Graf Quadratischer Funktionen

Graphen von quadratischen Funktionen in der Scheitelform f(x) = a (x - h)2 + k und in der Standardform f(x) = a x2 + b x + c werden mit mehreren Beispielen und detaillierten Lösungen präsentiert.
Wir beginnen mit dem Graphen der grundlegenden quadratischen Funktion f(x) = x2, dann zeichnen wir Beispiele für quadratische Funktionen in der Scheitelform und dann in der Standardform.
Ein Tutorial mit mehreren Beispielen zum Finden quadratischer Funktionen basierend auf ihren Graphen ist ebenfalls auf dieser Website enthalten.
Quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen zweiten Grades (x quadratisch) und das Wort "quadratisch" stammt vom lateinischen Wort "quadratus", was Quadrat bedeutet.

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Graph der grundlegenden quadratischen Funktion: f(x) = x2

Beispiel 1
Finde Punkte auf dem Graphen der Funktion f(x) = x2 und zeichne ihn.
Wir bemerken zuerst, dass
1) weil das Quadrat einer realen Zahl entweder positiv oder null ist, x2 ≥ 0 und daher der Graph von f die x-Achse bei x = 0 berührt und für alle anderen Werte von x über der x-Achse liegt.
2) f(-x) = (-x)2 = x 2 = f(x) , daher ist die Funktion f gerade und ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
3) Der Wertebereich von y = f(x) ist : y ≥ 0
Lassen Sie uns eine Tabelle verwenden, um Punkte auf dem Graphen der Funktion f zu finden
Tabelle mit Werten von f(x) = x^2
Wir zeichnen nun die Punkte in der Tabelle und verbinden sie, um den Graphen von f(x) = x2 zu erhalten, der Parabel genannt wird.

Graph der grundlegenden quadratischen Funktion f(x) = x^2
Abbildung 1. Graph der grundlegenden quadratischen Funktion f(x) = x2

Der Graph hat einen Scheitelpunkt bei (0,0) (Minimum) und die vertikale Linie x = 0 (y-Achse) als Symmetrieachse.


Graph quadratischer Funktionen in der Scheitelform: g(x) = a(x - h)2 + k

Eine quadratische Funktion in der Scheitelform g(x) = a(x - h)2 + k ist die grundlegende quadratische Funktion f(x) = x2, die transformiert wurde.
1) Von x2 zu (x - h)2: verschiebe h Einheiten nach rechts, wenn h positiv ist, oder -h Einheiten nach links, wenn h negativ ist.
2) Von (x - h)2 zu a(x - h)2: vertikale Streckung (|a| > 1) oder Stauchung (|a| < 1) plus Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist.
3) Von a(x - h)2 zu a(x - h)2 + k: eine vertikale Verschiebung um k Einheiten.

Fazit
Eine quadratische Funktion in der Scheitelform g(x) = a(x - h)2 + k hat einen Graphen
1) mit einem Scheitelpunkt (Minimum oder Maximum) bei (h , k)
2) Eine vertikale Symmetrieachse x = h.
3) Der Graph von g, der eine Parabel ist, öffnet sich nach oben, wenn der Koeffizient a positiv ist, und daher ist der Scheitelpunkt ein Minimum oder nach unten, wenn a negativ ist, und daher ist der Scheitelpunkt ein Maximum.
4) Der Wertebereich von y = g(x) ist: y ≥ k, wenn a positiv ist, oder y ≤ k, wenn a negativ ist.


Beispiel 2
a) Bestimme den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion g(x) = 4 (x - 1)2 - 1, ihre Symmetrieachse und entscheide, ob der Graph nach oben oder unten geöffnet ist.
b) Finde die Schnittpunkte des Graphen von g mit der x-Achse (Nullstellen) und y-Achse (y-Achsenabschnitt).
c) Verwende den Scheitelpunkt, die x- und y-Achsenabschnitte, einige weitere Punkte auf dem Graphen von g und zeichne ihn.
d) Was ist der Wertebereich von y = g(x)?

