Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \).

Der Scheitelpunkt liegt bei \( (1, -1) \).

Finden Sie die x-Koordinate des Scheitelpunkts für \( f(x) = x^2 + 2x \).

\( h = -b/2a = -2/(2(1)) = -1 \).

Was sind die Eigenschaften einer quadratischen Funktion in der Scheitelpunktform?

Eine Funktion in der Scheitelpunktform \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) hat einen Scheitelpunkt bei \( (h, k) \) und eine Symmetrieachse bei \( x = h \). Sie öffnet sich nach oben, wenn \( a > 0 \) und nach unten, wenn \( a < 0 \).

Graphische Darstellung quadratischer Funktionen: Scheitelpunktform, Standardform und Beispiele

Quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen 2. Grades. Ihre Graphen sind Parabeln. Wir werden die grundlegende Funktion \( f(x) = x^2 \), die transformierte Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) und die Standardform \( f(x) = ax^2 + bx + c \) untersuchen.

1. Die grundlegende Parabel: \( f(x) = x^2 \)

Bevor wir Transformationen zeichnen, analysieren wir die Ausgangsfunktion. Wir verwenden eine Wertetabelle, um die wichtigsten Punkte einzuzeichnen.

\( x \)	\( f(x) = x^2 \)
-3	9
-2	4
-1	1
0	0 (Scheitelpunkt)
1	1
2	4
3	9

Graph der grundlegenden quadratischen Funktion f(x) = x^2

2. Eigenschaften der Scheitelpunktform: \( g(x) = a(x - h)^2 + k \)

Die Scheitelpunktform ermöglicht die sofortige Bestimmung des Zentrums und der Ausrichtung der Parabel:

Scheitelpunkt: Befindet sich am Punkt \( (h, k) \).
Symmetrieachse: Die vertikale Gerade \( x = h \).
Öffnungsrichtung:
- Wenn \( a > 0 \): Öffnet sich nach oben (Scheitelpunkt ist ein Minimum).
- Wenn \( a < 0 \): Öffnet sich nach unten (Scheitelpunkt ist ein Maximum).
Wertebereich:
- \( y \ge k \), wenn \( a > 0 \).
- \( y \le k \), wenn \( a < 0 \).

Beispiel 2: Zeichnen von \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \)

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

1. Parameter bestimmen: \( a=4, h=1, k=-1 \). Der Scheitelpunkt ist (1, -1).

2. Achsenabschnitte:
y-Achsenabschnitt: \( g(0) = 4(0-1)^2 - 1 = 3 \). Punkt: (0, 3).
x-Achsenabschnitte: Lösen Sie \( 4(x-1)^2 - 1 = 0 \). Punkte: (0.5, 0) und (1.5, 0).

Graph der quadratischen Funktion g(x) = 4(x-1)^2 - 1

3. Zeichnen in der Standardform: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Um die Standardform zu zeichnen, berechnen wir zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts \( (h, k) \):

\[ h = -\frac{b}{2a} \quad \text{und} \quad k = f(h) \]

Beispiel 5: Zeichnen von \( p(x) = -2x^2 + 3x + 1 \)

Finden Sie den Scheitelpunkt und die Achsenabschnitte und skizzieren Sie den Graphen.

Lösung anzeigen

1. Scheitelpunkt:
\( h = -3 / (2 \cdot -2) = 0.75 \)
\( k = p(0.75) = -2(0.75)^2 + 3(0.75) + 1 = 2.125 \). Scheitelpunkt: (0.75, 2.13).

2. Graph: Da \( a = -2 \) ist, öffnet sich die Parabel nach unten.

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