Detaillierte Formeln, Definitionen und Schritt-für-Schritt-Lösungen
Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Eine arithmetische Folge hat eine konstante Differenz, während eine geometrische Folge einen konstanten Quotienten aufweist. Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge.
Konstante Differenz (d): \( d = a_{n} - a_{n-1} \)
n-tes Glied:
\[ a_n = a + (n-1)d \]Summe von \( n \) Gliedern (\( S_n \)):
\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \] \[ S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \]Konstanter Quotient (r): \( r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \)
n-tes Glied:
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]Summe von \( n \) Gliedern (\( S_n \)):
\[ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \ne 1 \]Eine unendliche geometrische Reihe hat nur dann eine endliche Summe (konvergiert), wenn der konstante Quotient \( |r| < 1 \) erfüllt. Wenn \( |r| \ge 1 \), divergiert die Reihe und hat keine Summe.
Summe bis ins Unendliche (\( S_{\infty} \)):
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \]Aufgabe 1 (Arithmetisch): Finden Sie das 15. Glied der arithmetischen Folge: \( 10, 6, 2, -2, \dots \)
Bestimmen Sie das erste Glied \( a = 10 \) und die konstante Differenz \( d = 6 - 10 = -4 \).
\[ a_{15} = 10 + (15-1)(-4) \] \[ a_{15} = 10 + 14(-4) = 10 - 56 = -46 \]Aufgabe 2 (Geometrisch): Finden Sie das 8. Glied der geometrischen Folge: \( 5, 10, 20, 40, \dots \)
Bestimmen Sie \( a = 5 \) und \( r = 10/5 = 2 \). Lösen Sie nach \( a_8 \) auf:
\[ a_8 = 5 \cdot (2)^{8-1} = 5 \cdot 2^7 \] \[ a_8 = 5 \cdot 128 = 640 \]Aufgabe 3 (Herausforderung): In einer arithmetischen Folge gilt \( a_3 = 13 \) und \( a_9 = 37 \). Finden Sie das erste Glied \( a \) und die konstante Differenz \( d \).
Stellen Sie zwei Gleichungen mit \( a_n = a + (n-1)d \) auf:
(1) \( a + 2d = 13 \)
(2) \( a + 8d = 37 \)
Subtrahieren Sie (1) von (2): \( 6d = 24 \Rightarrow d = 4 \).
Setzen Sie \( d=4 \) in (1) ein: \( a + 2(4) = 13 \Rightarrow a + 8 = 13 \Rightarrow a = 5 \).
Aufgabe 4 (Arithmetische Summe): Finden Sie die Summe der ersten 50 geraden positiven ganzen Zahlen.
Die Folge lautet \( 2, 4, 6, \dots \), also ist \( a = 2 \), \( d = 2 \) und \( n = 50 \).
\[ S_{50} = \frac{50}{2}[2(2) + (50-1)(2)] \] \[ S_{50} = 25[4 + 98] = 25[102] = 2550 \]Aufgabe 5 (Geometrische Summe): Finden Sie die Summe der ersten 6 Glieder der geometrischen Reihe: \( 3, -6, 12, -24, \dots \)
Bestimmen Sie \( a = 3 \), \( r = -2 \) und \( n = 6 \):
\[ S_6 = \frac{3((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} \] \[ S_6 = \frac{3(64 - 1)}{-3} = \frac{3(63)}{-3} = -63 \]Aufgabe 6 (Herausforderung): Finden Sie die Summe aller dreistelligen Vielfachen von 7.
Erstes Vielfaches \( a = 105 \). Letztes Vielfaches \( a_n = 994 \). Konstante Differenz \( d = 7 \).
Finden Sie \( n \): \( 994 = 105 + (n-1)7 \Rightarrow 889 = 7(n-1) \Rightarrow n = 128 \).
Finden Sie die Summe: \[ S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994) = 64(1099) = 70336 \]
Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Summe der unendlichen Reihe: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \)
Bestimmen Sie \( a = 1 \) und \( r = 0,5 \). Da \( |0,5| < 1 \) ist, konvergiert die Reihe:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0,5} = \frac{1}{0,5} = 2 \]Aufgabe 8: Eine unendliche geometrische Reihe hat eine Summe von 20 und ein erstes Glied von 5. Finden Sie den konstanten Quotienten \( r \).