Lösung zu Beispiel 2
a) Vergleiche g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 mit g(x) = a(x - h)2 + k, h = 1, k = -1 und a = 4.
Der Scheitelpunkt ist der Punkt (h , k) = (1 , -1).
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie x = h = 1
a ist positiv , die Parabel (Graph von g) öffnet sich nach oben.
b) Der y-Achsenabschnitt ist ein Punkt auf der y-Achse, daher x = 0 für diesen Punkt und seine y-Koordinate wird durch g(0) = 3 gegeben. Der y-Achsenabschnitt befindet sich also bei (0 , 3)
Der x-Achsenabschnitt ist ein Punkt auf der x-Achse, daher y = g(x) = 0 für diesen Punkt und seine x-Koordinate(n) werden durch Lösen von
g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 = 0
4 (x - 1)2 = 1
2 (x - 1) = ± √1
2(x - 1) = 1 gibt x = 3/2 = 1.5
2(x - 1) = - 1 gibt x = 1/2 = 0.5
Zwei x-Achsenabschnitte befinden sich bei: (1/2 , 0) und (3/2 , 0)
c) Ein weiterer Punkt auf dem Graphen von g.
g(2) = 4 (2 - 1)2 - 1 = 3
d) Da a = 4 positiv ist, ist der Wertebereich von y = g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 gegeben durch:
die Ungleichung y ≥ k oder y ≥ - 1
oder das Intervall [-1, +∞)
Der Graph ist unten mit dem Scheitelpunkt bei (1,-1), der ein Minimum ist, da a = 4 positiv ist und der Graph sich nach oben öffnet.
Die x-Achsenabschnitte befinden sich bei (1/2,0) und (3/2,0) und der y-Achsenabschnitt befindet sich bei (0,3).
Die Parabel hat eine Symmetrieachse die vertikale Linie x = 1.
Der Wertebereich von y ist: y ≥ -1, wie im Graphen zu sehen.

Graph einer quadratischen Funktion in Scheitelform: g(x) = 4 (x - 1)<sup>2</sup> - 1
Abbildung 2. Graph einer quadratischen Funktion in Scheitelform: g(x) = 4 (x - 1)2 - 1


Beispiel 3

Finde den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion h(x) = - (x + 1/2)2 + 2, ihre Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt, die x-Achsenabschnitte und zeichne sie. Was ist der Wertebereich von y = h(x)?

Lösung zu Beispiel 3
Vergleiche h(x) = - (x + 1/2)2 + 2 mit h(x) = a(x - h)2 + k, h = - 1/2, k = 2 und a = - 1.
Der Scheitelpunkt liegt bei (-1/2 , 2).
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie x = - 1/2
a = -1 ist negativ, die Parabel (Graph von h) öffnet sich nach unten.
Der y-Achsenabschnitt ist bei (0 , h(0)) = (0 , 1,75)
Die x-Achsenabschnitte werden durch Lösen von
h(x) = - (x + 1/2)2 + 2 = 0
Die Lösungen für die obige Gleichung sind: -1/2 - √2 und -1/2 + √2.
Zwei x-Achsenabschnitte befinden sich bei: (-1/2 - √2 , 0) und (-1/2 + √2 , 0)
Der Graph ist unten mit dem Scheitelpunkt bei (-1/2 , 2), der ein Maximum ist, da a = -1 negativ ist und der Graph sich nach unten öffnet.
Die x-Achsenabschnitte befinden sich bei (-1/2 - √2 , 0) ≈ (-1.91,0) und (-1/2 + √2 , 0) ≈ (0.91,0).
Der y-Achsenabschnitt befindet sich bei (0,1.75)
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie, die durch die Gleichung gegeben ist: x = h = -1/2.
Der führende Koeffizient a = -1 ist negativ und k = 2, daher ist der Wertebereich von y = h(x) durch: y ≤ 2 (im Diagramm unten überprüfen).

