Eine Reihe von Fragen zum Konzept einer Funktion in der Analysis wird zusammen mit detaillierten Lösungen präsentiert. Diese Übungen sollen Ihnen helfen, ein tiefes Verständnis für Funktionen zu entwickeln, einschließlich ihrer Definitions- und Wertebereiche. Wenn Sie bei einer Frage Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie die entsprechenden Definitionen und Theoreme.
Richtig oder Falsch: Sind die beiden Funktionen \( f \) und \( g \), definiert durch \[ f(x) = 3x + 3, \quad x \in \mathbb{R}, \quad \text{und} \quad g(t) = 3t + 3, \quad t > 0 \] gleich?
Antwort: Falsch. Zwei Funktionen sind gleich, wenn ihre Funktionsvorschriften identisch sind und ihre Definitionsbereiche übereinstimmen.
Wenn die Funktionen \( f \) und \( g \) die Definitionsbereiche \( D_f \) bzw. \( D_g \) haben, dann ist der Definitionsbereich von \( \frac{f}{g} \):
Antwort: (C). Division durch Null ist nicht erlaubt.
Richtig oder Falsch: Der Graph von \( f(x) \) und \( f(x+2) \) sind identisch.
Antwort: Falsch. Der Graph von \( f(x+2) \) ist der Graph von \( f(x) \), um 2 Einheiten nach links verschoben.
Sei \( [a, b] \) der Definitionsbereich von \( f \). Was ist der Definitionsbereich von \( f(x-3) \)?
Antwort: (D). Der Graph von \( f(x-3) \) ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben, daher werden die Intervallenden um 3 erhöht.
Sei \( (a, +\infty) \) der Wertebereich von \( f \). Was ist der Wertebereich von \( f(x)-4 \)?
Antwort: (A). Da \( f(x) > a \), ergibt die Subtraktion von 4 \( f(x)-4 > a-4 \), also ist der Wertebereich \( (a-4, +\infty) \).
Richtig oder Falsch: Die Gleichung \( y = |x| \), mit \( y \ge 0 \), stellt \( y \) als eine Funktion von \( x \) dar.
Antwort: Richtig.
Richtig oder Falsch: Die Gleichung \( x = |y| \), mit \( x \ge 0 \), stellt \( y \) als eine Funktion von \( x \) dar.
Antwort: Falsch. Das Auflösen nach \( y \) ergibt \( y = x \) oder \( y = -x \); für einen Wert von \( x \) gibt es zwei mögliche \( y \)-Werte, also ist es keine Funktion.