.gif)
Graphen von quadratischen Funktionen der Scheitelpunktform \( f(x) = a (x - h)^2 + k \) und der Normalform \( f(x) = a x^2 + b x + c \) werden mit mehreren Beispielen und ihren detaillierten Lösungen vorgestellt.
Wir beginnen mit dem Graphen der grundlegenden quadratischen Funktion f(x) = x2, dann zeichnen wir Beispiele quadratischer Funktionen in Scheitelpunktform und anschließend in Normalform.
Ein Tutorial mit mehreren Beispielen zum Finden quadratischer Funktionen anhand ihrer Graphen ist ebenfalls auf dieser Website enthalten.
Quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen vom Grad 2 (x zum Quadrat) und das Wort "quadratisch" stammt vom lateinischen Wort "quadratus" ab, was "quadratisch" oder "zum Quadrat" bedeutet.
Seiteninhalt
Finden Sie Punkte auf dem Graphen der Funktion \( f(x) = x^2 \) und zeichnen Sie ihn.
Wir stellen zunächst fest, dass
1) das Quadrat einer reellen Zahl entweder positiv oder null ist, \( x^2 \ge 0 \) und daher die x-Achse des Graphen von f bei \( x = 0 \) berührt und für alle anderen Werte von \( x \) oberhalb der x-Achse liegt.
2) \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \), daher ist die Funktion \( f \) gerade und ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
3) Der Wertebereich von \( y = f(x) \) ist: \( y \ge 0 \)
Verwenden wir eine Tabelle, um Punkte auf dem Graphen der Funktion \( f \) zu finden.
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & f(x) = x^2 \\ \hline 0 & 0^2 = 0 \\ \hline -1 & (-1)^2 = 1 \\ \hline 1 & 1^2 = 1 \\ \hline -2 & (-2)^2 = 4 \\ \hline 2 & 2^2 = 4 \\ \hline -3 & (-3)^2 = 9 \\ \hline 3 & 3^2 = 9 \\ \hline \end{array} \]
Wir zeichnen nun die Punkte in der Tabelle und verbinden sie, um den Graphen von \( f(x) = x^2 \) zu erhalten, der als Parabel bezeichnet wird.
Der Graph hat einen Scheitelpunkt bei (0,0) (Minimalpunkt) und die vertikale Linie \( x = 0 \) (y-Achse) als Symmetrieachse.
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform \( g(x) = a(x - h)^2 + k \) ist die grundlegende quadratische Funktion \( f(x) = x^2 \), die transformiert wurde.
1) Von \( x^2 \) zu \( (x - h)^2 \): Verschiebung um \( h \) Einheiten nach rechts, wenn \( h \) positiv ist, oder um \( -h \) Einheiten nach links, wenn \( h \) negativ ist.
2) Von \( (x - h)^2 \) zu \( a(x - h)^2 \): vertikale Streckung, wenn \( |a| > 1 \), oder Stauchung, wenn \( |a| < 1 \), plus Spiegelung an der x-Achse, wenn \( a \) negativ ist.
3) Vom quadratischen Ausdruck \( a(x - h)^2 \) zu \( a(x - h)^2 + k \): eine vertikale Verschiebung um \( k \) Einheiten.
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform \( g(x) = a(x - h)^2 + k \) hat einen Graphen
1) mit einem Scheitelpunkt (Minimum oder Maximum) bei \( (h, k) \)
2) Eine vertikale Symmetrieachse \( x = h \).
3) Der Graph von \( g \), eine Parabel, öffnet sich nach oben, wenn der Koeffizient a positiv ist, und daher ist der Scheitelpunkt ein Minimalpunkt; er öffnet sich nach unten, wenn a negativ ist, und daher ist der Scheitelpunkt ein Maximalpunkt.
4) Der Wertebereich von \( y = g(x) \) ist: \( y \ge k \), wenn \( a \) positiv ist, oder \( y \le k \), wenn \( a \) negativ ist.
a) Identifizieren Sie den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion \( g(x) = 4 (x - 1)^2 - 1 \), seine Symmetrieachse und entscheiden Sie, ob sich der Graph nach oben oder unten öffnet.
b) Finden Sie die Schnittpunkte des Graphen von g mit der Achse (x-Achsenabschnitte) und der y-Achse (y-Achsenabschnitte).
c) Verwenden Sie den Scheitelpunkt, die x- und y-Achsenabschnitte, einige weitere Punkte auf dem Graphen von \( g \), und zeichnen Sie ihn.
d) Was ist der Wertebereich von \( y = g(x) \)?
a) Vergleicht man \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \) mit \( g(x) = a(x - h)^2 + k \), so können wir schreiben: \( h = 1 \), \( k = -1 \) und \( a = 4 \).
Der Scheitelpunkt ist am Punkt \( (h, k) = (1, -1) \).
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie \( x = h = 1 \).
\( a \) ist positiv, die Parabel (Graph von \( g \)) öffnet sich nach oben.
b) Der y-Achsenabschnitt ist ein Punkt auf der y-Achse, daher ist \( x = 0 \) für diesen Punkt und seine y-Koordinate ist gegeben durch \( g(0) = 3 \). Daher ist der y-Achsenabschnitt bei \( (0, 3) \).
