Numerische und grafische Ansätze werden verwendet, um das Konzept von Grenzwerten anhand von Beispielen einzuführen.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
Numerischer Ansatz für Grenzwerte
Beispiel 1
Sei \( f(x) = 2x + 2 \) und berechne \( f(x) \), während \( x \) Werte annimmt, die näher an 1 liegen. Wir betrachten zunächst Werte von \( x \), die sich der 1 von links nähern (\( x < 1 \)).
Wir betrachten nun \( x \), das sich der 1 von rechts nähert (\( x > 1 \)).
In beiden Fällen nähert sich \( f(x) \) der 4, wenn sich \( x \) der 1 nähert. Intuitiv sagen wir, dass \( \lim_{x \to 1} f(x) = 4 \) ist.
HINWEIS: Wir sprechen über die Werte, die \( f(x) \) annimmt, wenn sich \( x \) dem Wert \( 1 \) nähert, und nicht über \( f(1) \). Tatsächlich können wir über den Grenzwert von \( f(x) \) sprechen, wenn sich \( x \) dem Wert \( a \) nähert, selbst wenn \( f(a) \) undefiniert ist.
Beispiel 2
Sei \( g(x) = \dfrac{\sin x}{x} \) und berechne \( g(x) \), während \( x \) Werte annimmt, die näher an 0 liegen. Wir betrachten Werte von \( x \), die sich der 0 von links nähern (\( x < 0 \)), und Werte von \( x \), die sich der 0 von rechts nähern (\( x > 0 \)).
Hier sagen wir, dass \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \) ist. Beachten Sie, dass \( g(0) = \dfrac{\sin 0}{0} = \dfrac{0}{0} \) bei \( x = 0 \) undefiniert ist.
Grafischer Ansatz für Grenzwerte
Beispiel 3
Das Diagramm unten zeigt, dass sich \( y = f(x) \) der 2 nähert, wenn sich \( x \) von links der 1 nähert, und dies kann wie folgt geschrieben werden:
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]Wenn sich \( x \) von rechts der 1 nähert, nähert sich \( y = f(x) \) der 4, und dies kann wie folgt geschrieben werden:
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]Beachten Sie, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sowie \( f(1) = 3 \) alle unterschiedlich sind.
Beispiel 4
Dieses Diagramm zeigt, dass:
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]Wenn sich \( x \) von rechts der 1 nähert, nähert sich \( y = f(x) \) der 4, und dies kann wie folgt geschrieben werden:
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]Beachten Sie, dass der linksseitige Grenzwert \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \) und \( f(1) = 2 \) gleich sind.
Beispiel 5
Dieses Diagramm zeigt, dass:
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \]und
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \]Beachten Sie, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sind und wir schreiben können:
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \]In diesem Beispiel ist der Grenzwert, wenn sich \( x \) der 0 nähert, gleich \( f(0) = 1 \).
Beispiel 6
Dieses Diagramm zeigt, dass sich \( f(x) \) ohne Schranke verkleinert, wenn sich \( x \) von links der -2 nähert, und es keinen Grenzwert gibt. Wir schreiben:
\[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty \]Wenn sich \( x \) von rechts der -2 nähert, wird \( f(x) \) ohne Schranke größer und es gibt keinen Grenzwert. Wir schreiben:
\[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty \]Beachten Sie, dass \( -\infty \) und \( +\infty \) Symbole und keine Zahlen sind. Dies sind Symbole, die anzeigen, dass der Grenzwert nicht existiert.
Beispiel 7
Das Diagramm unten zeigt eine periodische Funktion, deren Wertebereich durch das Intervall \([-1, 1]\) gegeben ist. Wenn \( x \) unbeschränkt wachsen darf, nimmt \( f(x) \) Werte im Intervall \([-1, 1]\) an und hat keinen Grenzwert. Dies kann geschrieben werden als:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{existiert nicht} \]Wenn \( x \) unbeschränkt abnehmen darf, nimmt \( f(x) \) wieder Werte im Intervall \([-1, 1]\) an und hat keinen Grenzwert. Dies kann geschrieben werden als:
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \text{existiert nicht} \]
Beispiel 8
Wenn \( x \) unbeschränkt wachsen darf, nähert sich \( f(x) \) im Diagramm unten der 2. Dies kann geschrieben werden als:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]Wenn \( x \) unbeschränkt abnehmen darf, nähert sich \( f(x) \) der 2. Dies kann geschrieben werden als:
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \]
