Ableitungen von Parametergleichungen und Anwendungen

Die Ableitung der Parametergleichungen werden mit Beispielen und deren Lösungen vorgestellt. Einige Anwendungen zur Bestimmung von Tangentensteigungen sind ebenfalls enthalten. Weitere Fragen mit Lösungen sind enthalten.

Erste und zweite Ableitungen von Parametergleichungen

Gegeben seien Parametergleichungen der Form \[ \left\{ \begin{aligned} x(t) & \\ y(t) & \end{aligned} \right. \] was ist die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Zuerst findet man die Ableitung \( \dfrac{dy}{dt} \) mithilfe der Kettenregel der Differentiation wie folgt \[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \dfrac{dx}{dt} \] Teilen Sie die linke und rechte Seite durch \( \dfrac{dx}{dt} \) und vereinfachen Sie, um zu erhalten \[ \boxed {\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \qquad \text{falls} \; \dfrac{dx}{dt} \ne 0} \qquad (I)\] Die zweite Ableitung ist definiert durch \[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \] Die rechte Seite oben wird erhalten, indem man \( y \) durch \( \dfrac{dy}{dx} \) in Formel (I) oben ersetzt, daher \[ \boxed{ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} } \qquad (II)\]

Beispiele und ihre Lösungen

Beispiel 1
Gegeben seien Parametergleichungen der Form \( \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x(t) & = 2 t + 1 \\ y(t) & = t^2 -2 \end{aligned} \right. \end{equation} \), was ist die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \)?

Lösung zu Beispiel 1
Finden Sie \( \dfrac{dy}{dt} \) und \( \dfrac{dx}{dt} \) \[ \dfrac{dy}{dt} = 2 t \] \[ \dfrac{dx}{dt} = 2 \] Verwenden Sie die obige Formel in (I), um zu erhalten \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \\[30pt] = \dfrac{2 t}{2} \] Vereinfachen \[ \dfrac{dy}{dx} = t \qquad (I) \] Wir können \( \dfrac{dy}{dx} \) auch in Termen von \( x \) ausdrücken. Verwenden Sie die Parametergleichung \( x = 2 t + 1 \), um \( t \) in Termen von \( x \) zu finden \[ t = \dfrac{x - 1}{2} \] Ersetzen Sie \( t \) durch \( \dfrac{x - 1}{2} \) in (I) oben \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - 1}{2} \]

Beispiel 2
a) Finden Sie die erste Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) und die zweite Ableitung \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) für die gegebenen Parametergleichungen \( \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x(t) & = 2(t - \sin t) \\ y(t) & = 2(1 - \cos t) \end{aligned} \right. \end{equation} \) und bestimmen Sie die Krümmung der Kurve.
b) Verwenden Sie einen Grafik-Taschenrechner, um die Antwort zur Krümmung in Teil a) zu überprüfen.

Lösung zu Beispiel 2
a)
Finden Sie \( \dfrac{dy}{dt} \) und \( \dfrac{dx}{dt} \) \[ \dfrac{dy}{dt} = 2 \sin t \] \[ \dfrac{dx}{dt} = 2 (1 - \cos t) \] Verwenden Sie Formel (I) oben, um \( \dfrac{dy}{dx} \) zu finden \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \\[35 pt] = \dfrac{\sin t}{ (1 - \cos t) } \] Wir berechnen nun \( \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right) \) \[ \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{ \sin t}{ 1 - \cos t } \right) \\ = \dfrac{1}{\cos t - 1} \] Verwenden Sie Formel (II) und die obige Ableitung, um die zweite Ableitung zu erhalten \[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} \\[30 pt] = \dfrac{ \dfrac{1}{\cos t - 1} }{ 2 (1 - \cos t) } \] Vereinfachen \[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = - \; \frac{1}{2\left(\cos \left(t\right)-1\right)^2} \] Die zweite Ableitung ist immer negativ, außer bei Werten von \( t \), die den Nenner gleich \( 0 \) machen, daher ist die Kurve der gegebenen Parametergleichungen konkav nach unten.

b)
Der Plot der gegebenen Parametergleichungen ist unten gezeigt, und man kann sehen, dass die Kurve konkav nach unten ist, wie in Teil a) oben gezeigt. Der Plot wird Zykloid genannt.

Beispiel 3
a) Verwenden Sie einen Grafik-Taschenrechner, um die Kurve zu plotten, die durch die Parametergleichung definiert ist \( \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x(t) & = \sin t \\ y(t) & = \sin t \cos t \end{aligned} \right. , t \in [0,2\pi] \end{equation} \)

b) Finden Sie die erste Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) und die Gleichung der Tangenten am Punkt \( (0,0) \) und plotten Sie diese.

Lösung zu Beispiel 3
a)
Der Plot der gegebenen Parametergleichungen ist unten gezeigt.

