Division von Radikalen: Fragen mit Lösungen für Klasse 10
Fragen der 10. Klasse zur Division von Wurzelausdrücken mit Lösungen werden vorgestellt.
Quotient (Division) von Radikalen mit gleichem Index
Die Divisionsformel für Radikale mit gleichen Indizes lautet:
\[
\large {\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}}
\]
Beispiele
Vereinfachen Sie die gegebenen Ausdrücke.
1)
\[
\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4.
\]
2)
\[
\begin{aligned}
\quad \frac{\sqrt[3]{54x^5}}{\sqrt[3]{2x^2}} &= \sqrt[3]{\frac{54x^5}{2x^2}} \\
&= \sqrt[3]{\frac{54}{2} \cdot \frac{x^5}{x^2}} = \sqrt[3]{27x^{5-2}} \\
&= \sqrt[3]{27} \sqrt[3]{x^3} = 3x
\end{aligned}
\]
3)
\[
\begin{aligned}
\quad \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x + 1}} &= \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x + 1}} \\
&= \sqrt{\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}} = \sqrt{x - 1} \\[10pt]
\end{aligned}
\]
4)
\[
\begin{aligned}
\quad \frac{\sqrt[3]{24y^5x^2}}{\sqrt[3]{3y^2x^5}} &= \sqrt[3]{\frac{24y^5x^2}{3y^2x^5}} \\
&= \sqrt[3]{\frac{24}{3} \cdot \frac{y^5}{y^2} \cdot \frac{x^2}{x^5}} = \sqrt[3]{8 y^{5-2} x^{2-5}} \\
&= \sqrt[3]{8 y^3 x^{-3}} = \sqrt[3]{8 \frac{y^3}{x^3}} = 2\frac{y}{x}
\end{aligned}
\]
Fragen mit Antworten
Verwenden Sie die obige Divisionsformel, um die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen.
\[
\begin{aligned}
1. \quad &\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}} \\[8pt]
2. \quad &\frac{\sqrt{162x^5}}{\sqrt{2x}} \\[8pt]
3. \quad &\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2-4}} \\[8pt]
4. \quad &\frac{\sqrt[4]{32z^6y^3}}{\sqrt[4]{2z^2y^{11}}}
\end{aligned}
\]
Lösungen zu den obigen Aufgaben
\[
\begin{aligned}
1. \quad \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}} &= \sqrt[3]{\frac{128}{2}} = \sqrt[3]{64} \\
&= \sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{(2^2)^3} = 2^2 = 4 \\[12pt]
2. \quad \frac{\sqrt{162x^5}}{\sqrt{2x}} &= \sqrt{\frac{162x^5}{2x}} \\
&= \sqrt{\frac{162}{2} \cdot \frac{x^5}{x}} = \sqrt{81x^4} = 9x^2 \\[12pt]
3. \quad \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2-4}} &= \sqrt{\frac{x+2}{x^2-4}} \\
&= \sqrt{\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}} = \sqrt{\frac{1}{x-2}} = \frac{1}{\sqrt{x-2}} \\[12pt]
4. \quad \frac{\sqrt[4]{32z^6y^3}}{\sqrt[4]{2z^2y^{11}}} &= \sqrt[4]{\frac{32z^6y^3}{2z^2y^{11}}} \\
&= \sqrt[4]{\frac{32}{2} \cdot \frac{z^6}{z^2} \cdot \frac{y^3}{y^{11}}} = \sqrt[4]{16 \cdot \frac{z^4}{y^8}} = 2 \cdot \frac{z}{y^2}
\end{aligned}
\]
Weitere Referenzen und Links