Mehrdimensionale Kettenregel
Mehrdimensionale Kettenformel
Gegeben sei eine Funktion \( f \) mit den Variablen \( x \), \( y \) und \( z \), wobei \( x \), \( y \) und \( z \) Funktionen von \( t \) sind. Die Ableitung von \( f \) nach \( t \) wird durch die mehrdimensionale Kettenregel gegeben, die eine Summe der Produkte von partiellen Ableitungen und Ableitungen ist, wie folgt:
\[ \Large \color{red}{\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}} \]
Beispiele zur Anwendung der mehrdimensionalen Kettenformel
Beispiel 1
\( U \) ist eine Funktion von \( x \), \( y \) und \( z \), gegeben durch
\[ U = e^{xy} - \frac{1}{z} \]
\( x \), \( y \), und \( z \) sind Funktionen von \( t \):
\[ x = 2 t^2 + t, \quad y = 2 + \ln (t) , \quad z = t - 2 \]
Finden Sie
\( \dfrac{dU}{dt} \)
Lösung
Wir verwenden zuerst die mehrdimensionale Kettenregel, um dU/dt zu finden.
\[ \frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial U}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial U}{\partial z}\frac{dz}{dt} \]
Als nächstes berechnen wir jeden Term in der obigen Formel.
\[ \frac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy} \;\; , \;\; \frac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy} \;\; , \;\; \frac{\partial U}{\partial z} = - 1 / z^2 \;\; , \;\; \frac{dx}{dt} = 4 t + 1 \\\\ \frac{dy}{dt} = 1 / t \;\; , \;\; \frac{dz}{dt} = 1 \]
und ersetzen
\[ \frac{dU}{dt} = y e^{xy} (4 t + 1) + x e^{xy} (1/t) - 1 / z^2 (1) \\\\ = (4 t y + y + x/t)e^{(2 t^2 + t)(2 + \ln (t) )} - \frac{1}{(t - 2)^2} \\\\ = (4 t \ln (t)) + \ln (t) + 10t + 3)e^{(2 t^2 + t)(2 + \ln (t) )} - \frac{1}{(t - 2)^2} \]
Erweiterung der Kettenregel
Gegeben sei eine Funktion \( f \) mit den Variablen \( x \) und \( y \), wobei \( x \) und \( y \) Funktionen von \( t \) und \( r \) sind. Die partiellen Ableitungen von \( f \) nach \( t \) und \( r \) werden durch die erweiterte mehrdimensionale Kettenregel wie folgt gegeben:
\[ \Large \color{red}{\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}} \]
\[ \Large \color{red}{\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} } \]
Beispiel 2
\( W \) ist eine Funktion von \( x \) und \( y \), gegeben durch
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]
\( x \) und \( y \) sind Funktionen von \( r \) und \( \theta \), gegeben durch
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]
Finden Sie
\[ \frac{\partial W}{\partial r}, \frac{\partial W}{\partial \theta} \]
mit \( r \ge 0 \) und \( 0 \le \theta \le 2\pi \)
Lösung
Wir schreiben zuerst die erweiterte mehrdimensionale Kettenregel auf, um \( \dfrac{\partial W}{\partial r} \) und \( \dfrac{\partial W}{\partial \theta} \) zu finden:
\[ \frac{\partial W}{\partial r} = \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} \]
\[ \frac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} \]
Als nächstes berechnen wir alle Terme in den beiden obigen Formeln:
\[ \frac{\partial W}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \frac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \]
\[ \frac{\partial W}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \]
\[ \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]
Wir ersetzen nun und vereinfachen, um \( \dfrac{\partial W}{\partial r} \) und \( \dfrac{\partial W}{\partial \theta} \) zu finden:
\[ \frac{\partial W}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) = 1 \]
\[ \frac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (- r \sin(\theta)) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) = 0 \]
Hinweis
All dies hätte auch durch vorheriges Vereinfachen von \( W \) erreicht werden können:
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = r \]
was leicht ergibt
\[ \frac{\partial W}{\partial r} = 1 \quad \text{und} \quad \frac{\partial W}{\partial \theta} = 0 \]
Natürlich war der Zweck des Beispiels zu zeigen, wie man die erweiterte mehrdimensionale Kettenregel anwendet.
