Konvergenz und Divergenz von Reihen werden anhand von Beispielen und deren detaillierten Lösungen vorgestellt.
Definition einer Reihe
Sei \( \displaystyle \left\{a_n \right\}_1^{\infty} \) eine unendliche Folge. Die unendliche Summe
\[ a_1 + a_2 + a_3 + ... + \; a_n \; + ... \]
wird als Reihe bezeichnet. [1] [2]
Die Reihe kann auch mit dem Symbol \( \displaystyle \sum \) geschrieben werden als
\[ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \]
Hinweis: Wenn die obere Grenze der Summe unendlich ist wie in \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \), haben wir eine Reihe, und wenn die obere Grenze der Summe endlich ist wie in \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i \), haben wir eine Partialsumme.
Konvergente und divergente Reihen
Wir diskutieren zunächst die Konvergenz und die Divergenz von Reihen anhand von Graphen an zwei Beispielen.
Beispiel 1 - Konvergente Reihe
Sei \( a_i = \dfrac{1}{4^i} \) und definiere die Partialsummen als
\( \displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)
Die Tabelle der Werte von \( n \), \( a_n \), den endlichen Summen \( s_n \), definiert durch
\begin{aligned}
& s_1 = a_1\\
& s_2 = a_1+a_2\\
& s_3 = a_1 + a_2 + a_3\\
& s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4\\
\end{aligned}
sind unten dargestellt.
Hinweis: Je mehr Terme wir zur Partialsumme \( s_n \) hinzufügen, desto näher kommt sie an \( 2 \) heran, was aus Tabelle 1 und Grafik 1 unten deutlich wird.
Tabelle 1 - Wertetabelle von \(n , a_n\) und den Partialsummen \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)
Die Darstellung von \( s_n \) für \( n=1, 2, 3... \) gegen \( n \) ist unten gezeigt, und wir stellen fest, dass \( s_n \) mit zunehmendem \( n \) gegen einen konstanten Wert von \( 2 \) tendiert.
Grafik 1 - Graph der Partialsummen \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)
Man kann sagen, dass mit zunehmendem \( n \) die Partialsumme \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) gegen \( 2 \) tendiert oder einen Grenzwert von \( 2 \) hat, und wir könnten daher annehmen, dass die Reihe \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^i} \) konvergent gegen \( 2 \) ist.
Beispiel 2 - Divergente Reihe
Sei \( a_i = (-2)^i \) und definiere die Partialsummen als
\( S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \)
Unten ist die Tabelle der Werte von \( n \), \( a_n \), den endlichen Summen \( s_n \) dargestellt.
Je mehr Terme wir zur Partialsumme \( s_n \) hinzufügen, zeigen weder die Werte in Tabelle 2 noch in Grafik 2 eine Konvergenz gegen einen Wert.
Man kann sagen, dass mit zunehmendem \( n \) die Partialsumme \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \) keinen Grenzwert hat, und wir könnten daher annehmen, dass die Reihe \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} (-2)^i \) divergent ist.
Tabelle 2 - Wertetabelle der Partialsummen \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \) Grafik 2 - Graph der Partialsummen \( \displaystyle \sum (-2)^i \)
Formale Definition von konvergenten und divergenten Reihen
Gegeben sei eine Reihe
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... \]
Sei \( S_n \) die Partialsumme
\[
S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + ... + a_n
\]
Wenn \( \lim_{n\to\infty} S_n \) existiert und
\[ \lim_{n\to\infty} S_n = s \]
wobei \( s \) eine reelle Zahl ist; sagen wir, dass die Reihe \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) konvergent ist und schreiben
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 +..... = s \]
Wenn \( \lim_{n\to\infty} S_n \) nicht existiert oder keine reelle Zahl ist, ist die Reihe \( \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) divergent.
Wir können auch schreiben, dass
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} a_i \]
Geometrische Reihe
Die geometrische Reihe ist wie folgt definiert
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a \; r^{i-1} = a + a \; r + a \; r^2 +.... \]
wobei \( r \) als gemeinsames Verhältnis bezeichnet wird.
Sei \( S_n \) die Partialsumme, definiert durch
\[ S_n = a + a \; r + a \; r^2 + ... + a \; r^{n-1} \quad (I) \]
Multipliziere beide Seiten der obigen Gleichung mit dem gemeinsamen Verhältnis \( r \), um zu erhalten
\[ r \; S_n = a \; r + a \; r^2 + a \; r^3 + ... + a \; r^n \quad (II) \]
Subtrahiere die Gleichungen (I) und (II) voneinander, um zu erhalten
\[ s_n - r \; S_n = (a + a \; r + a \; r^2 + ... + a \; r^{n-1}) - (a \; r + a \; r^2 + a \; r^3 + ... + a \; r^n) \]
Vereinfache die rechte Seite und faktorisiere beide Seiten
\[ s_n(1 - r) = a(1 - r^n) \]
Löse nach \( S_n \) auf
\[ S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]
Aus der Grenzwertrechnung ist bekannt, dass \( \quad \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \) wenn \( \quad |r| \lt 1 \)
Wir können daher Folgendes feststellen:
Eine geometrische Reihe, gegeben durch
\[ \sum_{i=1}^{\infty} a r^{i-1} = a + a r + a r^2 + ... \]
ist konvergent, wenn das gemeinsame Verhältnis \( r \) so ist, dass \( |r| \lt 1 \), und ihre Summe ist gegeben durch
\[ \boxed { \sum_{i=1}^{\infty} a r^{i-1} = \dfrac{ a }{1 - r} \quad , \quad |r| \lt 1 } \qquad (III)\]
Wenn \( |r| \gt 1 \), ist die geometrische Reihe divergent.