Graph einer quadratischen Funktion in Scheitelform: h(x) = - (x + 1/2)<sup>2</sup> + 2
Abbildung 3. Graph einer quadratischen Funktion in Scheitelform: h(x) = - (x + 1/2)2 + 2


Graph von quadratischen Funktionen in Standardform: f(x) = a x2 + b x + c

Eine der besten Methoden, um quadratische Funktionen, die in Standardform gegeben sind f(x) = a x2 + b x + c, zu zeichnen, besteht darin, sie zunächst in Scheitelform umzuschreiben, wie folgt
f(x) = a(x - h)2 + k, Scheitelpunkt befindet sich am Punkt (h , k)
wobei h = - b / (2 a) und k = f(h).
dann zeichne sie mit dem Scheitelpunkt, den x- und y-Achsenabschnitten und einigen weiteren Punkten, wenn nötig.

Beispiel 4
Finde den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion m(x) = x2 + 2 x, ihre Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt, die x-Achsenabschnitte und zeichne sie. Was ist der Wertebereich von y = m(x)?

Lösung zu Beispiel 4
Identifiziere die Koeffizienten a, b und c der gegebenen Funktion
a = 1, b = 2 und c = 0
Verwende die Formel für h und k
h = - b / (2 a) = - 2 / (2 × 1) = - 1
k = m(h) = (h)2 + 2 (h) = (-1)2 + 2 (-1) = - 1
Verwende h und k oben gefunden, um m(x) in Scheitelform zu schreiben, wie folgt
m(x) = a (x - h)2 + k = (x + 1)2 - 1
Hinweis: als Übung, erweitere (x + 1)2 - 1 und sieh, dass es x2 + 2 x ergibt.
Daher Scheitelpunkt bei (h , k) = (-1 , -1)
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie x = h = - 1
a = 1 ist positiv, die Parabel (Graph von m) öffnet sich nach oben.
Der y-Achsenabschnitt ist bei (0 , m(0)) = (0 , 0)
Die x-Achsenabschnitte werden durch Lösen von
m(x) = x2 + 2 x = 0 (du kannst auch die Scheitelform lösen, wenn es einfacher ist)
Die oben genannte Gleichung wird durch Faktorisieren gelöst:
x2 + 2 x = x(x + 2) = 0
2 Lösungen : x = 0 und x = - 2
Zwei x-Achsenabschnitte befinden sich bei: (0 , 0) und (- 2 , 0)
Der führende Koeffizient a ist positiv und k = -1, daher ist der Wertebereich von y = m(x) durch: y ≥ - 1 (im Diagramm unten überprüfen).
Der Graph wird unten mit dem Scheitelpunkt bei (- 1, -1) gezeigt, der ein Minimum ist, da a = 1 positiv ist und der Graph sich nach oben öffnet. Seine x-Achsenabschnitte bei (0 , 0) und (- 2 , 0). Sein y-Achsenabschnitt bei (0 , 0) und die Symmetrieachse bei x = h = -1.
Der Wertebereich von y = m(x) ist gegeben durch y ≥ -1.

Graph einer quadratischen Funktion in Standardform: m(x) = x<sup>2</sup> + 2 x
Abbildung 4. Graph einer quadratischen Funktion in Standardform: m(x) = x2 + 2 x


Beispiel 5
Finde den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion p(x) = - 2 x 2 + 3 x + 1, ihre Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt, die x-Achsenabschnitte und zeichne sie. Was ist der Wertebereich von y = p(x)?