Der x-Achsenabschnitt ist ein Punkt auf der x-Achse, daher ist \( y = g(x) = 0 \) für diesen Punkt, und seine x-Koordinate(n) werden durch Lösen von \[ g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 = 0 \] \[ 4(x - 1)^2 = 1 \] \[ 2(x - 1) = \pm \sqrt{1} \] \[ 2(x - 1) = 1 \text{ ergibt } x = \frac{3}{2} = 1.5 \] \[ 2(x - 1) = -1 \text{ ergibt } x = \frac{1}{2} = 0.5 \] gefunden. Zwei x-Achsenabschnitte sind bei: \( (1/2 , 0) \) und \( (3/2 , 0) \)
c) Ein weiterer Punkt auf dem Graphen von \( g \). \[ g(2) = 4(2 - 1)^2 - 1 = 3 \]
d) Da \( a = 4 \) positiv ist, ist der Wertebereich von \( y = g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \) gegeben durch: die Ungleichung \( y \geq k \) oder \( y \geq -1 \) oder das Intervall \( [-1, +\infty) \). Der Graph ist unten mit dem Scheitelpunkt bei \( (1,-1) \) dargestellt, der ein Minimum ist, weil \( a = 4 \) positiv ist und der Graph sich nach oben öffnet. Seine x-Achsenabschnitte befinden sich bei \( (1/2,0) \) und \( (3/2,0) \), und sein y-Achsenabschnitt befindet sich bei \( (0,3) \). Die Parabel hat eine Symmetrieachse, die vertikale Linie \( x = 1 \). Der Wertebereich von \( y \) ist: \( y \geq -1 \), wie im Graphen zu sehen.
.gif)
Finden Sie den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion \( h(x) = - (x + 1/2)^2 + 2 \), seine Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt, die x-Achsenabschnitte und zeichnen Sie ihn. Was ist der Wertebereich von \( y = h(x) \)?
Vergleicht man die Funktion \( h(x) = -\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \) mit der Standardform \( h(x) = a(x - h)^2 + k \), so identifizieren wir: \( h = -\frac{1}{2} \), \( k = 2 \) und \( a = -1 \).
Der Scheitelpunkt ist am Punkt \( \left(-\frac{1}{2}, 2\right) \).
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie \( x = -\frac{1}{2} \).
Da \( a = -1 \) negativ ist, öffnet sich die Parabel (Graph von \( h \)) nach unten.
Der y-Achsenabschnitt ist bei \( (0, h(0)) = (0, 1.75) \).
Die x-Achsenabschnitte werden durch Lösen der Gleichung gefunden: \[ h(x) = -\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 = 0 \] Wenn man dies löst, sind die Lösungen: \[ x = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{2} \] Die x-Achsenabschnitte befinden sich also bei: \[ \left(-\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 0\right) \quad \text{und} \quad \left(-\frac{1}{2} + \sqrt{2}, 0\right) \]
Der Graph unten zeigt den Scheitelpunkt bei \( \left(-\frac{1}{2}, 2\right) \), der ein Maximalpunkt ist, weil \( a = -1 \) negativ ist, die Parabel sich also nach unten öffnet.
Die ungefähren x-Achsenabschnitte sind: \[ \left(-\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 0\right) \approx (-1.91, 0), \quad \left(-\frac{1}{2} + \sqrt{2}, 0\right) \approx (0.91, 0) \]
Der y-Achsenabschnitt befindet sich bei \( (0, 1.75) \).
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie, die durch die Gleichung \( x = h = -\frac{1}{2} \) gegeben ist.
Da der führende Koeffizient \( a = -1 \) negativ ist und \( k = 2 \), ist der Wertebereich von \( y = h(x) \): \[ y \leq 2 \]
Für eine visuelle Darstellung der Eigenschaften der Funktion siehe die folgende Grafik.
.gif)
Eine der besten Methoden, quadratische Funktionen in der Normalform \( f(x) = a x^2 + b x + c \) zu zeichnen, besteht darin, sie zunächst in die Scheitelpunktform umzuschreiben, und zwar wie folgt:
\( f(x) = a(x - h)^2 + k \), der Scheitelpunkt befindet sich am Punkt \( (h , k) \)
wobei \( h = - \dfrac{b}{2 a}\) und \( k = f(h) \).
Anschließend zeichnet man sie mit Hilfe des Scheitelpunkts, der x- und y-Achsenabschnitte und gegebenenfalls einiger weiterer Punkte.
Finden Sie den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion \( m(x) = x^2 + 2 x\), seine Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt, die x-Achsenabschnitte und zeichnen Sie ihn. Was ist der Wertebereich von \( y = m(x) \)?
