Parametergleichungen werden mit Beispielen und ihren Lösungen vorgestellt. Weitere Fragen mit Lösungen sind enthalten.
Beispiele
Beispiel 1
Einige Kurven lassen sich am besten mit Parametergleichungen \( x \) und \( y \) in Abhängigkeit eines Parameters [1] [2] beschreiben.
Das Folgende ist ein Beispiel für Parametergleichungen \( x(t) \) und \( y(t) \) in Abhängigkeit des Parameters \( t \).
\[
\left\{ \begin{aligned}
x(t) &= t \\\\
y(t) &= 0.5 t^2 \qquad \text{für} \; t \; \in [0,3]
\end{aligned} \right.
\]
Die Darstellung der Kurve der Parametergleichungen erfolgt durch das Finden der \( x \)- und \( y \)-Koordinaten für verschiedene Werte des Parameters \( t \), wie in der folgenden Tabelle gezeigt.
Tabelle 1: Wertetabelle der Parametergleichungen \( x(t) = t \) und \( y(t) = 0.5 t^2 \)
Die Darstellung der durch die Parametergleichungen \( x(t) = t \) und \( y(t) = 0.5 t^2 \) für \( t \) im Bereich \( [0 , 3] \) definierten Kurve ist unten dargestellt.
Jeder Wert von \( t \) bestimmt einen Punkt \( (x,y) \), der in einem Koordinatensystem dargestellt wird. Wenn \( t \) variiert, zeichnet der Punkt \( (x(t), y(t)) \) eine Kurve, die als Parametrische Kurve bezeichnet wird.
Die roten Pfeile geben die Richtung der Zunahme des Parameters \( t \) an.
Abb. 1: Darstellung der Kurve der Parametergleichungen \( x(t) = t \) und \( y(t) = 0.5 t^2 \) Hinweis : Die erhaltene Kurve ist ein Teil einer Parabel, die durch Eliminieren von \( t \) wie folgt erhalten werden kann:
Löse die erste Parametergleichung \( x(t) = t \) nach \( t \) auf, um zu erhalten:
\[ t = x \]
Ersetze \( t \) durch \( x \) in der zweiten Gleichung \( y(t) = 0.5 t^2 \), um zu erhalten:
\[ y = 0.5 x^2 \]
Dies ist eine Parabel.
Bei der Verwendung der \( t \)-Werte im Bereich \( [0 , 3] \) wird nur ein Teil dieser Parabel dargestellt.
Beispiel 2
Dieses Beispiel zeigt den Vorteil der Verwendung einfacher Parametergleichungen zur Beschreibung komplexer Kurven. Die unten angegebenen Parametergleichungen beschreiben die in der Elektrotechnik verwendeten Lissajous-Kurven.
Sei
\[
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) &= \sin t + 1 \\\\
y(t) &= \sin 2t + 2 \qquad \text{für} t \in [0,2\pi]
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\]
Die Wertetabelle von \( x \) und \( y \) für verschiedene Werte des Parameters \( t \) ist unten dargestellt.
Tabelle 2: Wertetabelle der Parametergleichungen \( x(t) = \sin t + 1 \) und \( y(t) = \sin 2t + 2\)
Die Darstellung der durch die Parametergleichungen \( x(t) = \sin t + 1 \) und \( y(t) = \sin 2t + 2\) für \( t \) im Bereich \( [0 , 2\pi] \) definierten Kurve ist unten mit den Pfeilen dargestellt, die die Richtung der Zunahme des Parameters \( t \) anzeigen. Diese Kurve ist eine der
Abb. 2: Darstellung der Kurve der Parametergleichungen \( x(t) = \sin t + 1 \) und \( y(t) = \sin 2t + 2 \)
Lassen Sie uns nun eine Gleichung der Kurve in kartesischen Koordinaten finden, indem wir den Parameter \( t \) eliminieren.
Die erste Gleichung kann umgeschrieben werden als:
\[ \sin t = x - 1\]
Verwende die trigonometrische Identität \( \sin (2 t) = 2 \sin t \cos t \), um die zweite Gleichung umzuschreiben als:
\[ y = 2 \sin t \cos t + 2 \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \cos (t) = \pm \sqrt {1-\sin^2 t}\), um die obige Gleichung umzuschreiben als:
\[ y = \pm 2 \sin t \sqrt {1-\sin^2 t} + 2 \]
Ersetze \( \sin t \) durch \( x - 1 \) in der obigen Gleichung, um zu erhalten:
\[ y = \pm 2 (x - 1) \sqrt{1 - (x-1)^2} + 2 \]
Dies kann geschrieben werden als:
\[ y - 2 = \pm 2 (x - 1) \sqrt{1 - (x-1)^2} \]
Quadriere beide Seiten, vereinfache und schreibe als eine Gleichung:
\[ \left(y-2\right)^{2}=4\left(x-1\right)^{2}\left(2x-x^{2}\right) \]
Hinweis: Dieses Beispiel zeigt die Einfachheit von Parametergleichungen bei der Darstellung komplexer Kurven, die durch eine Gleichung in kartesischen Koordinaten möglicherweise nicht einfach zu beschreiben sind, wie oben gezeigt.
Fragen
Finden Sie eine Gleichung in kartesischen Koordinaten, um die Kurve zu beschreiben, deren Parametergleichungen unten gegeben sind, und stellen Sie dann die Kurven aller drei Sätze von Parametergleichungen dar.
Löse die Gleichung \( x = t^3 - 1 \) nach \( t \) auf:
\[ t = \sqrt[3]{x + 1} \]
Ersetze \( t \) durch \( \sqrt[3]{x + 1} \) in \( y \):
\[ \boxed { y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 1}-1} } \]
Schreibe die Gleichung \( x = 2 \sin t - 3 \) um als:
\[ \sin t = \dfrac{x+3}{2} \]
Schreibe die Gleichung \( y = 2 \cos t + 4 \) um als:
\[ \cos t = \dfrac{y - 4}{2} \]
Ersetze \( \sin t \) und \( \cos t \) in der trigonometrischen Identität \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \) durch ihre Ausdrücke, um zu schreiben:
\[ \left(\dfrac{x+3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y - 4}{2}\right)^2 = 1 \]
Vereinfache und schreibe um als:
\[ \boxed { (x+3)^2 + (y-4)^2 = 2^2 } \]
Hinweis: Dies ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt bei \( (-3,4) \) und Radius gleich \( 2 \).
Verwende die trigonometrische Identität \( \cos (2t) = 1 - 2 \sin^2 t \), um die Gleichung \( x = 2 \cos (2 t) \) umzuschreiben als:
\[ x = 2 (1-2 \sin^2 t) \]
Schreibe die Gleichung \( y = \sin t - 1 \) um als:
\[ \sin t = y + 1 \]
Ersetze \( \sin t \) in \( x = 2 (1-2 \sin^2 t) \) durch \( y + 1 \), um zu erhalten:
\[ \boxed { x = 2-4(y+1)^2 } \]
Hinweis: Dies ist die Gleichung einer Parabel mit horizontaler Achse und Scheitelpunkt bei \( (2,-1) \).
Abb. 3: Darstellung der Kurven aller oben angegebenen Parametergleichungen
Weitere Referenzen
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