Fragen

1. Frage 1
   a) Gegeben sind die Parametergleichungen \( \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x(t) & = \cos t + 2 \\ y(t) & = \sin t - 1 \end{aligned} \right. \end{equation} t \in [ \pi , 2 \pi ] \), finden Sie die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) bei \( t = \dfrac{3 \pi}{2} \).
   b) Wie ist die Krümmung der Kurve, deren Parametergleichungen in Teil a) gegeben sind?
   c) Plotten Sie die Kurve der gegebenen Parametergleichungen und überprüfen Sie Ihre Antworten zu Teil a) und b) oben.
   
   
2. Frage 2
   Eine Kurve ist durch ihre Gleichung in Polarkoordinaten als \( r = 3-3\cos\theta \) gegeben.
   a) Finden Sie die Steigung der Tangente an die Kurve für \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \)
   b) Finden Sie \( \theta \) und \( r \), so dass die Tangente an die Kurve horizontal ist.
   c) Verwenden Sie einen Grafik-Taschenrechner, um \( r \) in Polarkoordinaten zu zeichnen und die Antworten zu Teil b) zu überprüfen.
   
   
3. Frage 3
   In Polarkoordinaten ist die Gleichung eines Kreises mit Radius \( R \) und Mittelpunkt im Ursprung gegeben durch \( r = R \).
   Finden Sie die kartesischen Koordinaten aller Punkte auf dem Kreis mit Radius 2 und Mittelpunkt im Ursprung, so dass die Tangenten an diesen Punkten eine Steigung von \( \dfrac{1}{2} \) haben.

Lösungen zu den obigen Übungen

1. Lösung zu Frage 1
   a)
   Finden Sie die Ableitungen \( \dfrac{dy}{dt} \) und \( \dfrac{dx}{dt} \). \[ \dfrac{dy}{dt} = \cos t \] \[ \dfrac{dx}{dt} = - \sin t \] Finden Sie die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) mit Formel (I) oben. \[ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{\cos t}{\sin t} = - \cot t\] Berechnen Sie \( \dfrac{dy}{dx} \) bei \( t = \dfrac{3 \pi }{2} \) \[ \dfrac{dy}{dx} = - \cot \left(\dfrac{3 \pi }{2} \right) = 0\]
   
   b)
   Die Krümmung wird durch die zweite Ableitung \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) gegeben, die durch Formel (II) oben gegeben ist.
   \[ \begin{aligned} & \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} \\[15pt] & \color{red}{\text{Ersetzen Sie \( \dfrac{dy}{dx} \) und \( \dfrac{dx}{dt} \) }} \\[12pt] & = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left( - \cot t \right)}{- \sin t} \\[15pt] & \color{red}{\text{Berechnen Sie den obigen Ausdruck, um zu erhalten}} \\[8pt] & \dfrac{d^2 y}{dx^2} = -\csc^3 (x) \\[15pt] \end{aligned} \]
   
   \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \) ist negativ im Intervall \( (\pi , 2\pi) \) und daher ist die zweite Ableitung \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} = - \csc^3 (x) \) positiv und daher ist die Kurve konkav nach oben im Intervall \( (\pi , 2\pi) \).
   
   c)
   Der Plot der gegebenen Parametergleichungen ist unten gezeigt, und wir können sehen, dass die Tangente bei \( t=\dfrac{3\pi}{2} \) horizontal ist, wie in Teil a) vorhergesagt, wo die gefundene Steigung gleich Null ist.
   Die Kurve ist konkav nach oben, wie in Teil b) oben vorhergesagt.
   
   

   
   

   
   
   
   