Beispiel 3 - Geometrische Reihe
Welche der folgenden geometrischen Reihen sind konvergent? Finde die Summe, falls möglich.
Die Reihe \[ 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{ 25} - \dfrac{108}{125} ... \] hat das gemeinsame Verhältnis \( r = \dfrac{- \dfrac{12}{5}}{4} = - \dfrac{3}{5} \)
\( |r| = \dfrac{3}{5} \) und da \( |r| \lt 1 \), ist die gegebene Reihe konvergent.
Das erste Glied der Reihe ist \( a = 4 \), und unter Verwendung der Formel (III) erhalten wir
\[ 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{ 25} - \dfrac{108}{125} ... = \dfrac{4}{1 + \dfrac{3}{5} } = \dfrac{5}{2} \]
Schreibe die gegebene Reihe um als
\[
\begin{aligned}
& \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2 i}}{10^{i -1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{(3^2)^i} {10^{i-1}}\\[15pt]
& \text {Schreibe den Zähler wie folgt um} \\[15pt]
& = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{(3^2) (3^2)^{i-1}} {10^{i-1}}\\[15pt]
& \text {was geschrieben werden kann als} \\[15pt]
& = \sum_{i=1}^{\infty} 9 \left(\dfrac{9}{10}\right)^{i-1}\\[15pt]
\end{aligned}
\]
Das erste Glied \( a = 9 \) und das gemeinsame Verhältnis \( r = \dfrac{9}{10} \), daher ist \( |r| \lt 1 \) und die Reihe ist konvergent und ist gegeben durch
\[ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2 i}}{10^{i -1}} = \dfrac{9}{1 - \dfrac{9}{10}} = 90 \]
\[
\begin{aligned}
& \text{Schreibe die Reihe mit Potenzen von \( 2 \) und \( 5 \)} \\[15pt]
& \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{2^2}{5^1}\cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} \\[15pt]
& \text{Vereinfache die Potenzen mit gleicher Basis und schreibe mit positiven Exponenten} \\[15pt]
& = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{5^{i - 1}}{ 2^{i-1}} \\[15pt]
& \text{Schreibe um als} \\[15pt]
& = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{5}{2}\right)^{i - 1} \\[15pt]
\end{aligned} \]
Das gemeinsame Verhältnis der gegebenen geometrischen Reihe ist \( r = \dfrac{5}{2} \) und daher ist \( |r| \gt 1 \), folglich ist die Reihe divergent.
Arithmetische Reihen sind divergent
Eine arithmetische Reihe ist gegeben durch
\[ \sum_{i=1}^{\infty} (a + (i - 1) d) = a + (a + d) + (a + 2 d) + ... \]
Sei
\( S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (a + (i - 1) d) \)
Daher
\( S_n = a + (a + d) + (a + 2 d) + ... + (a + (n-1)d ) \qquad (I) \)
Schreibe \( S_n \) um, indem du die Reihenfolge in der obigen Summe umkehrst, vom letzten Glied zum ersten Glied.
\( S_n = (a + (n-1)d ) + (a + (n-2)d ) + (a + (n-3)d ) + ... (a+d) + a ) \qquad (II) \)
Beachte:
1) Addiert man das erste Glied in (I) und (II), erhält man \( a + (a + (n-1)d ) = 2 a + (n-1) d \)
2) Addiert man das zweite Glied in (I) und (II), erhält man \( a + d + (a + (n-2)d ) = 2 a + (n-1) d \)
3) Addiert man das dritte Glied in (I) und (II), erhält man \( a + 2 d + (a + (n-3)d ) = 2 a + (n-1) d \)
Beachte, dass es \( n \) Terme auf den rechten Seiten von (I) und (II) gibt, und durch Addition von (I) und (II) Term für Term erhalten wir
\( 2 S_n = n ( 2 a + (n-1) d ) \)
und
\[ S_n = \dfrac{ n ( 2 a + (n-1) d )}{2} \]
Erweitere den Zähler und schreibe
\[ S_n = \dfrac{n^2d}{2} + n (a -\dfrac{d}{2} ) \]
Beachte, dass
\[ \lim_{n\to\infty} (\dfrac{n^2d}{2} + n (a -\dfrac{d}{2} )) = \infty \]
und daher sind alle arithmetischen Reihen divergent.
Theorem zu Kombinationen konvergenter Reihen
Wenn \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) und \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) konvergente Reihen sind, so dass \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L_1\) und \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = L_2\) und \( k_1 \) und \( k_2 \) reelle Zahlen sind, dann ist jede lineare Kombination der gegebenen Reihen der Form
\[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n \]
konvergent und ist gegeben durch
\[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = k_1 L_1 + k_2 L_2 \]
