Einführung in die mehrdimensionale Kettenregel
Wenn man es mit einer multivariablen Funktion zu tun hat, bei der die inneren Variablen selbst Funktionen von einem oder mehreren unabhängigen Parametern sind, ermöglicht uns die mehrdimensionale Kettenregel, die Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach diesen Parametern zu berechnen.
Einzelner unabhängiger Parameter
Gegeben sei eine Funktion \( f(x, y, z) \), bei der \( x \), \( y \) und \( z \) sämtlich Funktionen einer einzigen Variablen \( t \) sind. Die totale Ableitung von \( f \) nach \( t \) wird berechnet, indem man die Summe der Produkte der partiellen Ableitungen von \( f \) und der Standardableitungen der inneren Variablen bildet:
\[ \dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]Mehrere unabhängige Parameter (Erweiterte Kettenregel)
Wenn eine Funktion \( f(x, y) \) innere Variablen \( x \) und \( y \) hat, die Funktionen von mehreren Parametern wie \( t \) und \( r \) sind, verwenden wir die erweiterte Kettenregel, um die partiellen Ableitungen von \( f \) nach jedem Parameter zu finden:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} \] \[ \dfrac{\partial f}{\partial r} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \]Beispiele zur Verwendung der mehrdimensionalen Kettenregel
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
\( U \) ist eine Funktion von \( x \), \( y \) und \( z \), definiert durch:
\[ U = e^{xy} - \frac{1}{z} \]\( x \), \( y \) und \( z \) sind Funktionen von \( t \):
\[ x = 2t^2 + t, \quad y = 2 + \ln(t), \quad z = t - 2 \]Finden Sie \(\dfrac{dU}{dt}\).
Lösung zu Beispiel 1 anzeigen
Wir stellen zunächst die mehrdimensionale Kettenregel auf, um \(\dfrac{dU}{dt}\) zu berechnen:
\[ \dfrac{dU}{dt} = \dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]Als Nächstes berechnen wir jeden Term in der obigen Formel (Hinweis: Die Ableitung von \(-z^{-1}\) ist \(+z^{-2}\)):
\[ \dfrac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial z} = \frac{1}{z^2} \] \[ \dfrac{dx}{dt} = 4t + 1, \quad \dfrac{dy}{dt} = \frac{1}{t}, \quad \dfrac{dz}{dt} = 1 \]Setzen Sie diese in die Formel der Kettenregel ein:
\[ \dfrac{dU}{dt} = \left(y e^{xy}\right) (4t + 1) + \left(x e^{xy}\right) \left(\frac{1}{t}\right) + \left(\frac{1}{z^2}\right) (1) \]Klammern Sie \(e^{xy}\) aus und ersetzen Sie \(x, y\) und \(z\) durch ihre Funktionen von \(t\):
\[ = \left(4ty + y + \frac{x}{t}\right)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]Multiplizieren Sie die Terme in den Klammern aus, um das Endergebnis zu erhalten:
\[ = (4t\ln(t) + \ln(t) + 10t + 3)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]Beispiel 2
\( W \) ist eine Funktion von \( x \) und \( y \), definiert durch:
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]\( x \) und \( y \) sind Funktionen von \( r \) und \( \theta \), gegeben durch:
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]Finden Sie \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\) und \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\) mit \( r \ge 0 \) und \( 0 \le \theta \le 2\pi \).
Lösung zu Beispiel 2 anzeigen
Wir verwenden die erweiterte mehrdimensionale Kettenregel, um beide partiellen Ableitungen zu bestimmen:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \]Berechnen Sie alle einzelnen Komponenten:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \dfrac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]Setzen Sie ein und vereinfachen Sie, um \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\) zu erhalten:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) \]Da \(x = r \cos(\theta)\), \(y = r \sin(\theta)\) und \(\sqrt{x^2+y^2} = r\) gilt, wird dies zu:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{r \cos(\theta)}{r} \cos(\theta) + \frac{r \sin(\theta)}{r} \sin(\theta) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \]Setzen Sie ein und vereinfachen Sie, um \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\) zu erhalten:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (-r \sin(\theta)) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{r \cos(\theta)}{r} (-r \sin(\theta)) + \frac{r \sin(\theta)}{r} (r \cos(\theta)) = -r\cos(\theta)\sin(\theta) + r\cos(\theta)\sin(\theta) = 0 \]Hinweis: All dies hätte viel schneller gelöst werden können, indem man \(x\) und \(y\) direkt in \(W\) einsetzt:
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = \sqrt{r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = r \]Woraus sich unmittelbar \(\dfrac{\partial W}{\partial r} = 1\) und \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta} = 0\) ergeben. Dieses Beispiel dient dazu zu verifizieren, dass die Kettenregel mit dem direkten Einsetzen übereinstimmt.
