Was sind Parametergleichungen?

Parametergleichungen drücken die Koordinaten x und y einer Kurve als Funktionen einer dritten unabhängigen Variablen aus, die als Parameter bezeichnet wird (meistens t). Sie werden in der Analysis und Physik oft verwendet, um komplexe Kurven und Bewegungen zu beschreiben.

Parametergleichungen – Definitionen, Beispiele & Lösungen

Parametergleichungen werden mit Beispielen und deren Lösungen vorgestellt. Weitere Fragen mit Lösungen sind enthalten.

Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.

Beispiele

Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.

Beispiel 1

Einige Kurven lassen sich am besten mithilfe von Parametergleichungen \( x \) und \( y \) in Abhängigkeit von einem Parameter beschreiben [1] [2].
Das Folgende ist ein Beispiel für Parametergleichungen \( x(t) \) und \( y(t) \) in Abhängigkeit vom Parameter \( t \):

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t \\ y(t) &= 0.5 t^2 \qquad \text{für} \; t \in [0, 3] \end{aligned} \right. \]

Lösung und Analyse zu Beispiel 1 anzeigen

Der Graph der Kurve wird erstellt, indem die \( x \)- und \( y \)-Koordinaten für verschiedene Werte des Parameters \( t \) ermittelt werden:

Wertetabelle von Parametergleichungen — Tabelle 1. Wertetabelle für \( x(t) = t \) und \( y(t) = 0.5 t^2 \)

Jeder Wert von \( t \) bestimmt einen Punkt \( (x, y) \), der in ein Koordinatensystem eingezeichnet wird. Wenn \( t \) variiert, zeichnet der Punkt \( (x(t), y(t)) \) eine Kurve nach, die als parametrische Kurve bezeichnet wird. Die roten Pfeile zeigen die Richtung an, in der der Parameter \( t \) zunimmt.

Beispiel für Parametergleichungen — Abb. 1. Graph der parametrischen Kurve \( x(t) = t \) und \( y(t) = 0.5 t^2 \)

Beachten Sie, dass die erhaltene Kurve ein Teil einer Parabel ist, die durch Elimination von \( t \) ermittelt werden kann:
Lösen Sie die erste Gleichung \( x(t) = t \) nach \( t \) auf: \( t = x \).
Setzen Sie \( t \) in die zweite Gleichung \( y(t) = 0.5 t^2 \) ein:

\[ y = 0.5 x^2 \]

Wenn man Werte für \( t \) im Bereich \( [0, 3] \) wählt, wird nur ein Teil dieser Parabel angezeigt.

Beispiel 2

Dieses Beispiel zeigt den Vorteil der Verwendung einfacher Parametergleichungen zur Beschreibung komplexer Kurven. Die folgenden Parametergleichungen beschreiben Lissajous-Figuren, die in der Elektrotechnik verwendet werden.
Sei:

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t + 1 \\ y(t) &= \sin 2t + 2 \qquad \text{für} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

Lösung und Analyse zu Beispiel 2 anzeigen

Wertetabelle von Lissajous-Kurven — Tabelle 2. Wertetabelle für \( x(t) = \sin t + 1 \) und \( y(t) = \sin 2t + 2 \)

Graph von Lissajous-Kurven — Abb. 2. Graph der parametrischen Lissajous-Kurve

Bestimmen wir eine Gleichung der Kurve in kartesischen Koordinaten durch Elimination des Parameters \( t \):

Die erste Gleichung liefert:

\[ \sin t = x - 1 \]

Unter Verwendung der trigonometrischen Identität \( \sin(2t) = 2\sin t \cos t \) schreiben wir die zweite Gleichung um:

\[ y = 2\sin t \cos t + 2 \]

Da \( \cos t = \pm\sqrt{1 - \sin^2 t} \):

\[ y = \pm 2\sin t \sqrt{1 - \sin^2 t} + 2 \]

Setzen Sie \( \sin t = x - 1 \) ein:

\[ y = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} + 2 \implies y - 2 = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} \]

Quadrieren beider Seiten und Vereinfachen liefert die einzelne kartesische Gleichung:

\[ (y - 2)^2 = 4(x - 1)^2(2x - x^2) \]

Hinweis: Dies verdeutlicht die Einfachheit von Parametergleichungen bei der Darstellung komplexer Kurven, die in kartesischen Koordinaten nur umständlich zu beschreiben wären.

Fragen

Finden Sie für jede der folgenden Mengen von Parametergleichungen eine Gleichung in kartesischen Koordinaten zur Beschreibung der Kurve und zeichnen Sie die resultierenden Kurven.

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t^3 - 1 \\ y(t) &= \dfrac{1}{t - 1} \qquad \text{für} \; t \in [-1, 1.5] \end{aligned} \right. \]

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\sin t - 3 \\ y(t) &= 2\cos t + 4 \qquad \text{für} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\cos(2t) \\ y(t) &= \sin t - 1 \qquad \text{für} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

Lösungen zu den obigen Übungsaufgaben

Lösung zu Frage 1

Lösung zu Frage 1 anzeigen

Lösen Sie \( x = t^3 - 1 \) nach \( t \) auf:

\[ t = \sqrt[3]{x + 1} \]

Setzen Sie \( t \) in \( y \) ein:

\[ \boxed{y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 1} - 1}} \]

Lösung zu Frage 2

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Schreiben Sie die Gleichungen um als:

\[ \sin t = \dfrac{x + 3}{2}, \quad \cos t = \dfrac{y - 4}{2} \]

Setzen Sie in die Identität \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \) ein:

\[ \left(\dfrac{x + 3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y - 4}{2}\right)^2 = 1 \]

Vereinfachen Sie, um die Standard-Kreisgleichung zu erhalten:

\[ \boxed{(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2} \]

Hinweis: Dies ist ein Kreis mit Mittelpunkt \( (-3, 4) \) und Radius \( 2 \).

Lösung zu Frage 3

Lösung zu Frage 3 anzeigen

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos(2t) = 1 - 2\sin^2 t \):

\[ x = 2(1 - 2\sin^2 t) \]

Aus \( y = \sin t - 1 \) erhalten wir \( \sin t = y + 1 \). Setzen Sie dies in die Gleichung für \( x \) ein:

\[ \boxed{x = 2 - 4(y + 1)^2} \]

Hinweis: Dies stellt eine Parabel mit horizontaler Achse und Scheitelpunkt bei \( (2, -1) \) dar.

Graph der Kurven von Parametergleichungen — Abb. 3. Graph der Kurven für alle oben genannten Parametergleichungen

Weitere Referenzen

University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
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