2. Lösung zu Frage 2
   a)
   Die Parametergleichungen der Kurve, die in Polarkoordinaten als \( r = 3-3\cos\theta \) gegeben ist.
   Unter Verwendung der Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten, schreiben wir die Parametergleichungen als
   \( x(\theta) = r \cos \theta = (3-3\cos\theta)\cos \theta \)
   und
   \( y(\theta) = r \sin \theta = (3-3\cos\theta)\sin \theta \)
   wobei \( \theta \) der Polarwinkel ist.
   Verwenden Sie Formel (I), um die Ableitung und damit die Steigung der Tangente zu finden. \[ \begin{aligned} & \dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) \\[15pt] & \dfrac{dx}{d\theta} = 3\sin (2\theta)-3\sin \theta \end{aligned} \] und daher \[ \begin{aligned} &\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \\[15pt] & \color{red}{\text{Ersetzen Sie \( \dfrac{dy}{d\theta} \) und \( \dfrac{dx}{d\theta} \) durch ihre oben gefundenen Ausdrücke} } \\[12pt] & \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) }{3\sin (2\theta)-3\sin \theta } \\[15pt] & \color{red}{\text{Die Steigung \( m \) bei \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) ist gegeben durch den Wert der ersten Ableitung \( \dfrac{dy}{d\theta} \) bei \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \). Daher}} \\[10pt] & m = \dfrac{3\sin^2 \left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) ( 3-3\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)) }{3\sin (2\left(\dfrac{\pi}{4}\right))-3\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right) } \\[15pt] & = \sqrt{2}+1 \\[15pt] & \approx 2.41 \end{aligned} \]
   b)
   Damit die Tangente horizontal ist, muss die Steigung, gegeben durch die erste Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \), gleich Null sein.
   Daher müssen wir \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \) lösen, so dass \( \dfrac{dx}{d\theta} \ne 0 \). \[ 3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) = 0 \] Verwenden Sie die Identität \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \) in der obigen Gleichung und schreiben Sie um als \[ 3 (1 - \cos^2 \theta ) + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) = 0 \] Fassen Sie gleiche Terme zusammen, vereinfachen Sie und schreiben Sie um als \[ 2 \cos^2 \theta - \cos \theta - 1 = 0\] Lösen Sie die obige quadratische Gleichung, um zu finden
   \( \cos \theta =1 \) und \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \)
   was die Lösungen Winkel ergibt
   \( \theta_1 = 0 \qquad \) , \( \qquad \theta_2 = \dfrac{2\pi}{3} \qquad \) und \( \qquad \theta_3 = \dfrac{4\pi}{3} \)
   Hinweis dass \( \theta_1 = 0 \) nicht als Lösung akzeptiert wird, weil es den Nenner \( \dfrac{dx}{d\theta} \) gleich Null machen würde.
   Finden Sie \( r \) bei \( \qquad \theta = \dfrac{2\pi}{3} \) , \( \qquad r = 3-3 \cos \left(\dfrac{2\pi}{3} \right) = 4.5 \)
   Finden Sie \( r \) bei \( \qquad \theta = \dfrac{4\pi}{3} \) , \( \qquad r = 3-3 \cos \left(\dfrac{4\pi}{3} \right) = 4.5 \)
   c)
   Der Plot der gegebenen Polargleichungen ist unten gezeigt, und wir können sehen, dass die Tangenten an den Polarpunkten \( \left(4.5 , \left(\dfrac{2\pi}{3} \right) \right) \) und \( \left(4.5 , \left(\dfrac{4\pi}{3} \right) \right) \) horizontal sind, wie in Teil b) vorhergesagt.
   
   

   
   

   
   
   
   
3. Lösung zu Frage 3
   Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten, wir schreiben die Parametergleichungen als
   \( x(\theta) = r \cos \theta = 2 \cos \theta \)
   und
   \( y(\theta) = r \sin \theta = 2 \sin \theta \)
   wobei \( \theta \) der Polarwinkel ist.
   Berechnen Sie \( \dfrac{dy}{d\theta} \) und \( \dfrac{dx}{d\theta} \) \[ \dfrac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta \] \[ \dfrac{dx}{d\theta} = - 2 \sin \theta \] Finden Sie \( \dfrac{dy}{dx} \) mit Formel (I) oben \[ \begin{aligned} &\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \\[15pt] & \color{red}{\text{Ersetzen Sie \( \dfrac{dy}{d\theta} \) und \( \dfrac{dx}{d\theta} \) durch ihre oben gefundenen Ausdrücke} } \\[12pt] & = \dfrac{ 2 \cos \theta }{- 2 \sin \theta} \\[15pt] & \color{red}{\text{Vereinfachen Sie den obigen Ausdruck} } \\[12pt] & = - \cot \theta \end{aligned} \]
   Die Steigung an einem gegebenen Punkt des Kreises ist gleich dem Wert der oben gefundenen Ableitung. Daher müssen wir die Gleichung lösen \[ - \cot \theta = 2 \] was die allgemeinen Lösungen ergibt \( \theta = 2.68 +\pi n \) wobei \( n = 0, \pm 1 , \pm 2, .... \) Wir benötigen zwei Lösungen im Intervall \( [0, 2\pi ] \)
   In Bogenmaß
   \( \theta_1 \approx 2.68 \qquad \) und \( \qquad \theta_2 \approx 2.68 + \pi = 5.82 \)
   In Grad
   \( \theta_1 \approx 153.55^{\circ} \qquad \) und \( \qquad \theta_2 = 333.46^{\circ} \)
   Die Koordinaten von Punkt A, entsprechend der Lösung \( \theta_1 \), sind gegeben durch \[ (2 \cos \theta_1 , 2 \sin \theta_1) = (-1.79 , 0.89) \] Die Koordinaten von Punkt B, entsprechend der Lösung \( \theta_2 \), sind gegeben durch \[ (2 \cos \theta_2 , 2 \sin \theta_2) = (1.79 , -0.89) \]
   
   

   
   

   
   

Weitere Referenzen und Links

1. Parametergleichungen
2. Krümmung und Wendepunkte von Graphen
3. Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten und umgekehrt
4. Analysis-Aufgaben