Eine multivariable Funktion ist eine Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen. Funktionen mit mehr als einer Variablen sind unerlässlich, um komplizierte physikalische Phänomene, technische, chemische, landwirtschaftliche und wirtschaftliche Systeme mathematisch zu modellieren.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Beispiele für multivariable Funktionen
Erkunden Sie, wie verschiedene geometrische und physikalische Größen von mehreren Variablen abhängen.
Beispiel 1: Fläche eines Rechtecks
Ein Rechteck hat eine Breite \( W \) und eine Länge \( L \). Die Fläche \( A \) des Rechtecks ist gegeben durch:
\[ A = W \cdot L \]Es ist offensichtlich, dass sich die Fläche \( A \) bei variierenden Werten für \( W \) und \( L \) aus zwei Variablen zusammensetzt: Breite \( W \) und Länge \( L \). Daher wird \( A \) als Funktion von zwei Variablen bezeichnet, geschrieben als \( A(W, L) \).
Beispiel 2: Volumen eines Quaders
Ein Quader hat die Breite \( W \), die Länge \( L \) und die Höhe \( H \). Das Volumen \( V \) des Quaders ist gegeben durch:
\[ V = W \cdot L \cdot H \]Wenn \( W \), \( L \) und \( H \) variieren, hängt das Volumen \( V \) von 3 Variablen ab: Breite \( W \), Länge \( L \) und Höhe \( H \), wodurch es zu einer Funktion von drei Variablen \( V(W, L, H) \) wird.
Beispiel 3: Volumen eines Zylinders
Das Volumen \( V \) eines Kreiszylinders mit dem Radius \( r \) und der Höhe \( h \) ist gegeben durch:
\[ V = \pi r^2 h \]Wenn \( r \) und \( h \) variieren, können wir sagen, dass das Volumen \( V \) eine Funktion von zwei Variablen \( r \) und \( h \) ist, bezeichnet als \( V(r, h) \).
Beispiel 4: Raumtemperatur über Raum und Zeit
Sei \( T \) die Temperatur in einem Raum. Unter Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems von Achsen \( (x, y, z) \) kann die Temperatur \( T \) mit der räumlichen Position \( (x, y, z) \) und der Zeit \( t \) variieren. Sie kann ausgedrückt werden als:
\[ T(x, y, z, t) \]Dies stellt eine Funktion von 4 Variablen dar (drei Raumkoordinaten und eine Zeitkoordinate).