Primfaktorzerlegung von Monomen - Aufgaben mit Lösungen

Wiederholung: Monome und Primfaktorzerlegung

Ein Monom ist das Produkt aus einer reellen Zahl und Variablen, die mit nicht-negativen ganzzahligen Exponenten potenziert sind.

Beispiele für Monome:   $2x$,   $-5x^2 y$,   $30x^2 y^4$

Was ist die Primfaktorzerlegung von Monomen?

Die Primfaktorzerlegung eines Monoms erhält man, indem man die ganze Zahl im Monom in ihre Primfaktoren zerlegt, gefolgt vom Produkt der Variablen.

Beispiele für Monome in Primfaktorform:

1. $10x = 2 \times 5 \times x$
2. $20x^2 = 2 \times 2 \times 5 \times x \times x$
3. $-30x^2y^3 = -2 \times 3 \times 5 \times x \times x \times y \times y \times y$

Aufgabe 1

Welcher der folgenden Ausdrücke ist keine Primfaktorzerlegung?

1. $2 \times 10 \times x$
2. $2 \times 7 \times x \times x$
3. $4 \times 4 \times 4 \times x \times x \times y \times y \times y$
4. $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times x \times x \times y \times y$

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1. Die 10 in $2 \times 10 \times x$ ist keine Primzahl, daher ist $2 \times 10 \times x$ keine Primfaktorzerlegung.
2. $2 \times 7 \times x \times x$ ist eine Primfaktorzerlegung.
3. Die 4 in $4 \times 4 \times 4 \times x \times x \times y$ ist keine Primzahl, daher ist $4 \times 4 \times 4 \times x \times x \times y$ keine Primfaktorzerlegung.
4. $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times x \times x \times y \times y$ ist eine Primfaktorzerlegung.

Aufgabe 2

Was ist die Primfaktorzerlegung der folgenden Monome?

1. $28xy^2$
2. $32x^3y$
3. $70x^3y^3$
4. $120x^2y^2$

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1. $28xy^2 = 2 \times 2 \times 7 \times x \times y \times y$
2. $32x^3y = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times x \times x \times x \times y$
3. $70x^3y^3 = 2 \times 5 \times 7 \times x \times x \times x \times y \times y \times y$
4. $120x^2y^2 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times x \times x \times y \times y$

Aufgabe 3

Finden Sie die Primfaktorzerlegungen von $5xy^2$ und $20x^3y$ und anschließend die Primfaktorzerlegung von $100x^4y^3$, wissend dass:

$$100x^4y^3 = (5xy^2) \times (20x^3y)$$

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Die Primfaktorzerlegung jedes Monoms lautet:

1. $5xy^2 = 5 \times x \times y \times y$
2. $20x^3y = 2 \times 2 \times 5 \times x \times x \times x \times y$
3. $100x^4y^3 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times x \times x \times x \times x \times y \times y \times y$