
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} \)
Antwort anzeigen
Übung 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} \)