Lösung zu Beispiel 5
Identifiziere die Koeffizienten a, b und c der gegebenen Funktion
a = - 2, b = 3 und c = 1
Verwende die Formel für h und k
h = - b / (2 a) = - 3 / (2 × (-2)) = 3 / 4
k = p(h) = - 2 (h) 2 + 3 (h) + 1 = -2 (3/4)2 + 3 (3/4) + 1 = 17/8 ≈ 2,13
p(x) ist in Scheitelform geschrieben wie folgt
p(x) = a (x - h)2 + k = - 2 (x - 3/4)2 + 17/8
Hinweis: als Übung, erweitere - 2 (x - 3/4)2 + 17/8 und sieh, dass es - 2 x 2 + 3 x + 1 ergibt.
Daher Scheitelpunkt bei (h , k) = (3/4 , 17/8)
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie x = h = 3/4
a = - 2 ist negativ, die Parabel (Graph von p) öffnet sich nach unten.
Der y-Achsenabschnitt ist bei (0 , p(0)) = (0 , 1)
Die x-Achsenabschnitte werden durch Lösen von
p(x) = - 2 (x - 3/4)2 + 17/8 = 0 (in diesem Beispiel ist es einfacher, die Scheitelform zu lösen)
Die oben genannte Gleichung wird durch Extrahieren der Quadratwurzel gelöst:
2 (x - 3/4)2 = 17/8
2 Lösungen : x = 3/4 + √(17/16) ≈ 1,78 und x = 3/4 - √(17/16) ≈ - 0,28
Zwei x-Achsenabschnitte befinden sich bei: (3/4 - √(17/16) , 0) ≈ (-0,28 , 0) und (3/4 + √(17/16) , 0) ≈ (1,78 , 0)
Der Graph wird unten mit dem Scheitelpunkt bei (3/4, 17/8 ), der ein Maximum ist, da a = - 2 negativ ist und der Graph nach unten geöffnet ist. Gezeigt. Seine x-Achsenabschnitte bei (-0,28 , 0) und (1,78 , 0). Sein y-Achsenabschnitt bei (0 , 1) und die Symmetrieachse bei x = h = 3/4.
Der führende Koeffizient a = - 2 ist negativ und k = 17/8, daher ist der Wertebereich von y = p(x) durch: y ≤ 17/8 (≈2,13) (im Diagramm unten überprüfen).
Zwei zusätzliche Punkte werden gefunden, um p zu zeichnen. (-1,p(-1)) = (-1,-4) und (3,p(3)) = (3 , -8)

Graph einer quadratischen Funktion in Standardform: p(x) = - 2 x <sup>2</sup> + 3 x + 1
Abbildung 5. Graph einer quadratischen Funktion in Standardform: p(x) = - 2 x 2 + 3 x + 1


Übungen

Zeichne die quadratischen Funktionen, die in Standardform gegeben sind.
1) Finde den Scheitelpunkt, die x- und y-Achsenabschnitte und zeichne s(x) = -(1/2)x2 + x + 1. Finde den Wertebereich von y = s(x).
2) Finde den Scheitelpunkt, die x- und y-Achsenabschnitte und zeichne t(x) = 4 x2 + 4 x + 2. Finde den Wertebereich von y = t(x).

Lösungen zu den obigen Übungen

1) Scheitelpunkt bei (1, 3/2), x-Achsenabschnitte bei (1 + √3, 0) und (1 - √3, 0), y-Achsenabschnitt bei (0, 1), Wertebereich von y = s(x): y ≤ 3/2

Graph einer quadratischen Funktion in Standardform: s(x) = -(1/2)x<sup>2</sup> + x + 1
Abbildung 6. Graph einer quadratischen Funktion in Standardform: s(x) = -(1/2)x2 + x + 1
2) Scheitelpunkt bei (-1, 0), ein x-Achsenabschnitt bei (-1, 0), der auch der Scheitelpunkt ist, y-Achsenabschnitt bei (0, 2), Wertebereich von y = t(x): y ≥ 0
Graph einer quadratischen Funktion in Standardform: t(x) = 4 x<sup>2</sup> + 4 x + 2
Abbildung 7. Graph einer quadratischen Funktion in Standardform: t(x) = 4 x2 + 4 x + 2


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