Identifizieren Sie die Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) der gegebenen Funktion:
\( a = 1 \), \( b = 2 \) und \( c = 0 \)
Verwenden Sie die Formeln für \( h \) und \( k \):
\[ h = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \times 1} = -1 \]
\[ k = m(h) = h^2 + 2h = (-1)^2 + 2(-1) = -1 \]
Verwenden Sie die oben gefundenen \( h \) und \( k \), um \( m(x) \) in Scheitelpunktform zu schreiben:
\[ m(x) = a(x - h)^2 + k = (x + 1)^2 - 1 \]
Hinweis: Versuchen Sie als Übung, \( (x + 1)^2 - 1 \) zu erweitern und überprüfen Sie, dass es sich zu \( x^2 + 2x \) vereinfacht.
Daher ist der Scheitelpunkt bei \( (h, k) = (-1, -1) \).
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie \( x = h = -1 \).
Da \( a = 1 \) positiv ist, öffnet sich die Parabel (Graph von \( m \)) nach oben.
Der y-Achsenabschnitt ist bei \( (0, m(0)) = (0, 0) \).
Die x-Achsenabschnitte werden durch Lösen von \[ m(x) = x^2 + 2x = 0 \] gefunden.
Diese Gleichung wird durch Faktorisieren gelöst: \[ x^2 + 2x = x(x + 2) = 0 \]
Zwei Lösungen: \( x = 0 \) und \( x = -2 \).
Die x-Achsenabschnitte befinden sich also bei \( (0, 0) \) und \( (-2, 0) \).
Der führende Koeffizient \( a = 1 \) ist positiv und \( k = -1 \), also ist der Wertebereich von \( y = m(x) \) gegeben durch:
\[ y \geq -1 \]
Der Graph zeigt den Scheitelpunkt bei \( (-1, -1) \), der ein Minimum ist, weil \( a = 1 \) positiv ist, was bedeutet, dass sich der Graph nach oben öffnet. Die x-Achsenabschnitte sind bei \( (0, 0) \) und \( (-2, 0) \), und der y-Achsenabschnitt ist bei \( (0, 0) \). Die Symmetrieachse ist \( x = h = -1 \).
Daher ist der Wertebereich von \( y = m(x) \) \( y \geq -1 \).
.gif)
Finden Sie den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion \( p(x) = - 2 x^2 + 3 x + 1 \), seine Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt, die x-Achsenabschnitte und zeichnen Sie ihn. Was ist der Wertebereich von \( y = p(x) \)?
Identifizieren der Koeffizienten der quadratischen Funktion:
Die gegebene quadratische Funktion hat die folgenden Koeffizienten: \( a = -2 \), \( b = 3 \) und \( c = 1 \).
Finden des Scheitelpunkts \((h, k)\) mit der Formel:
Wir verwenden die Standardformeln für die Scheitelpunktkoordinaten \( h \) und \( k \):
\[ h = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \times (-2)} = \frac{3}{4} \]
\[ k = p(h) = -2(h)^2 + 3(h) + 1 = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = \frac{17}{8} \approx 2.13 \]
Scheitelpunktform der quadratischen Funktion:
Die Funktion \( p(x) \) kann in Scheitelpunktform geschrieben werden:
\[ p(x) = a(x - h)^2 + k = -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8} \]
Hinweis: Versuchen Sie als Übung, \( -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8} \) zu erweitern, um zu überprüfen, dass es sich zu \( -2x^2 + 3x + 1 \) vereinfacht.
Eigenschaften des Graphen:
Finden der X-Achsenabschnitte:
Um die x-Achsenabschnitte zu finden, lösen Sie die Gleichung \( p(x) = 0 \) mit der Scheitelpunktform:
\[ -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8} = 0 \]
Ziehen der Quadratwurzel:
\[ 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{17}{8} \]
\[ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{17}{16} \]
\[ x = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{17}{16}} \approx 0.75 \pm 1.03 \]
\[ x \approx -0.28 \quad \text{und} \quad x \approx 1.78 \]
Die x-Achsenabschnitte sind ungefähr:
Der Graph von \( p(x) \) hat die folgenden Schlüsselpunkte:
Da der führende Koeffizient \( a = -2 \) negativ ist und der y-Wert des Scheitelpunkts \( \frac{17}{8} \) beträgt, ist der Wertebereich der Funktion:
\[ y \leq \frac{17}{8} \approx 2.13 \]
Um eine genaue grafische Darstellung zu unterstützen, sind zwei zusätzliche Punkte auf der Parabel:
.gif)
Zeichnen Sie die in Normalform gegebenen quadratischen Funktionen.
1) Finden Sie den Scheitelpunkt, die x- und y-Achsenabschnitte und zeichnen Sie die Funktion \( s(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1 \). Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion \( y = s(x) \).
2) Finden Sie den Scheitelpunkt, die x- und y-Achsenabschnitte und zeichnen Sie die Funktion \( t(x) = 4x^2 + 4x + 2 \). Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion \( y = t(x) \).
1)
.gif)
2) Der Scheitelpunkt der Parabel ist bei \( (-1, 0) \). Es gibt einen x-Achsenabschnitt bei \( (-1, 0) \), der auch der Scheitelpunkt ist. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \( (0, 2) \).
Der Wertebereich der Funktion \( y = t(x) \) ist gegeben durch:
\[ y \geq 0 \]
.gif)