Beispiel 3
\( W \) ist eine Funktion von \( x \) und \( y \), definiert durch:
\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]\( x \) und \( y \) sind Funktionen von \( u \) und \( v \), gegeben durch:
\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]Finden Sie \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\) und \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\).
Lösung zu Beispiel 3 anzeigen
Die erweiterte mehrdimensionale Kettenregel für \(u\) und \(v\) lautet:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v} \]Berechnen Sie die erforderlichen partiellen Ableitungen:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial x}{\partial u} = 2u \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial y}{\partial u} = 1 \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \dfrac{\partial y}{\partial v} = 1 \]Setzen Sie die Terme ein, um \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\) zu erhalten:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2u + 1) \frac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \]Setzen Sie die Terme ein, um \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\) zu erhalten:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2v + 1) \frac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]Beispiel 4
Das Volumen eines Quaders mit den Abmessungen \( L \), \( W \) und \( H \) ist gegeben durch die Formel:
\[ V = LWH \]Bestimmen Sie die Rate (in \(\text{cm}^3/\text{s}\)), mit der sich das Volumen \( V \) ändert, wenn die Länge \( L = 50\text{ cm} \) beträgt und mit \( 0,2\text{ cm/s} \) zunimmt, die Breite \( W = 40\text{ cm} \) beträgt und mit \( 0,1\text{ cm/s} \) zunimmt, sowie die Höhe \( H = 30\text{ cm} \) beträgt und mit \( 0,1\text{ cm/s} \) abnimmt.
Lösung zu Beispiel 4 anzeigen
Die Abmessungen \( L \), \( W \) und \( H \) ändern sich in Abhängigkeit von der Zeit \( t \), daher ändert sich auch das Volumen \( V \) mit der Zeit. Die Kettenregel wird verwendet, um \(\dfrac{dV}{dt}\) zu ermitteln:
\[ \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\partial V}{\partial L}\dfrac{dL}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial W}\dfrac{dW}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial H}\dfrac{dH}{dt} \]Berechnen Sie die partiellen Ableitungen und identifizieren Sie die Änderungsraten:
\[ \dfrac{\partial V}{\partial L} = WH, \quad \dfrac{dL}{dt} = 0,2 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial W} = LH, \quad \dfrac{dW}{dt} = 0,1 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial H} = LW, \quad \dfrac{dH}{dt} = -0,1 \]Werten Sie \(\dfrac{dV}{dt}\) unter Verwendung der gegebenen Momentanwerte (\(L=50, W=40, H=30\)) aus:
\[ \dfrac{dV}{dt} = (40)(30)(0,2) + (50)(30)(0,1) + (50)(40)(-0,1) \] \[ \dfrac{dV}{dt} = 240 + 150 - 200 = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]Beispiel 5
Der Ersatzwiderstand \( R \) von zwei parallel geschalteten Widerständen mit den Widerstandswerten \( R_1 \) und \( R_2 \) ist gegeben durch:
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]Die Widerstände \( R_1 \) und \( R_2 \) ändern sich mit der Temperatur \( T \) gemäß den folgenden Formeln:
\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]wobei \( R_{10} \), \( R_{20} \), \( \alpha \), \( \beta \) und \( T_0 \) Konstanten sind. Bestimmen Sie die Änderungsrate \(\dfrac{dR}{dT}\).
Lösung zu Beispiel 5 anzeigen
\(\dfrac{dR}{dT}\) ergibt sich mithilfe der Kettenregel wie folgt:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \dfrac{\partial R}{\partial R_1}\dfrac{dR_1}{dT} + \dfrac{\partial R}{\partial R_2}\dfrac{dR_2}{dT} \]Berechnen Sie mithilfe der Quotientenregel die partiellen Ableitungen von \(R\) und ermitteln Sie anschließend die Ableitungen von \(R_1\) und \(R_2\) nach \(T\):
\[ \dfrac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R_2(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \] \[ \dfrac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R_1(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]Setzen Sie diese Terme wieder in die Kettenregel-Gleichung ein:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{10} \alpha) + \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{20} \beta) \]Fassen Sie dies zu einem einzigen Bruch zusammen:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]