Beispiel 3
\( W \) ist eine Funktion von \( x \) und \( y \), gegeben durch
\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]
\( x \) und \( y \) sind Funktionen von \( u \) und \( v \), gegeben durch
\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]
Finden Sie
\[ \frac{\partial W}{\partial u}, \frac{\partial W}{\partial v} \]
Lösung
Die erweiterte mehrdimensionale Kettenregel wird verwendet, um \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) und \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \) zu finden:
\[ \frac{\partial W}{\partial u} = \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \]
\[ \frac{\partial W}{\partial v} = \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \]
Als nächstes berechnen wir alle Terme, die in den obigen \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) und \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \) enthalten sind:
\[ \frac{\partial W}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \frac{\partial x}{\partial u} = 2u \]
\[ \frac{\partial W}{\partial y} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \frac{\partial y}{\partial u} = 1 \]
\[ \frac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = 1 \]
Wir ersetzen nun und vereinfachen, um die obigen \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) und \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \) zu finden:
\[ \frac{\partial W}{\partial u} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \]
\[ = (2u + 1) \frac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \]
\[ \frac{\partial W}{\partial v} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \]
\[ = (2v + 1) \frac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]
Anwendungen der mehrdimensionalen Kettenregel
Beispiel 4
Das Volumen eines rechteckigen Körpers mit den Abmessungen \( L \), \( B \) und \( H \) ist gegeben durch die Formel
\[ V = LBH \]
Finden Sie die Rate (in \( \text{cm}^3/\text{s} \)), mit der sich das Volumen \( V \) ändert, wenn die Länge \( L \) 50 cm beträgt und mit einer Rate von 0,2 cm pro Sekunde zunimmt, die Breite \( B \) 40 cm beträgt und mit einer Rate von 0,1 cm pro Sekunde zunimmt, und die Höhe \( H \) 30 cm beträgt und mit einer Rate von 0,1 cm pro Sekunde abnimmt.
Lösung
Die Abmessungen \( L \), \( B \) und \( H \) ändern sich mit der Zeit, daher ändert sich auch das Volumen \( V \) mit der Zeit. Die Kettenregel wird verwendet, um \( \dfrac{dV}{dt} \) zu finden:
\[ \frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial L}\frac{dL}{dt} + \frac{\partial V}{\partial B}\frac{dB}{dt} + \frac{\partial V}{\partial H}\frac{dH}{dt} \]
Die Terme im obigen Ausdruck sind gegeben durch
\[ \frac{\partial V}{\partial L} = BH, \quad \frac{dL}{dt} = 0,2 \]
\[ \frac{\partial V}{\partial B} = LH, \quad \frac{dB}{dt} = 0,1 \]
\[ \frac{\partial V}{\partial H} = LB, \quad \frac{dH}{dt} = -0,1 \]
Wir berechnen nun \( \dfrac{dV}{dt} \):
\[ \frac{dV}{dt} = BH \cdot 0,2 + LH \cdot 0,1 + LB \cdot (-0,1) = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]
Beispiel 5
Der Gesamtwiderstand \( R \) für zwei parallel geschaltete Widerstände mit den Widerständen \( R_1 \) und \( R_2 \) ist gegeben durch
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]
Die Widerstände \( R_1 \) und \( R_2 \) ändern sich mit der Temperatur \( T \) wie folgt:
\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]
wobei \( R_{10} \), \( R_{20} \), \( \alpha \), \( \beta \), \( T_0 \) Konstanten sind.
Finden Sie die Änderungsrate \( \dfrac{dR}{dT} \).
Lösung
\( \dfrac{dR}{dT} \) ist durch die Kettenregel wie folgt gegeben:
\[ \frac{dR}{dT} = \frac{\partial R}{\partial R_1}\frac{dR_1}{dT} + \frac{\partial R}{\partial R_2}\frac{dR_2}{dT} \]
Berechnen Sie die Terme im obigen Ausdruck:
\[ \frac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \frac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \]
\[ \frac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \frac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]
Wir ersetzen nun die Terme in \( \dfrac{dR}{dT} \):
\[ \frac{dR}{dT} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}R_{10} \alpha + \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}R_{20} \beta \]
\[ = \frac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]
Weitere Referenzen und Links
Partielle Ableitungen
Ableitungen von Funktionen in der Analysis finden
Differentiation und Ableitungen