Konvergente und divergente Reihen

Definition von Reihen

Sei \( \displaystyle \left\{a_n \right\}_1^{\infty} \) eine unendliche Folge. Die unendliche Summe: \[ a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots \] wird als Reihe bezeichnet.

Die Reihe kann auch unter Verwendung des Summenzeichens \( \displaystyle \sum \) wie folgt geschrieben werden: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i \]

Beachten Sie, dass wir eine Reihe haben, wenn die obere Grenze der Summe unendlich ist wie in \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \), und eine Partialsumme, wenn die obere Grenze der Summe endlich ist wie in \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i \).

Konvergente und divergente Reihen

Wir diskutieren zunächst die Konvergenz und Divergenz von Reihen anhand von Graphen und zwei Beispielen.

Beispiel 1 - Konvergente Reihe

Sei \( a_i = \dfrac{1}{4^i} \) und definieren wir die Partialsummen als: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \]

Die Wertetabelle von \( n \), \( a_n \) und den endlichen Summen \( s_n \), definiert durch:

, ist unten dargestellt. Beachten Sie, dass sich die Partialsumme \( s_n \) dem Wert \( 2 \) annähert, wenn wir weitere Terme hinzufügen, wie in Tabelle 1 und Graph 1 unten deutlich zu sehen ist.

Wenn \( n \) wächst, strebt die Partialsumme \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) gegen einen konstanten Wert gleich \( 2 \). Wir können daher sagen, dass die Reihe \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^i} \) gegen \( 2 \) konvergiert.

Beispiel 2 - Divergente Reihe

Sei \( a_i = (-2)^i \) und definieren wir die Partialsummen als: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \]

Unten ist die Wertetabelle von \( n \), \( a_n \) und den endlichen Summen \( s_n \) dargestellt. Wenn wir weitere Terme hinzufügen, zeigt weder Tabelle 2 noch Graph 2 eine Konvergenz gegen einen Wert. Die Partialsumme besitzt keinen Grenzwert, und wir betrachten die Reihe \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} (-2)^i \) als divergent.

Formale Definition von konvergenten und divergenten Reihen

Gegeben sei eine Reihe: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \] Sei \( S_n \) die Partialsumme: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

Wenn \( \lim_{n\to\infty} S_n \) existiert und: \[ \lim_{n\to\infty} S_n = s \] wobei \( s \) eine reelle Zahl ist, sagen wir, dass die Reihe \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) konvergent ist, und schreiben: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots = s \]

Wenn \( \lim_{n\to\infty} S_n \) nicht existiert oder keine reelle Zahl ist, ist die Reihe \( \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) divergent. Wir können auch schreiben: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} a_i \]

Geometrische Reihen

Eine geometrische Reihe ist definiert als: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a \, r^{i-1} = a + a \, r + a \, r^2 + \dots \] wobei \( r \) als Quotient bezeichnet wird.

Sei \( S_n \) die durch folgende Gleichung definierte Partialsumme: \[ S_n = a + a \, r + a \, r^2 + \dots + a \, r^{n-1} \quad (I) \] Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( r \): \[ r \, S_n = a \, r + a \, r^2 + a \, r^3 + \dots + a \, r^n \quad (II) \] Subtrahieren Sie (II) von (I): \[ S_n - r \, S_n = a(1 - r^n) \implies S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \implies S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

Aus der Grenzwerte-Theorie ist bekannt, dass \( \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \) für \( |r| < 1 \) gilt. Daher stellen wir fest:

Beispiel 3 - Geometrische Reihe

Welche der folgenden geometrischen Reihen sind konvergent? Bestimmen Sie die Summe, falls möglich.

1. \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \)
2. \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2i}}{10^{i-1}} \)
3. \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} \)

Lösungen zu Beispiel 3

1. Die Reihe \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \) hat den Quotienten \( r = \dfrac{-\frac{12}{5}}{4} = -\dfrac{3}{5} \).
   Da \( |r| = \dfrac{3}{5} < 1 \), ist die Reihe konvergent.
   Mit dem ersten Glied \( a = 4 \) beträgt die Summe: \[ \sum = \frac{4}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{4}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{4}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{2} \]
2. Schreiben Sie die Reihe um: \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{3^{2i}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(3^2)^i}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{9 \cdot 9^{i-1}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} 9 \left(\frac{9}{10}\right)^{i-1} \] Erstes Glied \( a = 9 \), Quotient \( r = \dfrac{9}{10} < 1 \). Die Reihe ist konvergent: \[ \sum = \frac{9}{1 - \frac{9}{10}} = 90 \]
3. Schreiben Sie die Reihe um: \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5^{-i} \, 2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^2}{5^1} \cdot \frac{5^i}{2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{5^{i-1}}{2^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{5}{2}\right)^{i-1} \] Der Quotient ist \( r = \dfrac{5}{2} > 1 \), daher ist die Reihe divergent.

Arithmetische Reihen sind divergent

Eine arithmetische Reihe ist gegeben durch: \[ \sum_{i=1}^{\infty} (a + (i-1)d) = a + (a + d) + (a + 2d) + \dots \] Die Partialsumme \( S_n \) ist: \[ S_n = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2} = \frac{nd}{2}n + n\left(a - \frac{d}{2}\right) \] Da \( \lim_{n\to\infty} S_n = \infty \), sind alle arithmetischen Reihen divergent.

Satz über Kombinationen konvergenter Reihen

Wenn \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L_1 \) und \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = L_2 \) konvergente Reihen sind und \( k_1, k_2 \) reelle Zahlen sind, dann ist jede Linearkombination konvergent: \[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = k_1 L_1 + k_2 L_2 \]

Beispiel 4

Berechnen Sie, falls möglich, die folgenden Reihen:

1. \( \left(2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dots\right) + \left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \dots\right) \)
2. \( -3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{i-1} - 4 \sum_{i=1}^{\infty} 0.7^{i-1} \)
3. \( \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^i + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^i - 7 \cdot 2^i}{5^{i-1}} \)

Lösungen zu Beispiel 4

1. Erste Reihe: \( A_1 = 2, R_1 = -\dfrac{1}{2} \implies \dfrac{2}{1 - (-1/2)} = \dfrac{4}{3} \).
   Zweite Reihe: \( A_2 = -\dfrac{1}{3}, R_2 = -\dfrac{1}{3} \implies \dfrac{-1/3}{1 - (-1/3)} = -\dfrac{1}{4} \).
   Summe = \( \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12} \).
2. Erste Reihe: \( A_1 = 1, R_1 = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2 \).
   Zweite Reihe: \( A_2 = 1, R_2 = 0.7 \implies \dfrac{1}{1 - 0.7} = \dfrac{10}{3} \).
   Gesamtsumme = \( -3(2) - 4\left(\dfrac{10}{3}\right) = -6 - \dfrac{40}{3} = -\dfrac{58}{3} \).
3. Schreiben Sie als Kombination geometrischer Reihen um: \[ 0.2 \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^{i-1} + 3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^{i-1} - 14 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{i-1} \] Auswertung jeder Summe: \[ 0.2\left(\frac{1}{1-0.2}\right) + 3\left(\frac{1}{1-3/5}\right) - 14\left(\frac{1}{1-2/5}\right) = \frac{1}{4} + \frac{15}{2} - \frac{70}{3} = -\frac{187}{12} \]

Weitere Referenzen und Links

1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
2. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
3. Folgen und Summation
4. Einführung in Grenzwerte
5. AnalyzeMath Startseite